广东省陆丰市林启恩纪念中学高三数学综合训练题二 理 新人教A版

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满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．若A、B是两个不等的非空集合，则下列式子中一定成立的是
(A) ∅∈A∩B(B) ∅⊆A∩B(C) ∅ = A∩B(D) ∅≠⊂A∩B 2．若 (a－2i ) i = b－i，其中a、b∈R，i是虚数单位，则
a 2 +
b 2等于
(A) 0 (B) 2 (C)
5
2
(D) 5
3．点P(cos 2007︒,sin 2007︒) 落在第( )象限
(A) 一(B) 二
(C) 三(D) 四
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于
(A) 8 +
4π
3
(B) 4 +
4π
3
(C) 8 + 4π(D)
10π
3
5．函数y = 1－| x－x 2 | 的图象大致是
(B) (C) (D)
(A)
1
2
+
1
4
+
1
6
+ … +
1
20
(B) 1 +
1
3
+
1
5
+ … +
1
19
(C) 1 +
1
2
+
1
4
+ … +
1
18
(D)
1
2
+
1
2 2
+
1
2 3
+ … +
1
2 10
A
C
O
F B
D
P
7．若 x 、y 满足不等式组 ⎩⎨⎧ x + y ≥0
x 2 + y 2≤1
，则 2x + y 的取值范围是
(A) [
2
2
, 5 ] (B) [－
22 ,22
] (C) [－
2
2
, 5 ] (D) [－
5 , 5 ]
8．三位同学在研究函数 f (x ) = x
1 + | x | (x ∈R ) 时，分别给出下面三个结论：
① 函数 f (x ) 的值域为 (－1,1) ② 若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)
③ 若规定 f 1(x ) = f (x )，f n +1(x ) = f [ f n (x )]，则 f n (x ) = x
1 + n | x |
对任意 n
∈N *
恒成立.
你认为上述三个结论中正确的个数有 (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.
（一）必做题：9至13题为必做题．
9．实践中常采用“捉－放－捉”的方法估计一个鱼塘中鱼的数量。

如从这个鱼塘中随机捕捞出100条鱼，将这100条鱼分别作一记号后再放回鱼塘，数天后再从鱼塘中随机捕捞出108条鱼，其中有记号的鱼有9条，从而可以估计鱼塘中的鱼有 条。

10．积分⎠⎛ 0 πsin 2x dx 的值等于 。

11．函数f (x ) = | x |－| x －3 | 的最大值为 。

12．已知 ( a
x
－x ) 9的展开式中 x 3
项的系数为9，则常数 a 的值为 。

13．已知向量 a 和 b 的夹角为 θ，定义 a ×b 为向量 a 和 b 的“向量积”，a ×b 是一个向量，它的长度 | a ×b | = | a |·| b |·sin θ ,如果 u = (2,0)，u －v = (1,－ 3 )，则 | u ×(u + v ) | = .
（二）选做题：以下两题任选一道作答，两题都答的按第14题正误给分． 14．如图，圆 O 的割线 PBA 过圆心 O ，弦 CD 交 PA 于
点F ，且△COF ∽△PDF ，PB = OA = 2，则PF = 。

15．在极坐标系下，圆 ρ = 2 cos θ 与圆 ρ = 2 的公切线条数
为 。

A
B
C
D P
三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）
已知向量 a = (cos x ,sin x )，b = (－cos x ,cos x )，c = (－1,0) (1)若 x = π
6
，求向量 a 、c 的夹角；
(2)当 x ∈[π2 ,9π
8
] 时，求函数 f (x ) = 2a ·b + 1 的最大值。

17．（本小题满分12分）
某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可以获得奖券一张. 每张奖券中奖的概率为 15 ，若中奖，则家具城返还顾客现金1000元. 某顾客购买一张价格为
3400元的餐桌，得到3张奖券. 设该顾客购买餐桌的实际支出为 ξ (元).
(1)求 ξ 的所有可能取值； (2)求 ξ 的分布列。

18．（本小题满分14分）
如图，四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD (1)求证：平面PAD ⊥平面PCD
(2)试在平面PCD 上确定一点 E 的位置，使 |AE →
| 最小，并说明理由；
(3)当AD = AB 时，求二面角A －PC －D 的余弦值.
19．（本小题满分14分）
已知向量 OA →
= (2
2 ,0)，O 是坐标原点，动点 M 满足：
6=-++.
(1)求点 M 的轨迹 C 的方程；
(2)是否存在直线 l 过 D (0,2) 与轨迹 C 交于 P 、Q 两点，且以 PQ 为直径的圆过原点，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由. 20．（本小题满分14分）
设 f (x ) = px －q x －2 ln x ，且 f (e ) = qe －p e
－2（e 为自然对数的底数） (1)求 p 与 q 的关系；
(2)若 f (x ) 在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围；
(3)设 g (x ) = 2e
x
，若在 [1,e ] 上至少存在一点x 0，使得 f (x 0) > g (x 0) 成立, 求p
的取值范围. 21．（本小题满分14分）
如图，曲线 y = x 上的点 P i (t i 2
,t i )（i = 1,2,…,n ,…）与 x 轴正半轴上的点 Q i 及原点 O 构成一系列正△P i Q i －1Q i （Q 0与O 重合），记 a n = | Q n Q n －1 |
(1)求 a 1的值；
(2)求数列 {a n } 的通项公式 a n
(3)设 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和，若对于任意的实数 λ∈[0,1]，总存在自然数 k ，当 n ≥k 时，3S n －3n + 2≥(1－λ) (3a n －1) 恒成立，求 k 的最小值.
【参考答案与评分建议部分】
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
B
D
C
A
C
A
C
D
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．1200； 10．0； 11．3； 12．1； 13．32； 14．3； 15．1． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．
16．（本小题满分12分） （1
）
当
x =
π
6
时，cos <a ,c > =
a ·c
| a |·| c |
…………………………………………………… 1分
= －cos x
cos 2
x + sin 2
x ×(－1) 2
+ 0
2
………………………………………………………… 2分 =
－
cos
x = －cos
π
6
= cos
5π6
………………………………………………………… 3分 ∵ 0≤<a ,c >≤π， ………… 4分 ∴ <a ,c > = 5π
6
………… 5分
（2）f (x ) = 2a ·b + 1 = 2 (－cos 2
x + sin x cos x ) + 1
………………………………………… 6分 = 2
sin
x cos x －(2cos
2
x －1)
………………………………………………………… 7分
= sin 2x －cos 2x
…………………………………………………………………… 8分
= 2
sin
(2x
－
π
4
)
…………………………………………………………………… 9分 ∵ x
∈
[
π
2
,
9π8
]，∴ 2x －
π
4
∈[
3π4
,2π]，
……………………………………………… 10分 故
sin
(2x
－
π
4
)∈[－
1,
2
2
]，……………………………………………………………… 11分 ∴当 2x －π4 = 3π4 ，即 x = π
2
时，f (x )max = 1。

…………………………………………
12分
17．（本小题满分12分）
（1）ξ 的所有可能取值为3400，2400，1400，400. ……………………………………………2分 （
2
）
P (ξ = 3400) = (
4
5
)
3
=
64
125 …………………………………………………………………4分 P (ξ
=
2400)
=
C 31(
15
) (
45
)
2
=
48
125 ……………………………………………………………6分 P (ξ
=
1400)
=
C 32(
15
)
2
(
45
) =
12
125
……………………………………………………………8分 P (ξ = 400) = C 33( 15 ) 3 = 1
125 …………………………………………………………………
10分
ξ
……………………………………………………………………………………………………12分
18．（本小题满分14分）
（1）⎭
⎪⎬⎪⎫
⎭⎬⎫
ABCD 的底面为矩形 ⇒ CD ⊥AD 侧面PAD ⊥底面ABCD ⇒ CD ⊥平面PAD CD ⊂ 平面PCD ⇒ 平面PAD ⊥平面PCD ， (4)
分
（2）设 E 为PD 中点，连 AE ， ………………………………………………………………… 5分
由△PAD 为正三角形得 AE ⊥PD ，………………………………………………………… 6分
又平面PAD ⊥平面 PCD ，
∴ AE ⊥平面PCD ，…………………………………………………………………………… 7分
由几何意义知，PD 中点 E ，即为平面PCD 上使 |AE →
| 最小的唯一点。

…………… 8分
（3）过E 作EG ⊥PC ，垂足为G ，连AG ， ……………………………………………………… 9分
由（2） 知AE ⊥平面PCD ，∴ AG ⊥PC ， …………………………………………… 10分
∴ ∠AGE 是二面角A －PC －D 的平面角. ……………………………………………… 11分
设底面正方形边长为2a ，∴ AD = 2a ，ED = a ，∴ AE = 3 a ，
由 EG 2a = a 22a ，∴ EG = a
2 ，………………………………………………………… 12分
tan ∠AGE =
AE EG = 3a
a
2
= 6 ， ………………………………………………………… 13分
∴ cos ∠AGE = 7
7。

……………………………………………………………………… 14分
19．（本小题满分14分） （
1）设 B (－2 2 ,0)
…………………………………………………………………………
… 1分
则 | OM → + OA → | + | OM → －OA → | = | OM → －OB → | + | OM → －OA →
|
…………… 2分
= |
MB →
|
+
|
MA →
|
=
6
…………………………………………………………………… 3分
∴ M 的轨迹为以 A 、B 为焦点，长轴长为 6 的椭圆 …………………………………
4分
由 c =
2
2
，
2a
=
6
⇒
a = 3 ⇒
b = 1
……………………………………………………… 5分 ∴ M
的
轨
迹
C 的方程为
x 2
9
+
y
2
= 1
……………………………………………………… 6分
（2）设直线 l 的方程为 y = kx + 2（k ≠0且k 存在），
……………………………………… 7分
由 ⎩
⎪⎨⎪⎧ y = kx + 2 x 29 + y 2
= 1 得x 2 + 9 (kx + 2) 2 = 9，即 (1 + 9k 2) x 2
+ 36kx + 27 = 0
…………… 8分
∴ △= (36k )2
－4×27 (1 + 9k 2
) > 0 即 9k 2
－ 3 > 0，∴ k < －
3
3
或k >
3
3
(*)
…………………………………………… 9分 设P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2) ，∴
x 1 + x 2 = －
36k 1 + 9k 2 ，x 1x 2 = 27
1 + 9k
2
………………… 10分
∵ 以 PQ 为直径的圆过原点，∴ x 1x 2 + y 1y 2 = 0，即x 1x 2 + (kx 1 + 2) (kx 2 + 2) =
∴ (1 +
k
2
) x 1
x 2 + 2k (x 1
+ x 2) + 4 = 0
…………………………………………………… 11分 即
27(1 + k 2
)
1 + 9k
2 －
72k
2
1 + 9k
2 +
4
=
………………………………………………………… 12分 解
得
k = ±
313
满足 (*)
……………………………………………………………… 13分 ∴ 满足条件的直线 l 存在， 且直线 l 的方程为：
31 x －3y + 6 = 0或
31 x + 3y －6 = 0
……………………… 14分
20．（本小题满分14分）
（1）由题意得 f (e ) = pe －q e －2ln e = qe －p
e
－2
…………………………………………… 1分
⇒ (p
－
q ) (e +
1
e
) =
0，……………………………………………………………………… 2分
而 e + 1
e
≠0，∴ p = q ，…………………………………………………………………
3分
（2）由（1） 知 f (x ) = px －p x －2ln x ， f ’(x ) = p + p x 2 －2x = px 2－2x + p x 2
…………… 4分
令 h (x ) = px 2
－2x + p ，要使 f (x ) 在其定义域 (0,+∞) 内为单调函数，只需 h (x ) 在 (0,+∞) 内满足：h (x )≥0 或 h (x )≤0 恒成立. ……………………………………………………… 5分
① 当 p = 0时， h (x ) = －2x ，∵ x > 0，∴ h (x ) < 0，∴ f ’(x ) = －2x
x
2 < 0，
∴ f (x ) 在 (0,+∞) 内为单调递减，故 p = 0适合题意.
………………………………… 6分
② 当 p > 0时，h (x ) = px 2
－2x + p ，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 x = 1p ∈(0,+∞)，∴ h (x )min = p －1p
只需 p －1
p
≥1，即 p ≥1 时 h (x )≥0，f ’(x )≥0，∴ f (x ) 在 (0,+∞) 内为单
调递增，
故
p ≥1适合题意.
………………………………………………………………………… 7分
③ 当 p < 0时，h (x ) = px 2
－2x + p ，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为 x =
1
p
∉ (0,+∞)
只需 h (0)≤0，即 p ≤0时 h (x )≤0在 (0,+∞) 恒成立. 故
p < 0适合题意.
………………………………………………………………………… 8分 综
上
可
得
，
p ≥1或 p ≤0。

…………………………………………………………………… 9分
（3）∵ g (x ) = 2e
x
在 [1,e ] 上是减函数，∴ x = e 时，g (x )min = 2，x = 1 时，g (x )max
= 2e
即 g (x )
∈ [2,2e ]
……………………………………………………………………………… 10分
① p ≤0 时，由（2）知 f (x ) 在 [1,e ] 递减 ⇒ f (x )max = f (1) = 0 < 2，不合
题意。

… 11分
② 0 < p < 1 时，由x ∈ [1,e ] ⇒ x －1
x
≥0
∴ f (x ) = p (x －1x )－2ln x ≤x －1
x
－2ln x
右边为 f (x ) 当 p = 1 时的表达式，故在 [1,e ] 递增
∴ f (x )≤x －1x －2ln x ≤e －1e －2ln e = e －1
e
－2 < 2，不合题意。

………………… 12分
③ p ≥1 时，由 (II) 知 f (x ) 在 [1,e ] 连续递增，f (1) = 0 < 2，又g (x ) 在 [1,e ]
上是减函数
∴ 本命题 ⇔ f (x )max > g (x )min = 2，x ∈ [1,e ]⇒ f (x )max = f (e ) = p (e －1e
)
－2ln e > 2 ⇒ p >
4e
e 2
－1
……………………………………………………………………………… 13分 综上，p 的取值范围是 (
4e
e 2
－1
,+∞)。

…………………………………………………… 14分
21．（本小题满分14分）
………………………………………………… 2分 ∴ P 1(
13
,
33
)
……………………………………………………………………………… 3分
a 1
= | Q 1Q 0 | = | OQ | = | OP 1 | =
23
………………………………………………………… 4分
（2）设 P n (t n 2
,t n )，得直线 P n Q n －1
的方程为：y －t n = 3 (x －t n 2
)
…………………………… 5分 可得
Q n
－1
(t n
2
－
t n
3
,0)
…………………………………………………………………… 6分
11
直线 P n Q n 的方程为：y －t n = － 3 (x －t n 2)，可得 Q n (t n 2
+
t n
3
,0)
………………… 7分 所以也有 Q n －1(t n －12
+ t n －1
3
,0)，得 t n 2
－
t n
3
= t n －12
+
t n －1
3
，由 t n > 0，得 t n －t n －1 =
13
∴ t n
=
t 1 +
1
3
(n －1) =
33
n
，……………………………………………………………… 8分 ∴ Q n (13 n (n + 1),0),Q n －1(1
3 n (n －1),0)
∴ a n
=
|
Q n Q n
－ 1
| =
2
3
n 。

……………………………………………………………………… 9分
（3）由已知对任意实数时 λ∈[0,1] 时 n 2
－2n + 2≥(1－λ) (2n －1) 恒成立， ⇔ 对任意实数 λ∈[0,1] 时，(2n －1)λ + n 2
－4n + 3≥0 恒成立，……………………… 10分
则令 f (λ) = (2n －1)λ + n 2
－4n + 3，则 f (λ) 是关于 λ 的一次函数. 对任意实数时 λ∈[0,1] 时 n 2－2n + 2≥(1－λ)(2n －1) 恒成立 ⇔
对
任
意
实
数
λ∈[0,1] 时
⎩⎨⎧ f (0)≥0 f (1)≥0
，……………………………………………… 11分 ⇔ ⎩⎨⎧ n 2
－4n + 3≥0 n 2－2n + 2≥0
…………………………………………………………………… 12分 ⇔ n ≥3或n ≤1
………………………………………………………………………… 13分 又
∵
n ∈N
*
∴ k 的最小值为3。

……………………………………………………… 14分。