2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-3 5 二项式定理》

二项式定理
一、教材分析
一、教材分析
二项式定理安排在高中数学选修2-3第5节,是排列组合内容后的一局部内容，其形成过程是组合知识的应用。

另外也为学习随机变量及其分布做准备。

二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。

运用二项式定理可以解决一些比拟典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。

二、学情分析
授课对象是高二中等程度班级的学生。

学生具有一般的归纳推理能力，学生思维较活泼，但创新思维能力较弱。

在学习过程中，大局部学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程。

二、教学目标
1、知识目标：理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题。

2、能力目标：在学生对二项式定理形成过程的参与探讨过程中，培养学生观察、猜测、归纳的能力，以及学生的化归意识与知识迁移的能力。

3、情感目标：
〔1〕通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，培养学生解决数学问题的兴趣和信心
〔2〕通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，使学生体会到数学内在的和谐对称美
三、教学重点、难点
重点：二项式定理的内容及应用。

难点：掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程。

三、教学程序设计
〔一〕问题引入：大家都知道的展开式，那么谁能快速的答复我的展开式是什么？那么，的展开式式什么呢？
只要掌握一定的规律我们就可以快速地把它们展开了，那么这种规律是什么呢？是谁发现的呢？这种规律叫什么呢？这就是我们这节课所讲的内容。

这个规律叫做二项式定理，它是由牛顿发现的。

牛顿不仅是一位物理学家，同时他还是一位数学家。

这个定理是他在1664年、1665年间提出的，并以此为基石创造出了微积分。

下面我们就一起来研究下这个定理。

（二）归纳总结
1、首先，请大家的展开式。

并答复以下三个问题：
①展开后有多少项？②展开后有哪些项？③各项的系数是如何确定的？
活动结果：上式中有两个括号，每个括号中有两个字母，一个是a，一个是b，每个括号只能取一个字母，然后相乘。

每个都不取b的情况有1种，即 ,那么前的系数为；
恰有1个取b的情况有种，那么ab前的系数为；
恰有2个取b的情况有种，那么前的系数为。

我们把的展开式的每一项系数用组合数表示出来：
2、推导的展开式的项和系数。

利用以上结果答复以下三个问题。

①展开后有多少项？②展开后有哪些项？③各项的系数是如何确定的？
从而得到
思考：①展开后的项数；②展开后各项的次数；③展开式各项的系数。

并仿照上述过程写出的展开式。

猜测：的展开式？
是n个相乘，每个在相乘时，有两种选择，选a或b,即的展开式中的每一项都是的形式，；对于每一项，它是由个选了a,n-个选了b得到的，它出现的次数相当于从n个中取个a的组合数，将它们合并同类项，就得到二项展开式，这就是二项式定理。

（三）新课讲解
二项式定理
这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为的二项展开式，的二项展开式共有n1项，其中各项的系数称为二项式系数，称为二项展开式的第r1项，又称为二项式通项。

在二项式定理中，如果设a=1,b=,那么得到公式
注意：1 上式右边为二项展开式,各项次数都等于二项式的次数；
2 展开式的项数为 n1 项；
3 字母a按降幂排列,次数由n递减到0；
字母b按升幂排列,次数由0递增到n；
4 二项式系数可写成组合数的形式,
组合数的下标为二项式的次数，
组合数的上标由0递增到n。

思考：？
（四）例题应用
例一、展开
解：
例二、展开，并求第三项的二项式系数和第六项的系数
解：
第三项的二项式系数为
第六项的系数为
注：1〕注意对二项式定理的灵活应用
2〕注意区别二项式系数与项的系数的概念；二项式系数为；项的系数为:二项式系数与数字系数的积；
3〕求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展开，另一种是求出二项式的通项，根据通项写出系数。

例三、求的展开式中的倒数第4项
解：的展开式有13项，倒数第4项是它的第10项。

例四、〔1〕求的展开式的第四项的系数；
（2）求的展开式中的系数和中间项
解：〔1〕第四项系数为280
（五）练习：
1、求的展开式常数项。

〔六〕小结：
1〕注意二项式定理中二项展开式的特征
2〕区别二项式系数，项的系数
3〕掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项。