高二数学导数大题练习题含答案

高二数学导数大题练习题含答案
一、解答题
1．已知函数()ln f x x =．
(1)当()()sin 1g x x =-，求函数()()()T x f x g x =+在()0,1的单调性； (2)()()1
2h x f x b x
=+
-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>． 2．已知函数()()
()
1
1
11ln k k
n
k x f x x k
-=-⋅-=-∑
．
(1)分别求n=1和n=2的函数()f x 的单调性； (2)求函数()f x 的零点个数．
3．已知函数()()e sin x f x rx r *
=⋅∈N ，其中e 为自然对数的底数.
(1)若1r =，求函数()y f x =的单调区间；
(2)证明：对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数a ，b ，使得当[,]x a b ∈时，|()|1f x ≤.
4．设函数()1e ln 1x
a f x a x -=--，其中0a > (1)当1a =时，讨论()f x 单调性；
(2)证明：()f x 有唯一极值点0x ，且()00f x ≥. 5．已知函数2()ln f x x x ax =-．
(1)若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)若()112212ln 2ln 200x ax x ax x x -=-=>>，证明：()12
12
ln ln 1
0ln 2x x x x ⋅<<．
6．已知函数()ln x
f x x
=
， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线；
(2)若2
e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围．
7．已知函数()ln 2=-f x ax x x ．
(1)若()f x 在1x =处取得极值，求()f x 的单调区间； (2)若函数2()
()2=
-+f x h x x x
有1个零点，求a 的取值范围． 8．2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”为了进一步了解普通大众对“碳中和”及相关举措的认识，某机构进行了一次问卷调查，部分结果如下：
(1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关？
附：()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.
(2)经调查后，有关部门决定加大力度宣传“碳中和”及相关措施以便让节能减排的想法深入人心.经过一段时间后，计划先随机从社会上选10人进行调查，再根据检验结果决定后续的相关举措.设宣传后不了解“碳中和”的人概率都为
()01p p <<，每个被调查的人之间相互独立.
①记10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ； ②现对以上的10人进行有奖答题，以①中确定的0p 作为答错的概率p 的值.已知回答正确给价值a 元的礼品，回答错误给价值b 元的礼品，要准备的礼品大致为多少元？（用a ，b 表示即可）
9．已知函数()321623
f x x ax x =+-+在2x =处取得极值． (1)求()f x 的单调区间；
(2)求()f x 在[]4,3-上的最小值和最大值．
10．已知函数()222
(0)e
x
mx x f x m +-=>. (1)判断()f x 的单调性；
(2)若对[]12,1,2x x ∀∈，不等式()()1224
e
f x f x -≤恒成立，求实数m 的取值范围.
【参考答案】
一、解答题
1．(1)单调递增 (2)证明见解析 【解析】 【分析】
（1）直接求导，判断出导数大于0，即可得到单调性；
（2）直接由1x ，2x 是函数()1
ln 2h x x b x =+-的两个零点得到121212
2ln x x x x x x -=，分别解出
1211
2
12ln x x
x x
x -=，2
121212ln x
x x x x -=，再换元令1
2
x t x =构造函数()1
2ln l t t t t =--，求导确定单调性
即可求解. (1)
由题意，函数()()sin 1ln T x x x =-+，则()()1cos 1T x x x
'=--+，
又∵()0,1x ∈，∴11x
>，()()10,1,cos 11x x -∈-<，∴()0T x '>，∴()T x 在（0，1）上单调递增． (2)
根据题意，()()1
ln 02h x x b x x =+
->， ∵1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x =+
-的两个零点，∴11
1ln 02x b x +-=，22
1
ln 02x b x +
-=．
两式相减，可得122111
ln
22x x x x =-，即112221
ln 2x x x x x x -=， ∴121212
2ln x x x x x x -=，则1211
2
12ln x x
x x x -=，2
121212ln x
x x x x -=． 令12
x t x =，()0,1t ∈，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t
--
-+=+=．
记()12ln l t t t t =--，()0,1t ∈，则()()2
21t l t t
-'=． 又∵()0,1t ∈，∴()0l t '>恒成立，∴()l t 在()0,1上单调递增，
故()()1l t l <，即12ln 0t t t --<，即12ln t t t
-<．因为ln 0t <，可得1
12ln t t t
-
>，∴
121x x +>．
【点睛】
本题关键点在于对双变量的处理，通过对111ln 02x b x +-=，22
1
ln 02x b x +-=作差，化简得到
12
1212
2ln x x x x x
x -=
， 分别得到12,x x 后，换元令1
2
x t x =，这样就转换为1个变量，再求导确定单调性即可求解．
2．(1)当1n =时，函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；当2n =时，()f x 在()0,∞+上单调递增； (2)1个. 【解析】 【分析】
（1）利用导数求函数的单调区间得解；
（2）求出()()1n
x f x x
-'=，再对n 分奇数和偶数两种情况讨论得解.
(1)
解：由已知，得()()()()()()23
11111ln 123n n
x x x f x x x n
-⎡⎤
----=---
+++
⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
． ①当1n =时，()()ln 1f x x x =--，()11f x x
'=-．
由()1
10f x x
'=->，得01x <<；由()110'=-<f x x
，得1x >．
因此，当1n =时，函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．
②当2n =时，()()()21ln 12x f x x x ⎡⎤-=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，()()()21111x f x x x x -'=-+-=． 因为()0f x '≥在()0,∞+恒成立，且只有当1x =时，()0f x '=， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增． (2)
解：由()()()()()()23
11111ln 123n n
x x x f x x x n
-⎡⎤
----=---
+++
⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
， 得()()()()
()
()()()2
1
1
111111111111n
n
n n x x f x x x x x x x x
-----⎡⎤'=---+-++--=-=⎣
⎦--． 当n 为偶数时，()0f x '≥在()0,∞+恒成立，且只有当1x =时，()0f x '=， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增．因为()10f =，所以()f x 有唯一零点1x =． 当n 为奇数时，由()
()10n
x f x x
-'=
>，得01x <<；由()
()10n
x f x x
-'=
<，得1x >．
因此，()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减． 因为()10f =，所以()f x 有唯一零点1x =．
综上，函数()f x 有唯一零点1x =，即函数()f x 的零点个数为1． 3．(1)增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡
⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦ 减区间为52,2,44k k k Z π
πππ⎡
⎤
++
∈⎢⎥⎣
⎦
(2)证明过程见解析. 【解析】 【分析】
（1）对函数求导，利用辅助角公式合并为同名三角函数，利用单调增减区间代入公式求解即可.
（2）将绝对值不等式转化为11sin e e x
x
rx ⎛⎫⎛⎫
-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，移向构造新函数，利用导数判
定单调性，借助零点定理和隐零点证明新构造函数恒正，再结合三角函数的特有的周期特点寻找M 即可. (1)
()e (sin cos )sin 4x x f x x x x π⎛
⎫'=+=+ ⎪⎝
⎭
令222
4
2
k x k πππππ-
≤+
≤+
，得32,244x k k ππππ⎡⎤∈-
+⎢⎥⎣
⎦
令32224
2k x k ππππ+≤+≤π+，得24x k ππ⎡
∈+⎢⎣
,524k ππ⎤+⎥⎦
当32,244x k k ππππ⎡⎤
∈-
+⎢⎥⎣
⎦
时, ()0f x '>,()f x 单调递增 当24
x k π
π⎡∈+⎢⎣,524k ππ⎤
+
⎥⎦
时, ()0,()f x f x '< 单调递減 综上() f x 单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
单调递减区间为 52,2,4
4k k k Z π
πππ⎡
⎤
++
∈⎢⎥⎣
⎦
(2)
要证|()|1f x ≤，
即证e sin 1x
rx ⋅≤，
即证11sin =e e x
x rx ⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
即证 11sin e e x x
rx ⎛⎫⎛⎫
-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在[,]x a b ∈时成立即可,
[,]x a b ∈时,1sin 0e 1sin 0e x
x
rx rx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎨⎛⎫⎪
+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
. 令1()sin e x h x rx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 1()cos e x
h x r rx ⎛⎫
'=+ ⎪⎝⎭
当222,k k x r
r πππ⎛
⎫+ ⎪
∈
⎪ ⎪⎝
⎭
时, cos 0,r rx > 所以1()cos 0,e x
h x r rx ⎛⎫
'=+> ⎪⎝⎭
所以()h x 单调递增，
2210,e k r
k h r
π
π⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2221210(0)e k r k h k r π
πππ+⎛⎫
⎛⎫
+ ⎪
⎪
=±>> ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
0(
2)22,k k x r
r
π
ππ
+∴∃∈ , 满足()00h x =
由单调性可知02,k x x r π⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
, 满足()0()0h x h x <= 又因为当021,,sin 0,0,x
k x x rx r e π⎛⎫⎛⎫
∈>≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1sin 0x
rx e ⎛⎫
∴+≥ ⎪⎝⎭
，
所以1sin 0e 1sin 0e x
x
rx rx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪
+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
能够同时满足， 对于任意的正实数M ，总存在正整数
k ，且满足2Mr k π
>时, 使得 2k M r π
>成立， 所以不妨取 02,,2k Mr a k b x r
π
π⎛⎫=
>= ⎪⎝
⎭ 则,a b M >且[,]x a b ∈时，
1sin 01sin 0x
x
rx e rx e ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎨⎛⎫⎪
+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
， 故对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数
,a b ，使得当[,]x a b ∈ 时,|()|1f x ≤. 4．(1)()f x 在0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）首先确定()f x 定义域，再应用二阶导数的符号判断f x 的单调性，进而分区间判断f x 的符号，即可确定()f x 的单调性.
（2）求()f x 的二阶导，根据其符号知f x 在()0,+∞上单调递增，令0f x 得
到ln 1x x a
+=，构造()ln 1x h x x a
=+-结合其单调性，注意利用导数研究
()ln 1x x x ϕ=-+的符号，再用放缩法判断1a h a ⎛⎫
⎪+⎝⎭
、()
1
e
a h +的符号，即可判断零点0x 的唯一性，进而得到0
00
1
1ln ln x
x a x -==-，结合基本不等式求证()00f x ≥.
(1)
当1a =时，()1
e ln 1x
f x x -=--，定义域为()0,+∞， 则()11e x f x x -'=-，()1
2
1
e 0x
f x x -+
'=>'，
所以f x 在()0,+∞上单调递增，又()10f '=， 当01x <<时，0f x ，所以()f x 在区间0,1上单调递减； 当1x >时，0f x
，所以()f x 在区间()1,+∞上单调递增.
综上，()f x 在0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. (2)
由题意，()11e
x a
f x x -='-，()1211
e 0x a
f x a x
-=⋅+'>'，则f x 在()0,+∞上单调递增，
至多有一个零点，
令()ln 1x x x ϕ=-+，其中1x >，则()111x
x x x
ϕ-'=-=， 当()0,1x ∈时，()0ϕ'>x ，()ϕx 单调递增. 当()1,x ∈+∞时，()0ϕ'<x ，()ϕx 单调递减，
所以()()10x ϕϕ≤=，即ln 10x x -+≤，于是ln 1≤-x x ， 令0f x
，则e e x a x ⋅=，两边取自然对数可得ln 1x
x a
+=，
令()ln 1x
h x x a
=+-，则()h x 在()0,+∞上单调递增. 故11ln
1111011111a a a h a a a a a ⎛⎫
=+-≤-+-=-<
⎪+++++⎝⎭
，又()11
1
11e e
ln e
e 10a a a a h a a a
++++=+⋅-=+>， 所以()h x 在()0,+∞上有唯一零点0x ，则f x 有唯一零点0x ，即()f x 有唯一极值点0x .
下证()00f x ≥： 因为()01001
e
0x a
f x x -'=-=，所以0
10
1e x a x -=，可得00011ln ln x x a x -==-，
所以(
)0
10000e ln 11120x a
x a f x a x x a -=--=
+--≥=，当且仅当0x a =时等号成立，
综上，()f x 有唯一极值点0x 且()00f x ≥，得证. 【点睛】
关键点点睛：第二问，利用二阶导数研究一阶导数的单调性，根据零点所得的等量关系构造()ln 1x
h x x a
=+-，结合单调性、零点存在性定理判断f x 零点的唯一性，进而利用基本不等式证明不等式.
5．(1)1,e ∞⎡⎫
+⎪⎢⎣⎭
(2)证明见解析 【解析】 【分析】
（1）()0f x ≤恒成立，等价于ln x
a x ≥
恒成立，即max ln x a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，令()ln x g x x
=，利
用导数求出函数()g x 的最大值，即可得出答案；
（2）()112212ln 2ln 200x ax x ax x x -=-=>>，即()1212,0x x x x >>为函数ln 2y x ax =-的两个零点，即()1212,0x x x x >>为方程ln 2x a x =的两个根，由（1）知1
02e
a <<，且1201x x <<<，则要证()1212ln ln 10ln 2x x x x ⋅<
<，只需证()1212
ln 2ln ln x x x x >⋅，即证
2
12
21122
12ln x x x x x x ->，令12,1x t t x =>，则要证22n 1l t t
t ->，令()()12ln 1t t t t t ϕ=-->，利用导数证明()min 0t ϕ>即可. (1)
解：因为函数()f x 的定义域为()0,∞+，所以()0f x ≤恒成立， 等价于ln x
a x ≥恒成立，所以max
ln x a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，
令()ln x g x x =
，则()21ln x g x x
-'=， 当()0,e x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()e,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以()()max 1e e
g x g ==，
故1e
a ≥，即实数a 的取值范围是1,e
∞⎡⎫
+⎪⎢⎣⎭
；
(2)
证明：()112212ln 2ln 200x ax x ax x x -=-=>>， 即()1212,0x x x x >>为函数ln 2y x ax =-的两个零点， 即()1212,0x x x x >>为方程ln 20x ax -=的两个根， 即()1212,0x x x x >>为方程ln 2x
a x
=
的两个根， 由（1）知102e
a <<，即1
02e
a <<
，且1201x x <<<， 由11ln 2x ax =，22ln 2x ax =，得()1212ln ln 2x x a x x -=-，
所以12
12
ln ln 2x x a x x -=
-， 要证()12
12
ln ln 1
0ln 2x x
x x ⋅<<，只需证()1212ln 2ln ln x x
x x >⋅，
即证121212ln ln 112ln ln ln ln x x x x x x +=+>⋅，即1211
222ax ax +>， 即12114a x x +>，也就是121212
ln ln 11
2x x x x x x -+>⨯-， 整理得221211222ln x x x x x x ->，即证2
12
2112
212ln x x x
x x x ->， 令12
,1x t t x =>，则要证
2112ln t t t t t -=->， 令()()12ln 1t t t t t
ϕ=-->，
则()()2
2222
1122110t t t t t t t t
ϕ--+'=+-==>， 所以()t ϕ在()1,+∞上单调递增，所以()()10t ϕϕ>=， 所以当t >1时，12ln t t t
->，
故原结论成立，即()12
12
ln ln 1
0ln 2x x x x ⋅<<．
【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题和不等式的证明问题，考查了利用导数求函数的最值，考查了分离参数法，考查了转化思想，考查了学生的数据分析能力和逻辑推理能力，难度较大. 6．(1)证明见解析 (2)e ,e 1⎡⎫
+∞⎪⎢
-⎣⎭
【解析】 【分析】
（1）求出()f x 的导数，设出切点，可得切线的斜率，根据斜率相等，进而构造函数()=ln 1h x x x +-，求出导数和单调区间，即可证明；
（2）由2
e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()max
ln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，再 利用导数法求出()()n 1l x
x x x ϕ-=在2
e,e ⎡⎤⎣⎦的最大值即可求解.
(1)
由题意可知，()f x 的定义域为()()0,11,+∞， 由()ln x f x x
=
，得
()()2ln 1ln x f x x -'=， 直线y g x 过定点()1,0， 若直线y
g x 与曲线()y f x =相切于点()00000,01ln x x x x x ⎛⎫
>≠ ⎪⎝⎭
且，则
()
00
2
000
ln 1ln 1ln x x x k x x --==-，即00ln 10x x +-=① 设()()=ln 1,0h x x x x +-∈+∞，则()1
=10h x x
'+>， 所以()h x 在()0+∞上单调递增，又()1ln1110h =+-=， 从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾. 所以，R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线. (2)
由()()f x g x ≤，得
()1ln x
x
k x ≤-， 2
2
e e ,0e 11e 1x x ∴≤≤∴<-≤-≤-，()l 1n x
k x x -∴≥
若2
e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()max
ln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦即可. 令()()n 1l x x x x ϕ-=
，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()()2ln 1ln 1x x x x x ϕ---+'=⎡⎤⎣⎦
，
令()ln 1t x x x =--+，2
e,e x ⎡⎤∈⎣⎦
，则()110t x x
'=--<， 所以()t x 在2
e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；
所以()()e lne e 1e<0t x t ≤=--+=-，故()0ϕ'<x
()ϕx 在2
e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；
当e x =时，()ϕx 取得最大值为()()e e e e 1ln e e 1ϕ==--，即e e 1
k ≥-. 所以实数k 的取值范围为e ,e 1⎡⎫
+∞⎪⎢-⎣⎭
【点睛】
解决此题的关键利用导数的几何意义及两点求斜率，再根据同一切线斜率相等即可证明，
对于恒成立问题通常采用分离常数法，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法即可求解.
7．(1)单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+∞ (2)0a < 或2e a = 【解析】 【分析】
（1）求导，因为函数()f x 再1x =处取得极值，所以f '（1）0=，解得a ，进而可得函数()f x 的解析式，再求导，分析函数()f x 的单调性．
（2）分类讨论，利用导数判断函数的单调性，根据函数的零点个数，确定函数的最值情况，从而求得答案. (1)
()ln 2,(0)f x ax x x x =->，
()ln 2f x a x a '=+-，
因为函数()f x 在1x =处取得极值， 所以(1)ln120f a a '=+-=， 所以2a =，
所以()2ln 2f x x x x =-，()2ln f x x '=，
故当01x <<时，所以()0f x '<，函数单调递减， 当 1x >时，()0f x '>，函数单调递增，
所以函数()f x 在1x =处取得极小值，所以实数a 的值为2， 函数()f x 的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+∞． (2)
当0a = 时，22()
()2f x h x x x x
=-+=-，而0x > ，此时函数无零点，不合题意； 当0a <时，22()()2ln f x h x x a x x x =
-+=-，()20,(0)a
h x x x x
'=-<> ， 函数2()ln h x a x x =-单调递减，
作出函数2ln ,y a x y x == 的大致图象如图：
此时在2ln ,y a x y x ==的图象在(0,1) 内有一个交点，即2()ln h x a x x =-在(0,1)有一个零点；
当0a >时，2
2()2,(0)a a x h x x x x x
-'=-=
>， 当02a x <<时，2
2()0a x h x x
-'=
>，函数2()ln h x a x x =-递增， 当2a x >
时，2
2()0a x h x x
-'=
<，函数2()ln h x a x x =-递减， 故2max ()(
)ln ()222
a a a
h x h a ==- ， 作出函数2()ln h x a x x =-的大致图象如图
此时要使函数2()()2=-+f x h x x x 有1个零点，需使得2max ()()022
a a
h x a ==， 即022
a a
a =，解得2e a = ， 综合上述，可知求a 的取值范围为0a < 或2e a = . 【点睛】
本题考查了利用导数求函数的单调区间以及函数零点问题，解答时要明确函数的单调性以及极值和导数之间的关系，解答的关键是分类讨论，利用导数判断函数单调性，确定函数零点有一个的处理方法.
8．(1)列联表见解析，没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关； (2)①03
10
p =；②()73a b + 【解析】 【分析】
（1）对满足条件的数据统计加和即可，然后根据给定的2K 计算公式，将计算结果与195%0.05-=所对应的k 值比较大小即可；
（2）①利用独立重复试验与二项分布的特点，写出10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，再利用导数求出最值点；
②利用独立重复试验的期望公式代入可求出答案. (1)
由题中表格数据完成22⨯列联表如下：
()2
2800125250150275800 3.463 3.841275525400400231
K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯.
故没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关. (2)
①由题得，()()7
33
10
1f p C p p =-，()0,1p ∈， ∴()()()()()7
6
32363
21010C 3171C 1310f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦
. 令()0f p '=，得310
p =，当30,10p ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0f p '>；
当3,110p ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，()0f p '<， ∴当30,
10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调选增；当3,110p ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()f p '单调递减， ∴()f p 的最大值点03
10
p =
. ②本题求要准备的礼品大致为多少元，即求10个人礼品价值X 的数学期望. 由①知答错的概率为
3
10， 则()33101731010E X a b a b ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
， 故要准备的礼品大致为73a b +元.
9．(1)增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2- (2)()max 312f x =，()min 163
f x =- 【解析】 【分析】
（1）根据题意得()20f '=，进而得1
2
a =，再根据导数与单调性的关系求解即可；
（2）由（1）知[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2-，进而求解()4f -，()3f -，()2f ，()3f 的值即可得答案. (1)
解：（1）()2
26f x x ax '=+-，
因为()f x 在2x =处取得极值，所以()24460f a '=+-=，解得12
a =． 检验得12
a =时，()f x 在2x =处取得极小值，满足条件.
所以()2
6f x x x '=+-，
令()0f x '>，解得3x <-或2x >，令()0f x '<，解得32x -<<， 所以()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； (2)
解：令()2
60f x x x '=+-=，解得3x =-或2x =，
由（1）知()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； 当[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2- 又()()()()3
2
11384446423
2
3
f -=⨯-+⨯--⨯-+=
， ()()()()32
1131333632322f -=⨯-+⨯--⨯-+=，
()321116
222622323f =⨯+⨯-⨯+=-，
()32115333632322
f =⨯+⨯-⨯+=-，
所以()max 312f x =
，()min 16
3
f x =-． 10．(1)单调增区间为2,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛
⎤--+ ⎥⎝
⎦
(2)20,
4e ⎛
⎤ ⎥-⎝⎦
【解析】 【分析】
（1）先对函数求导，然后由导数的正负可求出函数的单调区间， （2）由函数()f x 在[]1,2上为增函数，求出函数的最值，则
()()max min 2
4e 2
()()e m g m f x f x -+=-=
，然后将问题转化为
()22
4e 2
4e e m -+≥，从而可求出实数m 的取值范围. (1)
()()()()
2214
22(0)e e x
x
mx m x mx x f x m -+-+-+-=
>'=
令()0f x '=，解得2
x m =-
或2x =，且22m
-< 当2,x m ∞⎛
⎤
∈-- ⎥⎝⎦时，()0f x '≤，当2
,2x m ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，
当[)2,x ∞∈+时，()0f x '≤ 即()f x 的单调增区间为2,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛
⎤--+ ⎥⎝
⎦
(2)
由（1）知，当[]0,1,2m x >∈时，()0f x '>恒成立 所以()f x 在[]1,2上为增函数， 即()()max min 2
42()2,()1e e
m m
f x f f x f +==
==. ()()12f x f x -的最大值为()()max min 2
4e 2
()()e m g m f x f x -+=-=
()()1224
e f x f x ⎡⎤≥-⎣
⎦恒成立 ()22
4e 24e e m -+∴
≥ 即2
4e
m ≤
-， 又0m > 20,
4e m ⎛⎤∴∈ ⎥-⎝⎦ 故m 的取值范围20,
4e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦。