2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(02)

2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（02）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若全集U=R，集合，则M∩（∁U N）等于（）
A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＜﹣2或x≥3}C．{x|x≥3}D．{x|﹣2≤x＜3} 2．（5分）与函数y=10lg（x﹣1）的图象相同的函数是（）
A．y=x﹣1 B．y=|x﹣1|C． D．
3．（5分）若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．（5分）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx及指数函数y=（）x的图象只可能是（）
A．B．C．
D．
5．（5分）对于定义在R上的函数y=f（x），若f（a）•f（b）＜0（a，b∈R，且a＜b），则函数y=f（x）在区间（a，b）内（）
A．只有一个零点B．至少有一个零点
C．无零点D．无法判断
6．（5分）二次函数f（x）满足f（x+2）=f（﹣x+2），又f（0）=3，f（2）=1，若在[0，m]上有最大值3，最小值1，则m的取值范围是（）
A．（0，+∞）B．[2，+∞）C．（0，2]D．[2，4]
7．（5分）设奇函数f （x ）的定义域为R，且f（x+4）=f（x），当x∈[4，6]时f （x）=2x+1，则f （x ）在区间[﹣2，0]上的表达式为（）
A．f（x）=2x+1 B．f（x）=﹣2﹣x+4﹣1 C．f（x）=2﹣x+4+1 D．f（x）=2﹣x+1 8．（5分）正实数x1，x2及函数f（x）满足，且f（x1）+f（x2）=1，则f（x1+x2）的最小值为（）
A．4 B．2 C．D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
9．（5分）已知命题P：“对任何x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是．10．（5分）函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是．
11．（5分）设g（x）=，则g（g（））=．
12．（5分）下列命题：（1）梯形的对角线相等；（2）有些实数是无限不循环小数；（3）有一个实数x，使x2+2x+3=0；（4）x2≠y2⇔x≠y或x≠﹣y；（5）命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题“若a+b不是偶数，则a、b都不是偶数”；（6）若p或q”为假命题，则“非p且非q”是真命题；（7）已知a、b、c是实数，关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集，必有a＞0且△≤0．其中真命题的序号是．（把符合要求的命题序号都填上）
13．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是．
14．（5分）函数f（x）的图象与函数g（x）=（）x的图象关于直线y=x对称，则f（2x﹣x2）的单调减区间为．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（12分）已知函数f（x）=sin2x+sinx•cosx+2cos2x，x∈R
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象经过怎样的变换得到？16．（12分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．
（I）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；
（Ⅱ）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价﹣成本）
17．（14分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P﹣CD﹣B的大小；
（3）求点C到平面PBD的距离．
18．（14分）已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足f（x）+f（y）=f（x+y）+2，当x＞0时，f（x）＞2．
（1）求证：f（x）在R上是增函数；
（2）当f（3）=5时，解不等式：f（a2﹣2a﹣2）＜3．
19．（14分）若函数f（x）对定义域中任意x均满足f（x）+f（2a﹣x）=2b，则函数f（x）的图象关于点（a，b）对称．
（1）已知函数f（x）=的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；（2）已知函数g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，且当x∈（0，+∞）时，g（x）=x2+ax+1，求函数g（x）在（﹣∞，0）上的
解析式；
（3）在（1）、（2）的条件下，若对实数x＜0及t＞0，恒有g（x）＜f（t）成立，求实数a的取值范围．
20．（14分）设M是满足下列条件的函数构成的集合：①方程f（x）﹣x=0有实数根；②函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．
（1）若函数f（x）为集合M中的任意一个元素，证明：方程f（x）﹣x=0只有一个实根；
（2）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；（3）设函数f（x）为集合M中的元素，对于定义域中任意α，β，当|α﹣2012|＜1，|β﹣2012|＜1时，证明：|f（α）﹣f（β）|＜2．
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（02）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若全集U=R，集合，则M∩（∁U N）等于（）
A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＜﹣2或x≥3}C．{x|x≥3}D．{x|﹣2≤x＜3}【解答】解：∵全集U=R，M={x|x＞2，或x＜﹣2 }，N={x|﹣1＜x＜3}，
∴C U N={x|x≤﹣1，或x≥3}，M∩（C U N）={x|x＜﹣2，或x≥3}，
故选B．
2．（5分）与函数y=10lg（x﹣1）的图象相同的函数是（）
A．y=x﹣1 B．y=|x﹣1|C． D．
【解答】解：函数y=10lg（x﹣1）的定义域为{x|x＞1}，且y=x﹣1
对于A，它的定义域为R，故错；
对于B，它的定义域为R，故错；
对于C，它的定义域为{x|x＞1}，解析式也相同，故正确；
对于D，它的定义域为{x|x≠﹣1}，故错；
故选C．
3．（5分）若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【解答】解：∵（a﹣1）（a﹣2）=0，
∴a=1或a=2，
根据充分必要条件的定义可判断：
若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的充分不必要条件，
故选：A
4．（5分）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx及指数函数y=（）x的图象只可能是（）
A．B．C．
D．
【解答】解：根据指数函数y=（）x可知a，b同号且不相等
则二次函数y=ax2+bx的对称轴＜0可排除B与D
选项C，a﹣b＞0，a＜0，∴＞1，则指数函数单调递增，故C不正确
故选：A
5．（5分）对于定义在R上的函数y=f（x），若f（a）•f（b）＜0（a，b∈R，且a＜b），则函数y=f（x）在区间（a，b）内（）
A．只有一个零点B．至少有一个零点
C．无零点D．无法判断
【解答】解：函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，“f（a）•f（b）＜0”
∴函数f（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，也可能有2，3或多个零点，
但是如果函数不是连续函数，在区间（a，b）上可能没有零点；f（x）=，
函数不是列出函数，定义域为R，没有零点．
则函数y=f（x）在区间（a，b）内的零点个数，无法判断．
故选：D．
6．（5分）二次函数f（x）满足f（x+2）=f（﹣x+2），又f（0）=3，f（2）=1，若在[0，m]上有最大值3，最小值1，则m的取值范围是（）
A．（0，+∞）B．[2，+∞）C．（0，2]D．[2，4]
【解答】解：∵二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），
∴其对称轴是x=2，
可设其方程为y=a（x﹣2）2+b
∵f（0）=3，f（2）=1
∴
解得a=，b=1
函数f（x）的解析式是y=（x﹣2）2+1
∵f（0）=3，f（2）=1，f（x）在[0，m]上的最大值为3，最小值为1，
∴m≥2
又f（4）=3，由二次函数的性质知，m≤4
综上得2≤m≤4
故选D
7．（5分）设奇函数f （x ）的定义域为R，且f（x+4）=f（x），当x∈[4，6]时f （x）=2x+1，则f （x ）在区间[﹣2，0]上的表达式为（）
A．f（x）=2x+1 B．f（x）=﹣2﹣x+4﹣1 C．f（x）=2﹣x+4+1 D．f（x）=2﹣x+1【解答】解：当x∈[﹣2，0]时，﹣x∈[0，2]，
∴﹣x+4∈[4，6]，
又∵当x∈[4，6]时，f（x）=2x+1，
∴f（﹣x+4）=2﹣x+4+1．
又∵f（x+4）=f（x），
∴函数f（x）的周期为T=4，
∴f（﹣x+4）=f（﹣x），
又∵函数f（x）是R上的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴﹣f（x）=2﹣x+4+1，
∴当x∈[﹣2，0]时，f（x）=﹣2﹣x+4﹣1．
故选：B．
8．（5分）正实数x1，x2及函数f（x）满足，且f（x1）+f（x2）=1，则f（x1+x2）的最小值为（）
A．4 B．2 C．D．
【解答】解：由已知得，由f（x1）+f（x2）=+=1于是可得：，
所以得：=≥2，①
设=t，则①式可得：t2﹣2t﹣3≥0，又因为t＞0，
于是有：t≥3或t≤﹣1（舍），从而得≥3，即：≥9，
所以得：f（x1+x2）===≥1﹣=．
所以有：f（x1+x2）的最小值为．
故应选：C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
9．（5分）已知命题P：“对任何x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是∃x∈R，x2+2x+2≤0．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任何x∈R，x2+2x+2＞0”的否定为：∃x∈R，x2+2x+2≤0．
故答案为：∃x∈R，x2+2x+2≤0
10．（5分）函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（﹣，1）．
【解答】解：由，解得：﹣．
∴函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（﹣，1）．
故答案为：（﹣，1）．
11．（5分）设g（x）=，则g（g（））=．
【解答】解：∵g（x）=，
∴g（）=ln=﹣ln2＜0，
∴g（g（））=g（﹣ln2）
=e﹣ln2
=
=2﹣1
=．
故答案为：．
12．（5分）下列命题：（1）梯形的对角线相等；（2）有些实数是无限不循环小数；（3）有一个实数x，使x2+2x+3=0；（4）x2≠y2⇔x≠y或x≠﹣y；（5）命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题“若a+b不是偶数，则a、b都不是偶数”；（6）若p或q”为假命题，则“非p且非q”是真命题；（7）已知a、b、c是实数，关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集，必有a＞0且△≤0．其中真命题的序号是（2）（6）．（把符合要求的命题序号都填上）
【解答】解：对于（1），梯形的对角线不一定相等，∴（1）错误；
对于（2），无理数是无限不循环小数，无理数是实数，∴（2）正确；
对于（3），△=22﹣4×1×3＜0，方程x2+2x+3=0无实根，∴（3）错误；
对于（4），x2≠y2⇔x≠y且x≠﹣y，∴（4）错误；
对于（5），命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题
“若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数”，∴（5）错误；
对于（6），“若p或q”为假命题，则它的否定“非p且非q”是真命题，（6）正确；对于（7），a、b、c是实数，关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集，
则必有a＞0且△＜0，∴（7）错误；
综上，以上真命题的序号是（2）（6）．
故答案为：（2）（6）．
13．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是
．
【解答】解：如图所示：曲线，
即（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（3≤y≤5，0≤x≤4），
表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．
由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，
可得=2，
∴b=1+2，或b=1﹣2．
结合图象可得﹣1≤b≤1+2，
故答案为：．
14．（5分）函数f（x）的图象与函数g（x）=（）x的图象关于直线y=x对称，则f（2x﹣x2）的单调减区间为（0，1）．
【解答】解：由y=g（x）=（）x，得x=，
∴函数g（x）=（）x的反函数为，
该函数为定义域内的减函数，
由2x﹣x2＞0，得0＜x＜2，
函数y=2x﹣x2在（0，1）内为增函数，
由复合函数的单调性可得，f（2x﹣x2）的单调减区间为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（12分）已知函数f（x）=sin2x+sinx•cosx+2cos2x，x∈R
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象经过怎样的变换得到？
【解答】解：（1）f（x）=sin2x+x，
=，
=，
=，
函数的最小正周期为：T=．
令：（k∈Z），
解得：（k∈Z），
函数的单调递减区间为：（k∈Z）．
（2）函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数y=sin（2x+）的图象，再将函数图象向上平移各单位得到f（x）=sin（2x+）+的图象．
16．（12分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．
（I）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；
（Ⅱ）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价﹣成本）
【解答】解：（I）当0＜x≤100时，P=60
当100＜x≤500时，
所以
（II）设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，
则
此函数在[0，450]上是增函数，故当x=450时，函数取到最大值
因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获利的利润是5850元．
17．（14分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P﹣CD﹣B的大小；
（3）求点C到平面PBD的距离．
【解答】（1）证明：建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．
在Rt△BAD中，AD=2，BD=2，
∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
∴=（0，0，2），=（2，2，0），=（﹣2，2，0）
∴•=0，•=0，即BD⊥AP，BD⊥AC，
又因为AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
（2）解：由（1）得=（0，2，﹣2），=（﹣2，0，0）．
设平面PCD的法向量为=（x，y，z），
即，
故平面PCD的法向量可取为=（0，1，1）
∵PA⊥平面ABCD，
∴=（0，0，2）为平面ABCD的法向量．
设二面角P﹣CD﹣B的大小为θ，依题意可得cosθ=，
∴二面角P﹣CD﹣B的大小是45°．
（3）解：由（1）得=（2，0，﹣2），=（0，2，﹣2），
同理，可得平面PBD的法向量为=（1，1，1）．
∵=（2，2，﹣2），
∴C到面PBD的距离为d=||=．
18．（14分）已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足f（x）+f（y）=f（x+y）+2，当x＞0时，f（x）＞2．
（1）求证：f（x）在R上是增函数；
（2）当f（3）=5时，解不等式：f（a2﹣2a﹣2）＜3．
【解答】解：（1）设x1＜x2，则x2﹣x1＞0，
∵x＞0，f（x）＞2；
∴f（x2﹣x1）＞2；
又f（x2）=f[（x2﹣x1）+x1]=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣2＞2+f（x1）﹣2=f（x1），
即f（x2）＞f（x1）．
所以：函数f（x）为单调增函数
（2）∵f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）﹣2=[f（1）+f（1）﹣2]+f（1）﹣2=3f （1）﹣4=5
∴f（1）=3．
即f（a2﹣2a﹣2）＜3⇒f（a2﹣2a﹣2）＜f（1）
∴a2﹣2a﹣2＜1⇒a2﹣2a﹣3＜0
解得：﹣1＜a＜3．
19．（14分）若函数f（x）对定义域中任意x均满足f（x）+f（2a﹣x）=2b，则函数f（x）的图象关于点（a，b）对称．
（1）已知函数f（x）=的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；（2）已知函数g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，且当x∈（0，+∞）时，g（x）=x2+ax+1，求函数g（x）在（﹣∞，0）上的解析式；
（3）在（1）、（2）的条件下，若对实数x＜0及t＞0，恒有g（x）＜f（t）成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）因为函数f（x）的图象关于点（0，1）对称，
∴f（x）+f（﹣x）=2，
即，
所以2m=2，
∴m=1．
（2）因为函数g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，
则g（x）+g（﹣x）=2，
∴g（x）=2﹣g（﹣x），
∴当x＜0时，则﹣x＞0，
∴g（﹣x）=x2﹣ax+1，
∴g（x）=2﹣g（﹣x）=﹣x2+ax+1；
（3）由（1）知，，
∴f（t）min=3，
又当x＜0时，g（x）=﹣x2+ax+1
∴g（x）=﹣x2+ax+1＜3，
∴ax＜2+x2又x＜0，
∴，
∴．
20．（14分）设M是满足下列条件的函数构成的集合：①方程f（x）﹣x=0有实数根；②函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．
（1）若函数f（x）为集合M中的任意一个元素，证明：方程f（x）﹣x=0只有一个实根；
（2）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；（3）设函数f（x）为集合M中的元素，对于定义域中任意α，β，当|α﹣2012|＜1，|β﹣2012|＜1时，证明：|f（α）﹣f（β）|＜2．
【解答】解：（1）证明：令h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=f′（x）﹣1＜0，故h （x）是单调递减函数，
所以，方程h（x）=0，即f（x）﹣x=0至多有一解，
又由题设①知方程f（x）﹣x=0有实数根，
所以，方程f（x）﹣x=0有且只有一个实数根…..（4分）
（2）易知，，满足条件②；
令，
则，…..（7分）
又F（x）在区间[e，e2]上连续，所以F（x）在[e，e2]上存在零点x0，
即方程g（x）﹣x=0有实数根，故g（x）满足条件①，
综上可知，g（x）∈M…（9分）
（3）证明：不妨设α＜β，∵f′（x）＞0，∴f（x）单调递增，
∴f（α）＜f（β），即f（β）﹣f（α）＞0，
令h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=f′（x）﹣1＜0，故h（x）是单调递减函数，∴f（β）﹣β＜f（α）﹣α，即f（β）﹣f（α）＜β﹣α，
∴0＜f（β）﹣f（α）＜β﹣α，
则有|f（α）﹣f（β）|＜|α﹣β|≤|α﹣2012|+|β﹣2012|＜2．（14分）。