多元函数的偏导数与极值问题

显然有：z dz
全微分、偏导数、连续性之间的关系
全微分存在
z A x, yx B x, yy o x2 y2
可微
偏导存在
连续
例1（1） z
x yx
求： dz,
dz x1 ,
y2
dz x1
y2 x0.01 y 0.02
解
dz
2
1 x
yx
x
y
x
ln
y
dx
x x yx1dy
所以 z 3, 2 31是极大值。
最大最小值问题
若函数在某区域 D 上有最值，那么最值一定是在 极值点或边界上取得。
在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域 D 内部取到最值，而函数在 D 内又只有唯一的驻点，则 可判定函数在该驻点即取得最值。
例2 要做一个容积等于 K 的长方体无盖水池，应如何选择 水池的尺寸，方可使它的表面积最小？
2 yex2 y
2z x4ex2y y 2
2 z ex2 y 2x3 y 2xex2 y
2 z ex2 y 2x3 y 2xex2 y
xy
yx
若二元函数 z f x, y 的两个混合偏导 2 z , 2 z
xy yx
在区域 D 上连续，则它们必相等。
全微分的相关概念
如同一元函数，为解决函数增量的近似计算问题，引入全微分。
x
S x 1 x 16 x2
2
令
Sx
1
2
16 x2
x2 16
1 z lnx 2y
解
zx
x
1 2y
zxx
x
1
2y2
2
zxy x 2 y2
2 zy x 2y
4
zyy x 2 y2
z yx
x
2
2y2
例4 求下列二元函数的所有二阶偏导数
2 z ex2y
解 z ex2y 2xy x
z ex2 y x2 y
2z x2
e x2 y
4x2 y2
x
2 z arcsin x e y
解 z 1
1
x
e y arcsin
x
x ey
1
x 1 x 2 x
y
z arcsin y
x
e
x y
x y2
例1 求下列多元函数的偏导数
3 z 1 xyy 解 zx y 1 xy y1 y y2 1 xy y1
ln z y ln1 xy
1 z
dz x1 1 2ln 2 dx dy
y2
dz x1 1 2 ln 2 0.01 0.02 0.0039
y2 x0.01
y0.02 z 1.01 (1.98)1.01 2 0.0035
例2 求函数 z x2 sin 2 y 的全微分 dz
解 因为 z 2x sin 2 y, z x2 cos 2 y 2
则称函数在 x, y 处可微，并称 A x, y x B x, y y
为函数在 x, y处的全微分，记为： dz Ax, yx Bx, yy
只要特取 y 0, x 0 即可以推出
A x, y zx, Bx, y zy
又 dx 1x 0y x, dy 0x 1y y
dz zxdx zydy
z f
, , z , f xx0 x x y y0
x x0 y y0
x xx0 或 x
y y0
x0 , y0
若 lim f x0 , y0 y f x0 , y0 存在，则称此极限为
y 0
y
函数 z f x, y 在点 x0, y0 处对 y 的偏导数，记作
z f
, , z , f xx0 y y y y0
偏导数的定义
y 对一元函数： f x
导数
f
x0
lim
x0
f
x0 x
x
f
x0
描述了函数在 x x0 处的瞬时变化率，
它的几何意义就是函数曲线上点 x0, f x0 处的切线的斜率。
对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题，
以二元函数 z f x, y 为例，我们分别讨论：
z
约束条件：xyz k
x
y
令：F x, y, z, xy 2xz 2yz xyz k
Fx x, y, z y 2z yz 0 解方程组： Fy x, y, z x 2z xz 0
Fz x, y, z 2x 2y xy 0
xyz k
得：x y 3 2k , z 1 3 2k 2
设二元函数为 z f (x, y) , (x0 , y0 ) Df
全增量：称 z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0 ) 为函数在点 (x0 , y0 ) 处的全增量。
关于x的偏增量：称 z f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 ) 为函数在点 (x0 , y0 ) 处关于x的偏增量。
由问题的实际意义知，这时表面积获得最小值：S 33 4k2
例3 从斜边长为 4 的所有直角三角形中求面积最大者。
解：三角形面积 S x, y 1 xy
2 约束条件：x2 y2 16
4
y
令 F x, y, 1 xy x2 y2 16
2
Fx
x,
y
1 2
y
2
x
0
x
解方程组
Fy
z 相对于 x 以及 z 相对于 y 的瞬时变化率——偏导数
偏导数的定义
设函数 z f x, y 在点 x0, y0 的某一邻域内有定义，
若 lim f x0 x, y0 f x0 , y0 存在，则称此极限为
x0
x
函数 z f x, y 在点 x0, y0 处对 x 的偏导数，记作
x,
y
1 2
x
2
y
0
得 xy2 2
x2 y2 16
由问题的实际意义知，这时三角形的面积获最大值：Smax 4
例3 从斜边长为 4 的所有直角三角形中求面积最大者。
解：三角形面积 S x, y 1 xy
2 约束条件：x2 y2 16
4
y
可将约束条件代入把问题化为求
一元函数无条件极值的问题。
（2）当AC-B2 < 0 时，函数取不到极值。
（3）当AC-B2 = 0 时，函数可能取到也可能取不到极值。
例1 求函数 z x3 y3 3x2 3y2 9x 的极值。
解：解方程组
z x z y
3x2 6x 3y2 6 y
90 0
得驻点：1,0, 1, 2, 3,0,
3, 2
x x0 y y0
y xx0 或 y
y y0
x0 , y0
偏导数的定义
如果函数 z f x, y在区域 D 内每一点 x, y处对 x和对 y 的
的偏导数都存在，那么我们就说函数 z f x, y在 D 内可导，
它在 D 内的偏导数仍是 x 和 y的二元函数，称为偏导函数，简称
偏导数，记为
在点 0,0
x2 y2 0
处的连续性和可导性。
解
令 y kx,
xy
kx2
则
lim
x0
x2
y2
y0
lim x x0 2
1 k2
k 1 k2
极限与Ｋ有关，故极限不存在，即函数在点 0, 0 处不连续。
但
fx
0, 0
lim
x0
f
0 x,0
x
f
0, 0
00 lim x0 x
0
fy
,1,
5 4
z 处的切线与 x 轴正方向所成的倾角是多少？
解 z 2x x
z x
1 2
,1,
5 4
1
y
所求倾角 arctan1
4
x
高阶偏导数
由于二元函数的偏导数仍是二元函数，故可据实际需要再求偏 导数，称之为二阶偏导数，同理有三阶、四阶……等高阶偏导数。
例4 求下列二元函数的所有二阶偏导数
x
x
所以 dz 2x sin(2 y)dx 2x2 cos(2 y)dy
例3 Байду номын сангаас函数 z 1 x2 y2 4 的全微分 dz
解 因为 z 2x x
x 2 1 x2
1 x2
z 2y
y
x 2 y2 4 y2 4
所以
dz x dx y dy
1 x2
y2 4
多元函数的极值的概念
以上问题可以看成是表面积 S xy 2xz 2 yz
在条件 xyz k 下的极值（最值）问题——条件极值。
求条件极值的拉格朗日乘数法：
例如：求函数 u f x, y, z 满足条件 x, y, z 0的极值。
作函数：F x, y, z, f x, y, z x, y, z（ 拉格朗日函数）
求出二阶偏导：A zxx 6x 6, B zxy 0, C zyy 6 y 6
在点 1,0处，AC B2 0, 又 A 0
所以 z 1,0 5 是极小值。
在点 1, 2处，AC B2 0 所以函数在该点没在极值。
在点3,0处，AC B2 0 所以函数在该点没在极值。
在点3, 2处，AC B2 0,又A 0
zy
ln 1
xy
y x 1 xy
zy
1
xy y
ln 1
xy
xy 1 xy
例1 求下列多元函数的偏导数
4
arctan z x u xy
解
u x
1 1 z2x
zx
ln
z
xy arctan x2y
zx
yx y1
u y
arctan
zx
xy ln x2y
x
u z
1 xy
1 1 z2x
xz x1
关于y的偏增量：称 z f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 ) 为函数在点 (x0 , y0 ) 处关于y的偏增量。
全微分 若二元函数 z f (x, y) 在点 (x, y) 处的全增量
z f x x, y y f x, y
可以表示成 A x, y x B x, y y o x2 y2
0, 0
lim
y 0
f
0, 0 y
y
f
0, 0
lim
y0
00 y
0
即函数在点 0, 0 处可导。 由此知，偏导存在未必连续。
连续
偏导数存在。
连续
偏导数存在。
不 同！
对比一元函数，我们有：可导 但：可导
连续， 连续，
偏导数的几何意义（演示）
例4
求曲线
z x2
y
1
y2
在点
1 2
例2 求下列多元复合函数的偏导数
1 z u arctan v, u xy2 v x
解 以上三个函数复合成：
z xy2 arctan x
zx y2 arctan
x xy2 1 1 1 x 2 x
zy 2xy arctan x
例3
讨论
f
x,
y
xy x2 y2
,
0,
x2 y2 0
设函数 z f x, y 在点 x0, y0 的某个邻域内连续且 有直到二阶的连续偏导数，又 x0, y0 是驻点，令
A fxx x0, y0 , B fxy x0, y0 , C fyy x0, y0
则：（1）当AC-B2 > 0 时，函数取到极值，且当A > 0 时取 极小值，当A < 0 时取极大值。
其中 是常数，称为拉格朗日乘数。
解方程组：
Fx x, y, z 0 Fy x, y, z 0
Fz x, y, z 0
所得点 x, y, z 是
可能的极值点。
F x, y, z 0
例2 要做一个容积等于 K 的长方体无盖水池，应如何选择 水池的尺寸，方可使它的表面积最小？
解 表面积 S xy 2xz 2yz
二元函数的极值图例
z 3x2 4y2
有极小值 z(0, 0) 0
z x2 y2
有极大值 z(0, 0) 0
二元函数的极值图例
z xy 在原点没有极值
极值存在的必要、充分条件
极值存在的必要条件—— 各偏导存在的极值点一定是驻点。 驻点——使各偏导数均为零的点。
极值存在的充分条件——（以二元函数为例）
z f x , x , zx ,
fx x, y
或
z y
f , y , zy ,
fy x, y
求偏导方法：只需将其它变量视为常数，按一元函数求导则可。
例1 求下列多元函数的偏导数
1 z sin xy cos2 x2 y
解 zx y cos xy 2cos x2 y sin x2 y 2x zy x cos xy 2cos x2 y sin x2 y 1
解 设长方体的长宽高分别为x,y,z 则 xyz=K
S xy 2xz 2yz xy 2k 2k yx
z
x
y
xyz k
2k
解方程组： Sx y x2 0
Sy
x
2k y2
0
得：x y 3 2k
从而 z 1 3 2k 2
由问题的实际意义知，这时表面积获得最小值：S 33 4k2
定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，对 于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y)，如果都适合f(x,y)<f(x0,y0)， 则称函数在点(x0,y0)处有极大值；如果都适合f(x,y)>f(x0,y0)， 则称函数在点(x0,y0)处有极小值。极大值、极小值统称为极值。 使得函数取得极值的点称为极值点。