复变函数第四讲公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件

常数通过有限次四则运算和有限次复合运算，由一
个数学式子表示函数称为初等函数。
初等函数连续性
单值初等函数在其定义域内连续；多值初等 函数单值分支在其割支线上有定义但不连续,在 其它有定义点处连续。
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练习题 证实 1. Lni 2 2Lni
2. (1 i )4i e π8kπ e 2i ln2
负数在复变函数中能够求对数,但是零不能求对数 第9页
3. 乘幂与幂函数
乘幂
定义2.3.3 设 , 为复数, 且 0, 定义乘幂 ＝e Ln , 称 为以为底的次幂。
Lna ln a i2k ———－ 多值
e Ln e (ln i 2k ) ——普通为多值
①当为整数
e Ln e (ln i 2k ) e e ln i 2k
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1. 指数函数
指数函数概念
定义 2.3.1
对z x iy定义复变数 z的指数函数 exp z如下 : f (z) exp z e x (cos y i sin y) 指数函数性质
(1) z exp z 0, (事实上, exp z e x 0)
(2) f (z) exp z在复平面上处处解析， (exp z) exp z . (见§2 2的例1(2))
三角函数和双曲函数含有周期性，因此它们 反函数一定是多值函数。
反余弦函数表示式
其中( z 2
1
1) 2
是双A值rg函cos数z 。 iLn
z
(z2
1
1) 2
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证明 : cos w z, z 1 (eiw eiw ); 2
整理化简得 e iw的二次方程：
e 2iw 2ze iw 1 0,
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(4) sinh z及 cosh z是周期函数：
sinh(z 2ki) sinhz; cosh(z 2ki) coshz;
其中k Z且k 0。
实双曲函数不含有周期性。
(5) 奇偶性 : sinh(z) sinhz, cosh(z) coshz。
(6) 三角函数与双曲函数的 关系： cosh(iz) cos z, sinh(iz) i sin z。
例2
求
e
1 1i
4
;
1(1 i )
e4
4
e (cos
i sin
)
2 4 e 1 i。
4
42
例3 解方程 ez 1。
z 2k i k 0定义2.3.2 指数函数反函数称为对数函数。即，
把满足ew z(z 0)的函数w f (z)称为对数函数 ,
(4) sin z及 cos z是周期函数：
sin(z 2k ) sinz; cos(z 2k ) cosz;
其中k Z且k 0。 (5) 奇偶性 :
sin(z) sinz, cos(z) cosz。
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双曲正弦与双曲余弦函数性质
双曲函数含有完全类似于三角函数性质。
(1) sinh z及 cosh z是单值函数；
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正弦与余弦函数性质
(1) sin z及 cos z是单值函数；
(2) sin z及 cos z在复平面C上处处解析，且
证明 :
(sinz)' cos z, (cos z)' sin z;
(sin
z)
e iz
eiz 2i
1 (ieiz ieiz ) eiz eiz cos z。
正弦函数和余弦函数不再含有有界性。
sin iy e y e y | sinh y | ,当y 时。 2i
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5. 反三角函数和反双曲函数
以反余弦函数为例进行讨论，其余反函数研 究方式完全类似。
反余弦函数概念
定义2.3.6 称满足方程 cos w z的函数w f (z)
为z的反余弦函数，记为 w Argz。
解之得
eiw z z 2 1;
取反函数得
w
iLn
z
(z
2
1
1) 2
。
其它反三角函数和反双曲函数
反正弦函数：
Argsinz
iLn
z
(1
z2
1
)2
;
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反双曲正弦函数：Argsinhz
Ln
z
(z2
1
1) 2
;
反双曲余弦函数：Argcoshz
Ln
z
(z2
1
1) 2
。
初等函数
以上给出了5类基本初等函数。由基本初等函数、
记作w Lnz。
e 注 由定义知Ln z与 互为反函数z 。另一方面由
周期性可知Ln z是多值函数 。
ez
对数表示式
Lnz ln z iArgz ln z i(arg z 2k ), k Z。
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证实 令w u iv z rei 那么
euiv rei u ln r, v 2k , k Z。
n
n
1
zn
w=zn反函数
③ 一般而论, 除去为整数外，w z均为多值
函数，当为无理数或复数时， w z 是无穷多
个分支的多值函数。
解析性 导数公式：(z )' z -1
当是正整数时，w z 在复平面上处处解析；
当是负整数时，w z 除原点外处处解析；
当不是整数时，w z 除原点与负实轴外处
处解析。
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4. 三角函数和双曲函数
定义2.3.5 定义三角函数下列：
sin z e zi ezi , cos z e zi ezi
2i
2
— — 分别称为z的正弦与余弦函数。
定义双曲函数下列：
ez ez
ez ez
sinh z
, cos z
2
2
— — 分别称为z的双曲正弦与双曲余弦 函数。
(4) 解析性 : ln z在除去原点与负实轴外 处处解析， 且(ln z)' z1。
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这是因为 ln z ln | z | i arg z, 其中实部 ln | z |
ln x2 y2 在实平面R2上除原点外处处连续，虚
部 arg z在实平面上除原点和负 实轴外处处连续。
对于多值函数，复对数函数 Lnz保持实对数一
2i
2
(3) 三角恒等式 :
sin(z1 z2 ) sinz1 cos z2 sin z2 cos z1, cos(z1 z2 ) cosz1 cos z2 sin z1 sin z2;
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用定义能够验证上述加法定理以及其它三角 恒等式，如倍角公式、诱导公式等等，并由此 能够得到下列性质。
w Lnz ln r i( 2k)， k Z。
对数主值支
对于多值函数，通常研究办法是将其分支化，引 入主值概念。
当k 0时，Lnz 的一个分支 ln | z | i arg z称为对数 函数Lnz的主值，记为 ln z。所以
Lnz ln z i2kπ, k Z。
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对数函数性质 Lnz各个分支与主值 ln相z差常数2πi整数倍， 因此只须将ln z性质弄清楚，就掌握了 Ln各z 个
幂函数性质
单值性和多值性
① 当 n(n为整数)时
w=zn 在整个复平面上或去掉原点复平 面是单值解析函数.
② 当 1 (n为正整数)时
n
e e e e 1 n
Lnz
1 n
(ln
z
i
arg
z
2 ki
)
1 n
ln
z
i
arg
z n
2
k
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n
arg z 2k
z (cos
i sin arg z 2k ), k Z
iLni
i (ln
i
i
2
2ki
)
(
2
k
2
)
(k 0,1,2,)
i e e e 2 3
2 3
Lni
2 3
(ln
i
i
2
2ki
)
i
2 3
(
2
2
k
)
cos(
4k
3
)
i
sin(
4 3
k
)，
(k
0,1,2)
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(1) 当b=n(正整数)时，乘幂ab与a n次幂意
义一致。
a n e nln a e ln aln aln a elnaelna elna aa aa
些运算性质：
Ln(z1z2 ) Lnz1 Lnz2 , Ln
值得注意是下列式子并不成立:
z1 z2
Lnz1
Lnz
。
2
ln(z1z2 ) ln z1 Lnzn nLnz。
ln z2 Lnn
, z
ln z1 1 z2 Lnz
ln z1
ln z2；
n
例4 Ln(2) ln 2 i( 2k ), k 0,1,2,
§2－3 初等函数
1. 指数函数 2. 对数函数 3. 乘幂与幂函数 4. 三角函数和双曲函数 5. 反三角函数与反双曲函数
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§2－3 初等函数
本节将微积分初等函数推广到复变函 数情形，给出基本初等函数定义，研 究这些基本初等函数性质，并阐明它 解析性。由此能够得到初等函数相关 性质。
e ln (cos 2k i sin 2k ) e ln
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为整数时,它是单值函数 . ② 当 p ( p, q为互质的整数 , 且q 0)
q
e e e
p q
(ln
i arg
2ki )
p q
ln
p q
i
(arg
2
k
)
e
p q
ln
[cos
p
(arg
2k
)
i
sin
p
(arg
n个
(2) 当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a n次根意
义一致。
e e 1 n
Lna
1 n
(ln
a
i
arg a 2ki
)
e e 1 n
ln
a
i
arg
a n
2
k
(k 0,1,2n 1)
arg a 2k
arg a 2k
1
n a (cos
i sin
) an
n
n
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幂函数
定义2.3.4 设 0为复常数，称函数 eLnz为z的 次幂函数，记为 z ,即z eLnz。
cos y eiy eiy ; sin y eiy eiy 。
2
2i
(5) 幂指加法性质 : e z1 e z2 e 。 z1 z2
(6) 周期性质 : e zi 2k e z , k Z。
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周期性质是实变指数函数所没有。
例1 求 Im(e zi );
Im(eiz ) Im(e yix ) e y sin x。
分支性质。下面仅讨论 ln性z质。 (1) ez与ln z互为单值的反函数：ln ez z; elnz z。 (2) 当Im z 0, Re z 0，即z x 0时，ln z ln x。
注 由此性质可知，对数主值 ln是z实对数推广。
(3) 连续性 : ln z在除去原点与负实轴外 处处连续。
(2) sinh z及 cosh z在复平面C上处处解析，且
(sinhz)' cosh z, (cosh z)' sinh z;
证明
:
(sinh
z)
ez
ez 2
1 2
(ez
ez
)
cosh
z。
(3) 双曲恒等式 :
sinh(z1 z2 ) sinhz1 cosh z2 sinh z2 cosh z1, cosh(z1 z2 ) coshz1 cosh z2 sinh z1 sinh z2;
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(3) 当I m (z)=0，即z=x ∈ R时，
exp(x) e x (cos 0 i sin 0) e x;
注 此性质表明复指数函数是实指数函数推广，因 此我们能够简记 exp z e z。
(4) 当Re(z) 0 , 即z iy时，eiy cos y i sin y。
注 由此性质可得到Euler公式：
2k
)]
q
q
(k 0,1,2,3, q 1)
—－－ q个值
③ 当为一般复数时， 具有 无穷多个值。
例
求1
2
、i
i
和i
2 3
的值。
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解
1 2 e
2Ln1 e
e 2 (ln 1 2ki )
2 k
2i
cos(2k 2 i sin(2k 2)
(k 0,1,2)
i e e e ， i
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