2020届江苏省南京十校上学期12月高三联合调研数学试题(解析版)

2020届江苏省南京十校上学期12月高三联合调研数学试题
一、填空题
1．已知集合{}1,2A =，{}1,2,3B =-，则集合A B =U ______. 【答案】{}1,1,2,3-
【解析】利用并集定义直接求解． 【详解】
∵集合{}1,2A =，{}1,2,3B =- ∴集合{}1,1,2,3A B ⋃=-. 故答案为：{}1,1,2,3-． 【点睛】
本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．已知复数21i
z i
=+，(i 为虚数单位)则复数z 的实部为 . 【答案】1
【解析】试题分析：22(1)=112
i i i z i i -==++，所以实部为1 【考点】复数概念
3．根据如图所示的伪代码，则输出I 的值为______.
【答案】10
【解析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S ，I 的值，直到S 不满足条件跳出循环，输出I 的值即可． 【详解】
模拟程序的运行，可得1S =，1I =.
满足条件12S ≤，执行循环体，2S =，4I =； 满足条件12S ≤，执行循环体，6S =，7I =； 满足条件12S ≤，执行循环体，13S =，10I =； 不满足条件12S ≤，退出循环，输出I 的值为10. 故答案为：10. 【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的S ，I 的值是解题的关键，属于基础题．
4．某校高一、高二、高三年级的学生人数比为3:3:2，为调查该校学生每天用于课外阅读的时间，现按照分层抽样的方法取若干人，若抽取的高一年级人数为45人，则抽取的样本容量为______. 【答案】120
【解析】设样本容量为n ，由抽取的高一年级人数为45人，利用分层抽样的性质能求出抽取的样本容量． 【详解】
某校高一、高二、高三年级的学生人数比为3：3：2，为调查该校学生每天用于课外阅读的时间，现按照分层抽样的方法取若干人，设样本容量为n . ∵抽取的高一年级人数为45人 ∴332
451203
n ++=⨯
=. 故答案为；120. 【点睛】
本题考查样本容量的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．函数f(x)=ln(1)x +____________. 【答案】(]1,2-.
【解析】由题意得到关于x 的不等式组，解不等式组可得函数的定义域． 【详解】 由题意得2
10
40
x x +>⎧⎨
-≥⎩，解得12x -<≤， 所以函数的定义域为(]
1,2-． 【点睛】
已知函数的解析式求函数的定义域时，可根据解析式的特征得到关于自变量x 的不等式（组），解不等式（组）后可得函数的定义域．
6．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为______. 【答案】
1
3
【解析】先求出基本事件总数326n =⨯=，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m =⨯=，由此能求出两人均未抽到标有数字3的卡片的概率． 【详解】
甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），基本事件总数326n =⨯=，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m =⨯=，则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为21
63
m p n =
==. 故答案为：13
． 【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．在平面直角坐标亲xOy 中，若双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的离心率为32，
则该双曲线的渐近线方程为______.
【答案】y x = 【解析】利用双曲线的离心率求出a ，b 关系，然后求解渐近线方程即可． 【详解】
由已知可知离心率32c e a ==，22222
94c a b a a +==，即225
4
b a =. ∵双曲线22
221x y a b
-=的焦点在x 轴上
∴该双曲线的渐近线方程为b y x a =±
，即2
y x =±.
故答案为：y x =. 【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 8．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，若函数()y f x ϕ=-（02
π
ϕ<<
）是偶函数，
则ϕ=______. 【答案】
512
π 【解析】直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的对称性的应用求出结果． 【详解】
∵函数()sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
∴函数()sin 223y f x x πϕϕ⎛⎫
=-=-+ ⎪⎝
⎭
∵函数()y f x ϕ=-（02
π
ϕ<<）是偶函数
∴232k ππ
ϕπ-+
=
+，k Z ∈ ∴212
k ππ
ϕ=-
-，k Z ∈ ∵02
π
ϕ<<
∴当1k =-时，512
πϕ=
. 故答案为：512
π. 【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
9．已知数列{}n a 是首项为1，公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，若2a ，6a ，
22a 成等比数列，则10S =______.
【答案】145
【解析】设等差数列的公差为d ，0d >，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得d ，由等差数列的求和公式，计算可得所求和． 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，0d >. ∵2a ，6a ，22a 成等比数列
∴2
6222a a a =，即()()()2
111521a d a d a d +=++.
∴133d a ==
∴101104510453145S a d =+=+⨯=. 故答案为：145． 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
10．某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为______.时，可使得所用材料最省. 【答案】
12
【解析】设圆柱的高为h ，底面半径为r ，根据容积为128π个立方单位可得
2128r h ππ=，再列出该圆柱的表面积，利用导数求出最值，从而进一步得到圆柱的底
面半径和高的比值． 【详解】
设圆柱的高为h ，底面半径为r .
∵该圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位 ∴2128r h ππ=，即2
128
h r =
. ∴该圆柱形的表面积为2
2
2
212825622222S r rh r r r r r
ππππππ=+=+⋅=+. 令()2
2562g r r r ππ=+
，则()2
2564g r r r ππ'=-
. 令()0g r '>，得4r >； 令()0g r '<，得04r <<.
∴()g r 在()0,4上单调递减，在()4,+∞上单调递增. ∴当4r =时，()g r 取得最小值，即材料最省，此时1
2
r h =. 故答案为：12
. 【点睛】
本题考查函数的应用，解答本题的关键是写出表面积的表示式，再利用导数求函数的最值，属中档题．
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：30x
y m +-=，点()3,0A ，动点P 满足2227PO PA -=.若P 点到直线l 的距离恒小于8，则实数m 的取值范围______. 【答案】()9,3-
【解析】设(),P x y ，由已知列式求得点P 的轨迹方程，可得P 在以()3,0-为圆心，以5为半径的圆上，把P 点到直线l 的距离恒小于8，转化为圆心到直线的距离小于3列式求解，即可得到m 的取值范围． 【详解】 设(),P x y .
∵()3,0A ，动点P 满足2227PO PA -=
∴()
()2
222
237x y x y ⎡⎤+--+=⎣⎦
，即()2
2325x y ++=.
∴P 在以()3,0-为圆心，以5为半径的圆上 ∵P 点到直线l ：30x y m +-=的距离恒小于8
∴
()
2
2
33
13m
--<+
，解得93m -<<.
故答案为：()9,3-. 【点睛】
本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 12．如图，在ABC ∆中，3AB =
，2AC =，2BD DC =u u u r u u u r
，E 为AC 的中点，AD 与
BE 交于点F ，G 为EF 的中点.AG CF ⋅=u u u r u u u r
______.
【答案】34
-
【解析】根据2BD DC =u u u r u u u r ，设2133AF AD AB AC λλ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u
r u u u r ，再根据B ，F ，E 三
点共线，设()112
AF AB AE AB AC μμμμ-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即可求出λ，从而得出AF u u u r
，CF
uuu r
，进而求出AG CF ⋅u u u r u u u r 的值. 【详解】
根据2BD DC =u u u r u u u r ，设2133AF AD AB AC λλ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u
r u u u r
∵F ，E ，B 三点共线
∴设()112AF AB AE AB AC μμμμ-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴2313
2λ
μλμ
⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得3
4λ=
∴1124AF AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，11132448
AG AF AE AB AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
1324
CF CA AF AB AC =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
∴2211313119224242416AG CF AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⋅=+-=-
⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
∵AB =2AC =，
∴11933424164
AG CF ⎛⎫
⋅=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r
故答案为：34
-. 【点睛】
本题考查了向量数乘的几何意义，向量减法的几何意义，向量数量积的运算，考查了计算和推理能力，属于中档题．
13．已知0a >，0b >，且31126a b a b ++≤+，则3ab a b
+的最大值为______. 【答案】
1
9
【解析】将不等式两边同乘以31
a b
+，再将不等式两边化简，然后利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】
∵0a >，0b >，且31126a b a b
++≤
+
∴()2
3131126a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+++≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∵()31361863631126312156b a b a a b a b a a b b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++=+++++=++++
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭ ∴(
)313131126156276a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥++=++
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，当且仅当
6a b =时取等号.
令
()31
0t t a b
+=>，原不等式转化为2276t t +≤，解得9t ≥. ∴111
3139ab a b t a b ==≤
++
故答案为：1
9
.
【点睛】
本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
14．已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当[]
0,4x ∈时，()()
x
x
f x =
，
关于x 的不等式()()2
0f
x af x +>在区间[]400,400-上有且仅有400个整数解，则
实数a 的取值范围______.
【答案】31
223e ,e --⎛
⎤-- ⎥⎝⎦
【解析】由已知条件可知函数()f x 关于直线4x =对称，周期为8，故不等式
()()20f x af x +>在区间[]0,8上有且仅有4个整数解，作出函数图象，进而得解．
【详解】
∵()f x 满足()()44f x f x +=- ∴函数()f x 关于直线4x =对称 ∵函数()f x 为偶函数
∴()()()8f x f x f x +=-=
∴()f x 周期为8，则在区间[]400,400-上有100个周期 ∵()()2
0f x af x +>在[]400,400-上有且仅有400个整数解 ∴()()2
0f
x af x +>在[]0,8有且仅有4个整数解
当04x ≤≤时，
()()
x
x
f x e
=
，则()()
112x
x f x e -
'=
.
∴令()0f x '>，则02x ≤<，()f x 在[)0,2上单调递增；
令()0f x '<，则24x <≤，()f x 在(]2,4上单调递减，其中()22f e
=. 做出函数在区间[]0,8上的图象如图所示：
∵()1f e =
，()()31f f e e
=
>，()()20f x af x +>在[]0,8上有4个整数解，则()f x a >-在[]0,8上有4个整数解.
a e e e ≤-<∴a e e
e
<≤. 故答案为：31223e ,e --⎛
⎤-- ⎥⎝⎦
.
【点睛】
本题考查函数性质的运用及导数在解决函数问题中的应用，考查数形结合思想及转化能
力，属于较难题目．
二、解答题
15．已知分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，且3tan 4
A = （1）若6
5
a =
，2b =，求边c 的长； （2）若(
)sin A B -=，求tan B 的值 【答案】（1）85c =
；（2）13
【解析】（1）由正切值可得0,2A π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，进而可求得sin A 与cos A ，再由余弦定理即
可求得边c 的值； （2）根据(
)sin 10
A B -=
，求得()cos A B -，进而求得()tan A B -，从而可求出tan B 的值.
【详解】
（1）在ABC ∆中，由3
tan 4A =可知0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由22
sin 3
cos 4
sin cos 1
A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得
3sin 5
4cos 5A A ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=
⎪⎩
由余弦定理，2
2
2
2cos a b c bc A =+-得2
226422255c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
，即21664
0525c c -
+=，解得85
c =. （2）由0,
2A π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
且()0,B π∈，得,
2A B ππ⎛⎫
-∈- ⎪⎝
⎭
. 又(
)sin 010
A B -=>，则0,2A B π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则()cos 0A B ->. 所以()
cos A B -==，所以()()()sin 1tan cos 3A B A B A B --=
=-
所以()() (
)
31
tan tan1
43
tan tan
31
1tan tan3
1
43
A A B
B A A B
A A B
-
--
=--===
⎡⎤
⎣⎦+⋅-
+⋅
.
【点睛】
考查余弦定理及两角差的正弦公式，给出一个角的三角函数值，求其他三角函数值，属于简单题．
16．如图，在斜三棱柱111
ABC A B C
-中，已知ABC
∆为正三角形，D，E分别是AC，1
CC的中点，平面
11
AA C C⊥平面ABC，
11
A E AC
⊥.
（1）求证：//
DE平面
11
AB C；
（2）求证：1A E⊥平面BDE.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）根据D，E分别是AC，1
CC的中点，即可证明
1
//
DE AC，从而可证//
DE
平面11
AB C；
（2）先根据ABC
∆为正三角形，且D是AC的中点，证出BD AC
⊥，再根据平面11
AA C C⊥平面ABC，得到BD⊥平面
11
AAC C，从而得到
1
BD A E
⊥，结合11
A E AC
⊥，即可得证．
【详解】
（1）∵D，E分别是AC，1
CC的中点
∴
1
//
DE AC
∵DE⊄平面11
AB C，
1
AC⊂平面
11
AB C
∴//
DE平面
11
AB C.
（2）∵ABC ∆为正三角形，且D 是AC 的中点 ∴BD AC ⊥
∵平面11AA C C ⊥平面ABC ，且平面11AAC C I 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ∴BD ⊥平面11AAC C ∵1A E ⊂平面11AAC C ∴1BD A E ⊥
∵11A E AC ⊥且1//DE AC ∴1A E DE ⊥
∵DE ，BD ⊂平面BDE ，且DE BD D ⋂= ∴1A E ⊥平面BDE . 【点睛】
本题考查直线与平面平行的判定，面面垂直的性质等，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，中档题． 17．如图，已知椭圆
22
221x y a b
+=（0a b >>）的焦点到相应准线的距离为3，离心率为1
2
，过右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 、CD ，设AB ，CD 的中点分别为M 、N .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若弦AB ，CD 的斜率均存在，且OMF ∆和ONF ∆的面积分别为1S ，2S ，试求当12S S 最大时的方程.
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）10x y +-=或10x y --= 【解析】（1）直接根据椭圆的几何性质得到a ，b 的值；
（2）设出直线AB 的方程与椭圆方程联立，求出OMF ∆的面的表达式，同理求出
ONF ∆的面积不等式，从而可求出12S S ，利用基本不等式即可求其最大值，从而得解.
【详解】
（1）由题意：2
3a c c
-=，12c e a ==，则2a =，1c =
，b =为22
143
x y +=.
（2）由题意可得()1,0F .
∵AB ，CD 斜率均存在，设直线AB 方程为：()1y k x =-（0k ≠），()11,A x y ，
()22,B x y ，则1212,12
2x x x x M k ⎛++⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
∴由()2
2
1,3412,
y k x x y ⎧=-⎨
+=⎩得(
)2
2
223484120k
x
k x k +-+-=.
∴2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，则22243,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
. ∴同理可得22
43,3434k N k k ⎛⎫
⎪++⎝⎭
∴()12312234M k S OF y k =⋅⋅=+，()
2231
2234N
k S OF y k =⋅⋅=+ ∴()21242229911441225121225k S S k k k k ==⋅⎛⎫++++ ⎪
⎝
⎭，
∵2
212k k +
≥，当且仅当2
2
1k k =即1k =±时取等号 ∴当1k =±时，12S S 最大，此时直线AB 的方程为10x y +-=或10x y --=. 【点睛】
本题考查椭圆的几何性质，椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积的最值等，考查函数最值，重要不等式，属于难题.
18．如图，某湿地公园的鸟瞰图是一个直角梯形，其中：AB CD ∥，AB BC ⊥，
75DAB ∠=︒，AD 长1千米，AB
千米，公园内有一个形状是扇形的天然湖泊
DAE ，扇形DAE 以AD 长为半径，弧DE 为湖岸，其余部分为滩地，B ，D 点是公园
的进出口.公园管理方计划在进出口之间建造一条观光步行道：线段BQ -线段QP -弧
PD，其中Q在线段BC上（异于线段端点），QP与弧DE相切于P点（异于弧端点］根据市场行情BQ，OP段的建造费用是每千米10万元，湖岸段弧PD的建造费用是
每千米
()
2021
3
+
万元（步行道的宽度不计），设PAE
∠为θ弧度观光步行道的建造费用为w万元.
（1）求步行道的建造费用w关于θ的函数关系式，并求其走义域；
（2）当θ为何值时，步行道的建造费用最低？
【答案】（1）()1cos25
1021
sin312
w
θπ
θ
θ
⎡-⎤
⎛⎫
=++-
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
，定义域：
5
,
412
ππ
θ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
；（2）
当
3
π
θ=时，步行道的建造费用最低.
【解析】（1）以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，可得»DE 所在圆的方程为221
x y
+=，可得()
cos,sin
Pθθ，从而求得PQ所在直线方程，与BC 所在直线方程联立求得Q坐标，即可得到BQ与PQ，再由弧长公式求»DP的长，再根据QP与»DE相切于P点（异于弧端点）与
5
12
DABπ
=
∠，即可求得函数关系式与其定义域；
（2）令()
1cos25
sin312
f
θπ
θθ
θ
-⎛⎫
=+-
⎪
⎝⎭
，利用导数求使步行道的建造费用最低时的θ值．
【详解】
（1）以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则»DE
所在圆的方程为2
2
1x y +=，()cos ,sin P θθ，)
2,0B ，直线PQ ：
cos sin 1x y θθ+=.
∵直线BC 的方程为2x =∴122,sin Q θθ⎫
⎪⎪⎭
. 所以12sin BQ θθ
-=
，2cos sin PQ θθ=，弧PD 长512πθ=-， 所以)
202112cos 2cos 510312w θθπθ--⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎝⎭
，化简得
)
1cos 2510
21sin 312w θπθθ
⎡-⎤
⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.
∵QP 与»DE 相切于P 点（异于弧端点），5
12
DAB π=
∠ ∴定义域：5,412ππθ⎛⎫∈
⎪⎝⎭
. （2）令()1cos 25sin 312f
θπθθθ-⎛⎫
=
+- ⎪⎝⎭
，求导得()21cos 2sin 3f θθθ-'=-，令
()2
1cos 2
0sin 3
f θθθ-'=
-=， cos 1θ=（舍去）
，1cos 2
θ=，3π
θ=，
θ
,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3
π
5,312ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
()f θ'
-
+
所以当3
πθ=时，()f
θ最小，即w 最小，当3
πθ=
时，步行道的建造费用最低.
【点睛】
本题考查根据实际问题选择函数模型，考查直线与圆位置关系的应用，利用导数求最值，是中档题．
19．已知函数()3
2
32f x x x x =-+，()g x tx =，t R ∈.
（1）求函数()()x f x e x x
ϕ⋅=的单调增区间；
（2）令()()()h x f x g x =-，且函数()h x 有三个彼此不相等的零点0，m ，n ，其中
m n <.
①若1
2
m n =
，求函数()h x 在 x m =处的切线方程； ②若对[],x m n ∀∈，()16h x t ≤-恒成立，求实数t 的去取值范围.
【答案】（1）单调增区间是⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭
；（2）①1y x =-+，②1
24
t -
<<或211t <≤ 【解析】（1）先求得函数()()x
f x e x x
ϕ⋅=，对函数()x ϕ求导，令()x ϕ'大于零，解
不等式即可求得单调增区间；
（2）易知3m n +=，2mn t =-，①求出m ，n 的值，进而求得切线方程；②由对
[],x m n ∀∈，()16h x t ≤-恒成立，可得()max 16h x t ≤-，分3
02
m n <<
<与0m n <<两种情况讨论，从而可求得t 的取值范围．
【详解】
（1）∵()()x f x e x x
ϕ⋅=，()32
32f x x x x =-+
∴()()
2
32x
x x x e ϕ=-+
∴()()
2
1x
x x x e ϕ'=--，令()0x ϕ'>，得x <
x >
∴()x ϕ的单调增区间是⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭
. （2）由方程()0h x =，得m ，n 是方程()2
320x x t -+-=的两实根，故3m n +=，
2mn t =-，且由判别式得1
4
t >-.
①若1
2
m n =，得1m =，2n =，故22mn t =-=，得0t =，
因此()11h '=-，故函数()h x 在1x =处的切线方程为1y x =-+. ②若对任意的[],x m n ∈，都有()16h x t ≤-成立，所以()max 16h x t ≤-. 因为3m n +=，m n <，所以3
02
m n <<<或0m n <<. 当3
02
m n <<
<时，对[],x m n ∈有()max 0h x =，所以016t ≤-，解得16t ≤.又因为20mn t =->，得2t <，则有1
24
t -<<；
当0m n <<时，()()2
362h x x x t '=-+-，则存在()h x 的极大值点()1,0x m ∈，且
211362t x x =-+.
由题意得()()32
11113216h x x x t x t =-+-≤-，将2
11362t x x =-+代入得
321113370x x x -++≥进而得到()3
118x -≥-，得110x -≤<. 又因为2
11362t x x =-+，得211t <≤.
综上可知t 的取值范围是1
24
t -<<或211t <≤. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查导数的几何意义，考查运算求解能力及分类讨论思想，属于中档题．本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等．
20．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足23a =，2420S S +=，数列{}n b 是首项为2，公比为q （0q ≠）的等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设正整数k ，t ，r 成等差数列，且k t r <<，若11k r r k a b a b a b +=+=+，求实
数q 的最大值；
（3）若数列{}n c 满足,21
,2k n k a n k c b n k
=-⎧=⎨
=⎩，k *∈N ，其前n 项和为n T ，当3q =时，
是否存在正整数m ，使得221
m
m T T -恰好是数列{}n c 中的项？若存在，求岀m 的值；若不
存在，说明理由.
【答案】（1）21n a n =-；（2）1
2
-
；（3）存在，1m =或2m = 【解析】（1）根据等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足23a =，2420S S +=，可得数列{}n a 的通项公式；
（2）根据k ，t ，r 成等差数列与11k r r k a b a b a b +=+=+，推导出2t k r q q q +=，从而得出()2r k t k -=-，令t k n -=，则2210n n
q q --=，从而可得q 的最大值；
（3）根据题设条件可得()2221212212131
333131m m m m m m T m T m m ----+-==-≤+-+-，再利用221
m m T T -恰好是数列{}n c 中的项，可得只能为1c ，2c ，3c ，利用分类思想，即可求出m 的值． 【详解】
（1）等差数列中，23a =，2420S S +=，
111324620
a d a d a +=⎧∴⎨+++=⎩解得11a =，2d =，21n a n ∴=-. （2）正整数k ，t ，r 成等差数列，且k t r <<，若k t t r r k a
b a b a b +=+=+，
111212212212t r k k q t q r q ---∴-+=-+=-+，11t r t k q q --∴-=-，11r k r t q q ---=-
又t k r t -=-1
111t r r k q
q q q ----∴-=-整理可得2t k r q q q +=.210r k t k q q --∴--=.
又t k r t -=-，()2r k t k ∴-=-，令t k n -=，则2210n n
q q --=，12
n q ∴=-
或1.
又1q ≠±，12n
q ∴=-.∴n 为奇数，10q -<<，1
12n q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
为递减数列
∴当1n =时，q 取最大值1
2
-
.
（3）由题意得()()222131213
1213
m
m
m
m m T
m -+-=+
=+--，
2112212312331m m m m m m T T c m m ---=-=+--⋅=+-.
()2221212
212131
333131
m m m m m m T m T m m ----+-∴==-≤+-+- 若
221
m
m T T -恰好是数列{}n c 中的项只能为1c ，2c ，3c ， 第一类：若
2121
1m
m T c T -==，则130m -=，所以m 无解； 第二类：若
22121
2m
m T c b T -===，则12310m m --+=.由题意1m =不符合题意，2m =符合题意.
当3m ≥时，令()1
231x f x x -=-+（3x ≥），则()1
3ln32x f x x -'=-，
设()1
3
ln32x g x x -=-，则()()2
13ln320x g x -'=->，
即()f x ¢为增函数，故()()30f x f ''≥>，
()
f x \为增函数.故()()310f x f ≥=>， 即当3m ≥时，12310m m --+=无解，即2m =是方程唯一解.
第三类：若
23221
3m
m T c a T -===，则21m =，即1m = 综上所述，1m =或2m =. 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题．
21．已知点()2,2P ，在矩阵21a M b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下变为点()4,6Q . （1）求a 和b 的值；
（2）若直线l 在M 对应的变换作用下变为直线20x y +=，求直线l 的方程. 【答案】（1）0a =，2b =；（2）30x y +=
【解析】（1）由矩阵的点变换可得a ，b 的方程组，解方程可得a ，b 的值； （2）设直线l 上任意一点()00,P x y 经矩阵M 变换为()
,P x y '
'
'
，由点变换可得方程，
即可得到所求直线l 的方程． 【详解】 （1）224126a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，424
226a b +=⎧⎨+=⎩解得02a b =⎧⎨=⎩
，∴0a =；2b =. （2）由（1）知2021M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，M T ：202212x x x y y x y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，
设直线l 上任意一点()00,P x y 经矩阵M 变换为()
,P x y '
'
'
，
则0
00
22x x y x y ='=+'⎧⎨
⎩.∵20x y ''+=，∴()0002220x x y ++=即0030x y +=， ∴直线l 的方程为30x y +=. 【点睛】
本题考查矩阵的点变换，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程为1,22,2x t y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），
在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C
的极坐标方程是4πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，求线段AB 的长.
【答案】（1）l
20y -+=，C ：()()2
2
228x y -+-=；（2
）【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换； （2）由（1）可得曲线C 是圆，求出圆心坐标及半径，再求得圆心到直线的距离，即可求得AB 的长. 【详解】
（1）由题意可得直线l
20y -+=
，由4πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
，得24cos 4sin ρρθρθ=+，即22
44x y x y +=+，所以曲线C ：()()2
2
228x y -+-=.
（2）由（1）知，圆()2,2C
，半径r =
∴圆心到直线l 的距离为：
d =
=
∴AB ===【点睛】
本题考查直线的普通坐标方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法、运算求解能力，是中档题．
23．设函数()22f x x x =-++，若不等式242a b a b a --+≤()f x 对任意a ，
b R ∈，且0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围.
【答案】5
2x ≤-
或52
x ≥ 【解析】先由()()2422425a b a b a b a b a --+≤-++=，可得()5f x ≥，从而可得实数x 的范围. 【详解】
()()2422425a b a b a b a b a --+≤-++=Q
又0a ≠Q
0a ∴>，由题意，得()5a a f x ≤.
∴()5f x ≥，则225x x -++≥，解得5
2x ≤-
或52
x ≥. ∴x 的取值范围是5
2x ≤-或52
x ≥ 【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的几何性质及求解方法，考查学生对基础知识的掌握情况. 24．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 在直线
10x y +-=上，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交抛物线C 于A ，B 两点，交该抛
物线的准线于D ，E 两点.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若F 在线段AB 上，P 是DE 的中点，证明：AP EF P . 【答案】（1）2
4y x =；（2）见解析
【解析】（1）根据抛物线的焦点在直线10x y +-=上，可求得p 的值，从而求得抛物线的方程；
（2）法一：设直线1l ，2l 的方程分别为y a =和y b =且0a ≠，0b ≠，a b ¹，可得A ，
B ，D ，E 的坐标，进而可得直线AB 的方程，根据F 在直线AB 上，可得4ab =-，
再分别求得AP k ，EF k ，即可得证；法二：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121,
2y y P +⎛
⎫
- ⎪⎝⎭
，根据直线AB 的斜率不为0，设出直线AB 的方程为1x my -=，联立直线AB 和抛物线C 的方程，结合韦达定理，分别求出AP k ，EF k ，化简AP EF k k -，即可得证. 【详解】
（1）抛物线C 的焦点F 坐标为,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，且该点在直线10x y +-=上， 所以
102
p
-=，解得2p =，故所求抛物线C 的方程为24y x = （2）法一：由点F 在线段AB 上，可设直线1l ，2l 的方程分别为y a =和y b =且0a ≠，
0b ≠，a b ¹，则2,4a A a ⎛⎫
⎪⎝⎭，2,4b B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，()1,D a -，()1,E b -.
∴直线AB 的方程为22
2
444
b a a y a x b a ⎛⎫
--=- ⎪⎝
⎭-，即()40x a b y ab -++=.
又点()1,0F 在线段AB 上，∴4ab =-. ∵P 是DE 的中点，∴1,
2a b P +⎛⎫
- ⎪⎝⎭
∴22
4224142AP
a b
a a a k a a a ++-
===++，4222EF
AP b a k k a -====--. 由于AP ，EF 不重合，所以//AP EF 法二：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121,
2y y P +⎛
⎫
- ⎪⎝⎭
当直线AB 的斜率为0时，不符合题意，故可设直线AB 的方程为1x my -= 联立直线AB 和抛物线C 的方程2
14x my y x
-=⎧⎨
=⎩，得2
440y my --= 又1y ，2y 为该方程两根，所以124y y m +=，124y y =-，
()()
11212111
2121AP y y y y y k x x -
+-=
=++，2
2EF y k =-. ()()()()()
211121122112111114144021111AP EF
y y y y y y y y x y y x k k x x x x -++-+++-====
=++++，EF AP k k = 由于AP ，EF 不重合，所以//AP EF 【点睛】
本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
25．甲、乙两人用一颗均匀的骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6）做抛掷游戏，并制定如下规则：若掷出的点数不大于4，则由原掷骰子的人继续掷，否则，轮到对方掷.已知甲先掷.
（1）若共抛掷4次，求甲抛掷次数的概率分布列和数学期望； （2）求第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷的概率.
【答案】（1）分布列见解析，()7427E ξ=；（2）2
111263n n P -⎛⎫
=-⋅ ⎪⎝⎭
【解析】（1）分别求出点数不大于4的概率和大于4的概率，设甲抛掷次数为ξ，ξ的
可能取值为1，2，3，4，进而可得甲抛掷次数的概率分布列和数学期望；
（2）设第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷的概率为n P ，则第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷这个事件包含第1n -次由乙抛掷，第n 次仍由乙抛掷和第1n -次由甲抛掷，第n 次由乙抛掷这两个互斥的事件，进而得出()1121
133
n n n P P P --=⋅
+-⋅，从而可得1112213n n P P -⎛⎫-
- ⎪⎝⎭=，根据21
3
P =，结合等比数列，即可得到n P . 【详解】
（1）由已知，掷出的点数不大于4的概率为2
3，大于4的概率为13
，抛掷4次，设甲抛掷次数为ξ，ξ的可能取值为1，2，3，4.
()1224
133327
P ξ==⋅⋅=，
()2121111217
233333333327P ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，
()2212111128
333333333327P ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，
()2228
433327
P ξ==⋅⋅=，
分布列：
则()47887412342727272727
E ξ=⋅
+⋅+⋅+⋅= （2）设第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷的概率为n P ，则第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷这个事件包含第1n -次由乙抛掷，第n 次仍由乙抛掷和第1n -次由甲抛掷，第n 次由乙抛掷这两个互斥的事件， 所以，()1112111
13333
n n n n P P P P ---=⋅+-⋅=+（3n ≥）， 所以，1112213n n P P -⎛⎫-
- ⎪⎝⎭=（3n ≥），又213P =，所以，21126
P -=-
所以，当2n ≥，n *∈N 时，12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，则2
111263n n P -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭
，所以，2
111263n n P -⎛⎫
=-⋅ ⎪
⎝⎭
，
第n 次（2n ≥，n *
∈N ）由乙抛掷的概率2
111263n n P -⎛⎫
=-⋅ ⎪
⎝⎭
.
【点睛】
本题考查的知识点是随机变量的分布列和数学期望，互斥事件概率加法公式，关键是对题意的理解，是难题.。