2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：选修4-5-2

［命题报告·教师用书独具］
考查知识点及角度
题号及难度
基础中档稍难
比较法证明不等式2、78、9、10
综合法与分析法证明不等式1、5、6
放缩法证明不等式3、41112
一、选择题
1．若实数x，y适合不等式xy〉1，x＋y≥－2，则( ) A．x>0，y〉0 B．x〈0,y<0 C．x〉0,y〈0 D．x〈0，y>0
解析:x,y异号时,显然与xy>1矛盾，所以可排除C、D。

假设x<0，y〈0，则x〈错误!.
∴x＋y〈y＋错误!≤－2与x＋y≥－2矛盾，故假设不成立．又xy≠0，∴x〉0，y>0.
答案：A
2．已知x，y∈R，M＝x2＋y2＋1，N＝x＋y＋xy，则M与N的大小关系是（）
A．M≥N B．M≤N
C．M＝N D．不能确定
解析:M－N＝x2＋y2＋1－(x＋y＋xy)
＝错误!［（x2＋y2－2xy)＋（x2－2x＋1）＋（y2－2y＋1)］
＝错误!［（x－y)2＋（x－1）2＋（y－1）2］≥0.
故M≥N。

答案：A
3．若x>1，则函数y＝x＋错误!＋错误!的最小值为( )
A．16 B．8
C．4 D．非上述情况
解析:y＝x＋错误!＋错误!＝x＋错误!＋错误!≥2错误!＝8,当且仅当x＝2＋
错误!时等号成立．
答案：B
4．设M＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，则（)
A．M＝1 B．M<1
C．M〉1 D．M与1大小关系不定
解析：∵210＋1>210，210＋2>210，…，211－1〉210，∴M＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!
〈1
210
＋
1
210
＋…＋
1
210
＝1。

答案：B
5．（2013年黄冈模拟)若不等式错误!≤a≤错误!在t∈（0，2］上恒成立,则a的取值范围是（)
A.错误!
B.错误!
C.错误!D。

错误!
解析：由已知错误!对任意t∈(0,2］恒成立，
于是只要当t∈（0,2］时，错误!
记f（t)＝t＋错误!，g(t）＝错误!＋2错误!2，可知两者都在(0，2］上单调递减，f（t）min＝f（2）＝错误!，g（t)min＝g（2）＝1,所以a∈错误!,选B。

答案:B
二、填空题
6．若错误!<错误!<0，则下列四个结论
①｜a|〉|b|；②a＋b<ab；③错误!＋错误!〉2；④错误!〈2a－b，其中正确的是________．
解析：取特殊值a＝－1，b＝－2，
代入验证得②③④正确．
答案：②③④
7．若T1＝错误!，T2＝错误!，则当s,m，n∈R＋时，T1与T2的大小为________．
解析：因为错误!－错误!＝s·错误!
＝错误!≤0。

所以T1≤T2。

答案：T1≤T2
8．设0＜x＜1,则a＝错误!，b＝1＋x，c＝错误!中最大的一个是________．
解析:由a2＝2x,b2＝1＋x2＋2x＞a2,a＞0,b＞0得b＞a。

又c－b＝1
x)＝错误!＝错误!＞0得c＞b，知c最大．
1－x－(1＋
答案:C
9．如果a〉0，b>0，则下列两式的大小关系为lg(1＋错误!)________错误!［lg(1＋a)＋lg(1＋b)］．
解析：∵(1＋a）(b＋1)＝1＋a＋b＋ab，
∴错误![lg（1＋a)＋lg（1＋b)］
＝lg错误!.
∵(1＋错误!）2－（错误!)2＝2错误!－(a＋b）．
又a＋b≥2错误!，∴2错误!－(a＋b)≤0。

∴lg(1＋错误!）≤错误![lg(1＋a)＋lg(1＋b）]．
答案：≤
三、解答题
10．已知a＞0，b＞0,求证错误!＋错误!≥a＋b.
证明:∵a＞0，b＞0,∴错误!＋错误!－（a＋b)＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!(a－b）2（a＋b）≥0，
∴错误!＋错误!≥a＋b。

11．设n是正整数，求证：错误!≤错误!＋错误!＋…＋错误!<1.
证明：由2n≥n＋k>n(k＝1,2…，n）,得错误!≤错误!〈错误!.
当k＝1时,错误!≤错误!<错误!；
当k＝2时,错误!≤错误!〈错误!；
…
当k＝n时,错误!≤错误!<错误!，
∴错误!＝错误!≤错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!＝1。

12．(能力提升)（1)设x是正实数，求证：（x＋1）(x2＋1）(x3＋1）≥8x3；
(2）若x∈R,不等式(x＋1）(x2＋1)(x3＋1）≥8x3是否仍然成立？如果成立,请给出证明，如果不成立,请举出一个使它不成立的x值．解析:（1）证明:x是正实数，
由基本不等式知，
x＋1≥2错误!，1＋x2≥2x，x3＋1≥2错误!，
故(x＋1）（x2＋1)(x3＋1)≥2错误!·2x·2错误!＝8x3(当且仅当x＝1时等号成立）．
(2)若x∈R，不等式（x＋1)(x2＋1)（x3＋1)≥8x3仍然成立．
由(1)知，当x〉0时,不等式成立；
当x≤0时，8x3≤0。

而(x＋1）(x2＋1）(x3＋1）
＝(x＋1)2（x2＋1)（x2－x＋1）
＝(x＋1)2(x2＋1）错误!≥0，
此时不等式仍然成立．
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