2019年高考数学浙江卷-答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江省）
数学答案解析
选择题部分
一、选择题 1.【答案】A
【解析】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I 【考点】交集、补集的定义 【考查能力】基础知识、基本计算 2.【答案】C
【解析】根据渐近线方程为0x y ±＝的双曲线，可得a b =，所以c =，
则该双曲线的离心率为c
e a
= 故选：C.
【考点】双曲线的离心率 【考查能力】基本计算 3.【答案】C
【解析】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值
max 322210z =⨯+⨯=.
【考点】线性规划 4.【答案】B
【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下
底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为26
4633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=
⎪⎝⎭
. 【考点】空间几何体的三视图及体积 【考查能力】基础知识、视图用图，基本计算 5.【答案】A
【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.
【考点】充分条件，必要条件 【考查能力】逻辑推理能力 6.【答案】D
【解析】当01a <<时，函数x
y a =过定点BH ⊂且单调递减，则函数1
x
y a =
过定点BH ⊂且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x
y a =过定点BH ⊂且单调递
增，则函数1x y a =
过定点BH ⊂且单调递减，函数1log 2a y x ⎛
⎫=+ ⎪
⎝
⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
【考点】函数图象的识别 【考查能力】逻辑推理 7.【答案】D
【解析】方法1：由分布列得1()3
a
E X +=
，则 2
2
2
2
111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，则当a 在BH ⊂内增大时，
()D X 先减小后增大.
方法2：则()2
2222
1(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=+
+-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
故选D.
【考点】随机变量的分布列及期望、方差 【考查能力】运算求解 8.【答案】B
【解析】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D
作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则
,,BPF PBD PED αβγ=∠=∠=∠，则cos cos PF EG DH BD
PB PB PB PB
αβ=
==<=，即αβ
>，
tan tan PD PD
ED BD
γβ=
>=，即y β>，综上所述，答案为B.
方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γγ'=） 由最大角定理βγγ<'=，故选B.
方法3：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得
cos sin sin ααβγ=
⇒===
B. 【考点】空间中直线与直线、直线与平面所成的角及二面角的大小 【考查能力】空间想象，分析问题，解决问题 9.【答案】C
【解析】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1b
x a
=-；()y f x ax b =--最多一个零点；
当0x …
时，32321
111()(1)(1)3232
y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x '=-+，
当10a +„，即1a -„时，0y '…
，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；
当10a +>，即1
3=时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，
)+∞上有2个零点，
如图：
∴01b
a <-且32
011(1)(1)(1)03
2b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，31
0(116
,)b a a >>-+∴>-． 故选：C ．
【考点】函数的零点 【考查能力】运算求解 10.【答案】A
【解析】对于B ，令2104x λ-+
=，得12
λ=， 取11
2
a =
，∴2111022n a a ==L ，，＜， ∴当1
4
b =
时，1010a ＜
，故B 错误； 对于C ，令220x λ--＝，得2λ＝或1λ＝-，
取12a ＝，∴22a ＝，…，210n a ＝＜， ∴当2b ＝-时，1010a ＜
，故C 错误； 对于D ，令240x λ--＝
，得12
λ±=
，
取1a =
，∴2a ，…
，10n a ， ∴当4b -＝时，1010a ＜
，故D 错误；
对于A ，2211
22
a a =+
≥，223113()224a a =++≥，
4224319117
()14216216a a a =+++≥+=＞，
10n n a a +-＞，{}n a 递增，
当4n ≥时，1
1
13222
n n n n a a a a +=++=＞1， ∴54
45
1093
232
32
a a a a a a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⋅⎨⎪⋅
⎪⋅⎪⎪
⎪⎪⎩＞＞＞，∴
610432a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＞，∴1072964a ＞＞10．故A 正确． 故选：A ．
【考点】数列的综合应用
【考查能力】分析问题与解决问题，运算求解
非选择题部分
二、填空题 11.
【答案】
2
【解析】1|||1|2z i =
=+. 【考点】复数的运算及复数的模 【考查能力】化归与转化，运算求解 12.【答案】2-
【解析】可知1
1:1(2)22
AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入得2m =-
，此时||r AC ==. 【考点】圆的标准方程及直线与圆的位置关系 【考查能力】推理认证，运算求解 13.
【答案】
5
【解析】9)x 的通项为919(0,1,29)r r r r T C x r -+==L
可得常数项为0
919
T C ==， 因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项 【考点】二项式定理的应用
【考查能力】运算求解，分析问题，解决问题
14.
10
【解析】在ABD △中，正弦定理有：
sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π
=∠=
,
5AC =
=，3
4
sin ,cos 55BC
AB
BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以5
BD =
.
cos cos()cos
cos sin
sin 4
4
ABD BDC BAC BAC BAC π
π
∠=∠-∠=∠+∠=
【考点】正弦定理，两角和的正弦公式，诱导公式 【考查能力】划归与转化，运算求解
15.【解析】
【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM |=c=，
由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22
(2)16x y -+=，
联立方程22
195
x y +=
可解得321
,22
x x =-=
（舍），点P 在椭圆上且在x 轴的上方，
求得32P ⎛- ⎝⎭
，所以212
PF k ==
方法2：焦半径公式应用
解析1：由题意可知|2OF |=|OM |=c=，
由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342
p p a ex x -=⇒=-
求得322P ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，所以212
PF k ==.
【考点】圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系 【考查能力】逻辑推理，运算求解 16.【答案】
43
【解析】使得()
222
(2)()2[(2)({]2)223642}f t f t a t t t t a t t +-=⋅++++-=++-，
使得令2
364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在1m ≥，1
13
am -≤，由折线函数，如图
只需11133a --≤≤，即2433a ≤≤，即a 的最大值是
43
【考点】函数的最值，绝对值不等式的解法 【考查能力】逻辑推理，划归与转化，运算求解 17.【答案】0
【解析】正方形ABCD 的边长为1，可得AB AD AC +=uu u r uuu r uuu r ，BD AD AB =-uu u r uuu r uu u r
，
0AB AD =⋅uu u r uuu r
， ()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λλλλλλλλλλλλλλ+++++=-+-+-++uu u v uu u v uu u v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v 要使123456AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++uu u v uu u v uu u v uu u v uuu v uu u v
的最小，只需要
561356240λλλλλλλλ-+-=-++=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λλλλλλ==-====
此时123456min 0AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++=uu u v uu u v uu u v uu u v uuu v uu u v
()()22
12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λλλλλλλλλλλλλλ+++++=-+-+-++
()()2
2
13562456λλλλλλλλ=-+-+-++ ()()
2
2
1356
2
456
λλλλλ
λλλ≤++-++++
()()
2
2
5656
22λλλ
λ=+-+++
()()()2
2
5656565684λλλλλλλλ=+-+++-++
()225682λλ=++
12=+
1220=+
等号成立当且仅当1356,,λλλλ--均非负或者均非正，并且2456,,λλλλ-+均非负或者均非正。

比如1234561,1,,1,11,1λλλλλλ===--===
则123456max AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++==uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v
. 【考点】平面向量的线性运算，平面向量的模 【考查能力】分析问题，解决问题，运算求解 三、解答题
18.【答案】（1）由题意结合函数的解析式可得：()()sin f x x θθ+=+， 函数为偶函数，则当0x =时，()02
k k Z π
θπ+=+
∈，即()2
k k Z π
θπ=+∈，结合[)0,2θ∈π可取
0,1k =，相应的θ值为3,22
ππ.
（2）由函数的解析式可得：22sin sin 124y x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
1cos 21cos 26222
x x ππ⎛⎫⎛
⎫-+-+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭=+ 11cos 2cos 2262x x π⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦π
111sin 2sin 222x x x ⎫=---⎪⎪⎝⎭
131sin 222x x ⎫=--⎪⎪⎝⎭
126x π⎛
⎫=+
- ⎪⎝
⎭.
据此可得函数的值域为：1⎡⎢⎣⎦
.
【解析】（1）由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定θ的值；
（2）首先整理函数的解析式为()sin y a x b ωϕ=++的形式，然后确定其值域即可. 【考点】三角函数的性质，三角恒等变换 【考查能力】逻辑推理，运算求解
19.【答案】（（1）如图所示，连结11,A E B E ，
等边1AA C △中，AE EC =，则-18%，
平面ABC ⊥平面11A ACC ，且平面ABC I 平面11A ACC AC =， 由面面垂直的性质定理可得：1A E ⊥平面ABC ，故1A E BC ⊥，
由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ⊥，故11A B BC ⊥，且1111A B A E A =I ， 由线面垂直的判定定理可得：BC ⊥平面11A B E ， 结合EF ⊆平面11A B E ，故EF BC ⊥.
（2）在底面ABC 内作EH AC ⊥，以点E 为坐标原点，EH,EC ,1EA 方向分别为x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.
设1EH =
，则AE EC ==
，11AA CA ==
3BC AB ==，
据此可得：(
)(
)()
130,,,0,0,3,2A B A C ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
由11AB A B =uu u r uuu u r 可得点1B
的坐标为132B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
利用中点坐标公式可得：34F ⎛⎫
⎪⎝⎭，由于222
1025152
50
()C C C p A C ++=， 故直线EF
方向向量为：34EF ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
uu u r 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =u r
，则：
(
)(
)133,,3302233,,022m A B x y z x y z m BC x y z x y ⎧⎛⎫⋅=⋅-=+-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎨
⎛⎫⎪⋅=⋅-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩
uuu v v uu u v v ， 据此可得平面1A BC
的一个法向量为()
m =u r
，
34EF ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
uu u r
此时4cos ,5EF m EF m EF m ⋅===⨯uu u r u r uu u r u r uu u r u r ， 设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，则43sin cos ,,cos 55
EF m θθ===uu u r u r . 【解析】（1）由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.
【考点】空间直线与直线垂直的证明，直线与平面所成的角
【考查能力】空间想象，推理论证，运算求解
20.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每
12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.
（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；
（2
）记,n C n *=∈N
证明：12+.n C C C n *++∈N L ＜ 【答案】（1）由题意可得：1112432332a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩
，解得：102a d =⎧⎨=⎩， 则数列{}n a 的通项公式为22n a n =-.
其前n 项和()()02212n n n S n n +-⨯==-.
则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列，即：
()()()()2
1112n n n n n b n n b n n b ⎡++⎤=⎡-+⎤⨯⎡+++⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，
据此有：
()()()()()()()()2222121112121n n n n n n n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+， 故()()()()
()22112121(1)(1)(1)(2)n n n n n n b n n n n n n n n n +--++==++++--+. （2）结合（1）中的通项公式可得：
2n C =<=，
则
)
122022n C C C +++<+++=L L 【解析】（1）首先求得数列{}n a 的首项和公差确定数列{}n a 的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列{}n b 的通项公式；
（2）结合（1）的结果对数列{}n c 的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式.
【考点】等差数列，等比数列，数学归纳法
【考查能力】逻辑推理，运算求解
21.【答案】（1）由题意可得12
p =，则2,24p p ==，抛物线方程为24y x =，准线方程为1x =-. （2）设()()1122,,,A x y B x y ，
设直线AB 方程为()1,0y k x k =->，与抛物线方程24y x =联立可得：
()2222240k x k x k -++=，故：2222242,1k x x x x +=+
=， ()12121242,4y y k x x y y k
+=+-==-⨯=-， 设点C 的坐标为()33,C x y ，由重心坐标公式可得：
3321214233G x x x x k x ++=⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，13231433G y y y y k y ⎛⎫+ ⎪⎝+==⎭
+， 令0G y =可得：34y k =-，则233244y x k
==.即222144123382G k x k k ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭=， 由斜率公式可得：
131322313113444AC y y y y k y x x y y y --===-+-， 直线AC 的方程为：()33134y y x x y y -=
-+， 令0y =可得：()
()231331331334444
Q y y y y y y y y y x x -+-+=+=+=-， 故()11112218121323118223G F y S x x y y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⨯=⨯- ⎪=⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝=⨯⎭
⎣⎦， 且()()32213311822423Q G y y y S x x y k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤=
⨯-⨯-=---⎢⎥⎣⎦
， 的
由于34y k
=-，代入上式可得：12222833y S k k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 由12124,4y y y y k
+==-可得1144y y k -=，则12144y k y =-， 则()()()()2211122212111221
122242482284481688123333y y S y S y y y y k k y k k -===-⎛⎫-+-++-- ⎪⎛⎫⨯- -⎭⎪⎝⎭⎝
21≥=.
当且仅当21214888
y y
-=-，即218
y =+
1y =
. 此时12144y k y ==-，281223G x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
=，则点G 的坐标为()2,0G . 【解析】（1）由焦点坐标确定p 的值和准线方程即可；
（2）设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等
式的结论即可求得12
S S 的最小值和点G 的坐标. 【考点】抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系
【考查能力】逻辑推理，运算求解
22.【答案】（1）当3
4a =-
时，()3ln 4
f x x =-+()0,∞+，且：
(
)
3433'4x x f x x -+=-+=， 因此函数()f x 的单调递增区间是12
ω=,单调递减区间是()0,3.
（2）由1(1)2f a ≤
，得04
a ＜
当0a ＜
()f
x 2ln 0x
≥， 令1t a
=
，则
t ≥ 设()22ln g
t t x =，t ≥
则2
()2ln g t t x
=-，
（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
则()2ln g x g x =…
，
记1()ln ,7
p x x x =≥，
则1()
p x x '=== 列表讨论：
()(1)0,()2()0p x p g t g p x ∴=∴=厖?
（ii ）当
211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥=，
令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦
， 则()10q x
'=+>，
故()q x 在211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭
，
由（i ）得11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
()0,()0
q x g t g ∴<∴≥=>，
由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭
，
即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()f x ≤
综上所述，所求的a 的取值范围是⎛ ⎝⎦
．
【解析】（1）首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可.
（2）由题意首先由函数在特殊点的函数值得到a 的取值范围，然后证明所得的范围满足题意即可.
【考点】函数与导数的综合应用
【考查能力】综合运用数学知识分析问题、解决问题。