2021版新高考数学一轮复习 课时规范练29 等差数列及其前n项和

课时规范练29 等差数列及其前n项和
基础巩固组
1.(2019山西晋城三模，4)记等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若
S17=272,则a3+a9+a15=（）
A.64 B。

48 C。

36 D。

24
2.(2019重庆模拟)设S n是等差数列｛a n}的前n项和,S5=3(a2+a8）,则
a5
a3
的值为（）
A.1
6B.1
3
C。

3
5
D.5
6
3.已知等差数列{a n｝的公差为d,且a8+a9+a10=24，则a1·d的最大值为(）
A.1
2B.1
4
C.2
D.4
4。

（2019江西上饶六校联考一，5）已知等差数列｛a n｝的首项a1=2,前n项和为S n，若S8=S10,则a18=（）
A.—4 B。

-2 C.0 D.2
5。

(2019四川峨眉山仿真考)在等差数列｛a n｝中,a3，a9是方程
x2+24x+12=0的两根,则数列{a n}的前11项和等于()
A。

66 B。

132 C.-66 D.-132
6。

已知S n是等差数列｛a n｝的前n项和，若
2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36，则S11=（）
A。

66 B。

55 C。

44 D。

33
7.（多选）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a9<0,a10〉0,则下列结论正确的是(）
A。

S10>S9B。

S17<0 C.S18〉S19 D。

S19>0
8.设数列｛a n}｛b n}都是等差数列,若a1+b1=7，a3+b3=21，则
a5+b5= 。

.
9.若数列｛a n｝的前n项和为S n,且满足a n+2S n S n—1=0(n≥2）,a1=1
2
（1)求证:{1
}成等差数列;
a a
(2)求数列{a n}的通项公式.
10.(2019湖南六校联考,17)已知数列{a n}中，a1=1,S n是其前n项和,
且对任意的r,t∈N＊，a a
a a =(a
a
)2。

(1)判断{a n}是否为等差数列，并证明你的结论; (2）略。

综合提升组
11。

在数列{a n｝中,若a1=1,a2=1
2,2
a a+1
=1
a a
+1
a a+2
（n∈N*）,则该数列的
通项为（）
A。

a n=1
a B.a n=2
a+1
C。

a n=2
a+2D.a n=3
a
12。

(2019福建漳州质检二,3）《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺,斩本一尺,重四斤;斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几
何？"意思是：“现在有一根金箠，长五尺,在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的题设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列,则从粗端开始的第二尺的重量是( ) A.73
斤 B 。

72
斤 C.52
斤 D 。

3斤
13.(2019安徽江淮十校模拟)已知数列{a n ｝的前n 项和为
S n ,S n =na n +n （n —1）,且a 5是a 2和a 6的等比中项。

（1）证明:数列{a n }是等差数列并求其通项公式; (2)略.
创新应用组
14。

(2019第三次全国大联考，11)已知数列{a n ｝中,a 1=1，a 2=30，2a n =a n+1+a n-1+2(n ∈N ＊且n ≥2），则数列{a n }的最大项的值是（ ）
A.225
B.226
C.75 D 。

76
15。

等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,已知S 10=0，S 15=25，则nS n 的最小值为 。

16.已知数列｛a n ｝中,a 1=35，a n =2—1
a
a -1
(n ≥2,n ∈N *）,数列｛b n }满足b n =1
a a -1
(n ∈N ＊）。

(1）求证：数列{b n ｝是等差数列。

(2)求数列｛a n }中的通项公式a n .
参考答案
课时规范练29 等差数列及
其前n 项和
1.B 由等差数列性质可知，S 17=5(a 1
+a 17
)
2
=17a 9=272,解得a 9=16,故a 3+a 9+a 15=3a 9=48。

故选B 。

2。

D 已知S 5=3（a 2+a 8），由等差数列的性质可得5a 1+10d=3（2a 1+8d ),即a 1=—14d ，所以a
5a
3
=a 1+4a a 1
+2a =-14a +4a -14a +2a =5
6.
3。

C ∵a 8+a 9+a 10=24,∴a 9=8,即a 1+8d=8,∴a 1=8-8d ,a 1·d=（8—8d ）
d=-8d —12
2+2≤2，当d=12
时,a 1·d 的最大值为2,故选C 。

4。

B 设等差数列｛a n ｝的公差为d ，由S 8=S 10，得a 9+a 10=0,所以
2a 1+17d=0,且a 1=2，所以d=-417，得a 18=a 1+17d=2+17×(-4
17)=—2.故选
B 。

5.D 因为a 3,a 9是方程x 2+24x+12=0的两根,所以a 3+a 9=-24,
又a 3+a 9=—24=2a 6， 所以a 6=-12，S 11=11×(a 1
+a
11)
2=
11×2a 6
2
=-132,故选D 。

6.D 由等差数列的性质可得2(a 1+a 3+a 5）+3(a 8+a 10）=6a 3+6a 9=36,即a 1+a 11=6。

则S 11=11(a 1
+a 11
)2=11×3=33。

故选D 。

7。

ABD 根据题意可知数列为递增数列,a 9<0,a 10>0，
∴前9项的和最小,故A正确,
S17=(a1+a17)×17
2=2a9×17
2
=17a9<0,故B正确,
S19=(a1+a19)×19
2=2a10×19
2
=19a10>0,故D正确,
∵a19〉0，∴S18=S19-a19,∴S18<S19,故C不正确.
故选ABD。

8。

35∵数列｛a n}，｛b n}都是等差数列，设数列{a n｝的公差为d1，数列｛b n}的公差为d2,
∴a3+b3=a1+b1+2（d1+d2)=21，而a1+b1=7,可得2(d1+d2)=21-7=14.
∴a5+b5=a3+b3+2（d1+d2）=21+14=35.
9。

(1）证明当n≥2时,由a n+2S n S n—1=0，得S n-S n-1=—2S n S n-1,所以
1 a a −1
a a-1
=2.
又1
a1
=1
a1
=2，故{1
a a
}是首项为2,公差为2的等差数列。

（2）解由（1）可得1
a a =2n,所以S n=1
2a
.
当n≥2时,a n=S n—S n-1=1
2a −1
2(a-1)
=a-1-a
2a(a-1)
=—1
2a(a-1)
.
当n=1时,a1=1
2
不适合上式。

故a n={12,a=1,
-1
2a(a-1)
,a≥2.
10.(1)解{a n｝是等差数列。

证明如下：因为对任意的r,t∈N＊，都
有a a
a a =(a
a
)2,
所以对任意的n∈N*,有a a
a1
=n2，即S n=n2.从而n≥2时,a n=S n-S n-
1
=2n-1,且n=1时此式也成立。

所以a n+1-a n=2（n∈N＊）,即｛a n}是以1为首项，2为公差的等差数列.
11.A由已知式2
a a+1=1
a a
+1
a a+2
可得1
a a+1
−1
a a
=1
a a+2
−1
a a+1
，知{1
a a
}是首项为
1 a1=1，公差为1
a2
−1
a1
=2-1=1的等差数列，所以1
a a
=n，即a n=1
a
.
12.B依题意,金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a1=4，则a5=2,设公差为d，则2=4+4d，解得d=-1
2
.
所以a2=4—1
2=7
2
.故选B。

13.证明（1)由S n=na n+n(n—1)得S n+1=（n+1)a n+1+n(n+1）,
所以S n+1-S n=（n+1）a n+1—na n+2n,又S n+1—S n=a n+1,所以na n=na n+1+2n，故a n+1-a n=—2。

故数列{a n }是公差为—2的等差数列，且a 5是a 2和a 6的等比中
项,即a 52=a 2a 6，得（a 1
-8)2
=(a 1—2）(a 1—10）， 解得a 1=11，所以a n =13-2n.
14。

B ∵2a n =a n+1+a n-1+2,
∴（a n+1—a n )-（a n -a n-1）=—2,
∴数列{a n+1-a n ｝是公差为-2的等差数列。

∵a 2—a 1=29，∴a 16-a 15=29+15×（—2）=1〉0,a 17-a 16=29+(16-1）×（—2）=—1〈0。

又∵数列{a n+1—a n }是单调递减数列，∴数列｛a n+1-a n }的前15项和最大，
即(a 2-a 1)+（a 3—a 2)+…+(a 16-a 15)=a 16-1最大，
∴数列｛a n }的最大项是第16项a 16。

又∵a 16-1=15×29+15×14
2
×(—2)=225，∴a 16=226，
∴数列｛a n }的最大项的值是226。

15.-49 由S n =na 1+
a (a -1)
2
d 得
{
10a 1+45a =0,15a 1+105a =25,
解得{a 1=-3,
a =23
,则S n =-3n+a (a -1)
2
·2
3
=1
3
（n 2-10n ）,
所以nS n =13
（n 3-10n 2
）,
令f （x ）=13
(x 3—10x 2
）, 则f'(x ）=x 2—203x=x (a -203
)， 当x ∈(1,203
)时，f (x )单调递减, 当x ∈(203
,+∞)时，f (x )单调递增， 又因为6〈203
〈7,f (6）=—48,f （7)=-49，所以nS n 的最小值为-49。

16。

(1)证明因为a n =2—1a a -1
(n ≥2,n ∈N ＊),b n =1a a
-1.所以n ≥2时,b n —
b n —1=1
a
a
-1
−1
a a -1
-1
=1(2-1
a a -1
)-1
−1
a
a -1
-1
=a a -1
a
a -1
-1
−1
a a -1-1
=1.
又b 1=1a 1
-1=—52,所以数列{b n }是以-5
2
为首项,1为公差的等差数列. (2)解由(1）知，b n =n —72，则a n =1+1a a
=1+2
2a -7
.。