数学归纳法及其应用PPT教学课件

•
1
3 2
ak
.
因为
k
2
ak＞0，1
3 2
ak＞1
3 2
•
k
1
1
1
3 2k
＞0， 2
所以
k
2 ak
•
(1
3 2
ak
)
［
k
2 ak
1
3 2
ak
2
］2
1 ［
k
2
1
ak
1 ］2＜［
(k
1) 2
•
k
1
1 ］2
2
2
2k 1 2
1
2k 2 2
＜
1
2
1
2
1，
• 所以
无土栽培
1. 无土栽培就是利用溶液培养法的原理，把植 物体生长发育过程中所需要的无机盐，按照 一定的比例配制成营养液，并用这种营养液 来栽培植物的技术。
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
无土栽培
2. 最大的特点是用人工创造的根系的生活 环境，来取代土壤环境，这样可以做到 用人工的方法直接调节和控制根系的环 境，从而使植物体能够良好地生长发育。
• 解：当n=1时，a1+b1=1.
• •
因所为以a2+bb22=11，b1a…12 由13，此a猜2 测a1：b2 an32+，bn=1.
• 证明：(1)当n=1时，a1+b1=1显然成立.
• (2)假设当n=k时，ak+bk=1， • 即bk=1-ak成立， • 则ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=(ak+1)bk+1
• •
((21))当 假n设=当1时n=，k时ab，11aS414a1aaS14 k=所b4，ka以k+43a成1S立1=, b1a4成立.
•即 •则
Sk
bk ak 3 4a1
Sk1 Sk
. bk 1
bk ak 3 4a1
bk 1
akbk 11 4a
bk 1
ak 4a1 4a1
• bk1
• 2. 归纳法是推理的方法，数学归纳法是证明 的方法，由归纳法得出的结论不一定正确， 只有用数学归纳法证明后才能确定其真实性.
• 3. “归纳——猜想——证明”是求解某些探索 性问题的一种重要的思想方法，它在数列问 题中有着广泛的应用，必须熟练掌握.
• 4. 数学归纳法应用中的存在性问题，应先取 特殊值，求得参数取值，然后再用数学归纳 法严格证明，不需再考虑参数其他取值情况.
a2 k 1
1 2
1 4k
4
1 k 1
2
1 2
1［ 1 4k
k
1
1
2
］
1 2
1 4
·k k
2
k
k
1
12
• 所以＜当12 n1=4·kk+k1k2时 1k，2 不 12等式14 成k 立1. .
• 综合(1)(2)知，对任意n∈N*，
• 不等式都成立.
• 1. 数学归纳法原理类似于“多米诺骨牌游 戏”，其实质是逐一验证对一切从n0开始的 正整数，命题都成立，它是一种从有限验证 无穷的数学方法.
2k
1 2k
1
,
• 由①②知，猜想
2n 1
成立.
an 2n1 (n N*)
题型4 用数学归纳法探求数列的有关性质
• 2. 已知两个数列{an}、{bn}满足：a1=2，b1=-1， 且推测an=aan+n-b1·nb的=变，化规b律n ，1 并ban证n21明1 (你n 的2)结，论. 试
• 5. 在用数学归纳法证明数列不等式时，需要 从问题要证的结论出发去寻找出过渡命题， 探索并证明过渡命题成为此类问题的中心环 节，而这一过渡命题又恰好是证明原命题的 关键.这就是说，为方便用数学归纳法证明数 列不等式，有时需要运用“变更命题”的技 巧，这在证明数列不等式问题中经常用到.
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
•
数列{an}的通项公式是
an
1 3n
2
(n
N *).
• 点评：“归纳—猜想—证明”是求数列的 通项公式与前n项和公式的常用方法，也是 近几年高考理科数学试卷中数列问题的一 个主要类型，应引起足够的重视.
• 数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*). • (1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an; • (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.
• 所以当n=akk +11时 • ，1 b结kak2论 成1 b立kak. 1.
• 综合(1)(2)知，对任意n∈N*，都有an+bn=1. • 故an+bn=1，为定值.
• 点评：探求数列中的有关性质，一般是先 观察n=1，2，3时的命题的性质，对这几
项进行归纳、分析，猜想出一般性的结论， 然后用数学归纳法来证明.
ak
＜
1
k
1 即. 当n=k+1时，
2
• 不等式成立.综合(1)(2)知，
• • •
证 所法以an＜不2：n等1(1式1)对当成任n立=意1. 时n∈，N*0都＜a成1＜立12.
1
1
， 1
• 当n=2时，
•
所a以2 不a等1 式32 a成12 立.32
a1
1 3
2
1 6
1＜1 63
2
1
， 1
• 解：(1)当n=1时，a1=S1=2-a1,所以a1=1;
• 当n=2时，a1+a2=S2=2×2-a2,所以a2= 3;
• 当n=3时，a1+a2+a3=S3=2×3-a3,所以a32= 7 ;
• 当n=4时，a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,
4
• 所以a4=
15.由此猜想
8
an
2n 1 2n1
• 已知数列{an}的通项
an
1， 2n
• •
求证： a12 a22 an2 证明：(1)当n=1时，
11
2 a12
14n 4
. 1 2
1， 41
• 所以不等式成立.
• (2)假设n=k时，不等式成立，
•即
a12
a22
பைடு நூலகம்
ak2
1 2
1 成立.
4k
• 则当n=k+1时，
a12
a22
ak2
• (2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立，
• •
即 0＜ak＜ 因为函数
k f
1
1. 13
x x
3
x2
2
• 在［0， ］1 上是增函数，
3
• 所以
f
(ak
)＜f
(
k
1
1
)，
•即
ak 1＜f
k
1 1
k
1 1
3 2
k
1
2 1
2k 1
2k 12
k
1
2
•
2k 1k 2k 12
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
无土栽培
3. 无土栽培的优点：产量高；品质好；
不受自然条件的约束等优点 。
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
讨论
1.实验中三株植物出现生长差异的原因是什么？
（锥形瓶内的液体分别为土壤浸出液、无土栽培培养液、蒸馏水，这是实验中的唯一的变 量）
2.实验中，含有无机盐的溶液有哪些？ （土壤浸出液、无土栽培培养液） 3.你认为无土栽培成功的原因是什么？ （无土栽培成功的原因是无土栽培培养液中含有植物生活必需的无机盐 )
• 已知数列{an}是公差不为零的等差数列，且 a4是a2与a8的等比中项，设bn=anan+1an+2， Sn为数列{bn}的前n项和，试推断是否存在 常数p，使对一切n∈N*都有pa1Sn=bnan+3 成立？说明你的理由.
• 解：设数列{an}的公差为d(d≠0). • 由已知，得a2a8=a42， • 所以(a1+d)(a1+7d)=(a1+3d)2， • 则a1=d，所以an=nd.
验证液体中含有何种营养物质
实验步骤： 3、当水分蒸发干后，观察载玻片上有什么
现象。
验证液体中含有何种营养物质
实验步骤： 1、把土壤浸出液、无土栽培培 养液、蒸馏水，分别装入编号为A、B、C的三个试管中。 2、将酒精灯放在三角架下，再将石棉网置于三角架上，然后取3片洁净的标有A、B、C的
载玻片分别放在石棉网中间，用滴管在载玻片的中央分别滴一滴A（土壤浸出液）、B （无土栽培培养液）、C（蒸馏水）三个试管中的溶液。最后点燃酒精灯用酒精灯进 行烘干。（为确保安全，我们实验时不直接对着载玻片加热，以免引起载玻片破裂） 3、当水分蒸发干后，观察载玻片上有什么现象。
3.
已an知1 数 a列n {a32na}n2满(n足 :N
0＜a1＜
1， 2
*)， 证明：an＜
证法1：(1)当n=1时，
n
1
1
.
• • •
因(则2)为假a设k1当0＜naak=1＜k时3212a不k2 1等1a1k式(，所1成以32立不ak，)等即式成0立＜.ak＜
k
1
1
.
k
1
2
•k
2 ak
实验步骤： 1、将三块载玻片编号为A、B、C.
验证液体中含有何种营养物质
实验步骤：
2、将酒精灯放在三角架下，再将石棉网置于三角架上，然后取3片洁净的标有A、B、C的 载玻片分别放在石棉网中间，用滴管在载玻片的中央分别滴一滴A（土壤浸出液）、B （无土栽培培养液）、C（蒸馏水）溶液。最后点燃酒精灯用酒精灯进行烘干。（为 确保安全，我们实验时不直接对着载玻片加热，以免引起载玻片破裂）
k
1
. 2
k
1
2
＜ak＜
k
1
1
,
•则
ak1
ak
(1
3 2
ak
)＜
k
1
1
•
(1
3 2
•
k
1
) 2
k
1
1
•
2k
2k
1
2
k
1
2
•
2k 2k
1＜ 2k
1
2
.
• 所以当n=k+1时，不等式
• •
综 对合任意(1)n(∈2)知N*，都成an＜立n.
1
1
ak
＜
1
k
1
成立.
2
• 点评：用数学归纳法证明不等式的关键 是“变形”，即在归纳假设的基础上通 过放缩、比较、综合等证明不等式的方 法，得到要证明的目标不等式.
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
生长情况 液体组成 实验现象 实验结果
土壤 生长正常 水+？ 浸出液
无土栽 培培养 液
蒸馏水
生长正常 水+？ 生长不良 水
载玻片上 出现结晶 体
载玻片上 出现结晶 体
无明显现 象
液体中含 有无机盐
液体中含 有无机盐
液体中不 含无机盐
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
土壤浸出液: 配置方法：取100克土壤，加入200 毫升清水，浸泡一段时间后，用4层纱布进行 过滤得到；
无土栽培培养液: 根据植物生物所需要的营养物质 的种类和数量的不同，用水和营养物质配置 成培养植物的液体；
蒸馏水: 在这种液体中只有水
验证液体中含有何种营养物质
1， 7 . 2
• •
证明:
(1)当n=1时，a1
1 31
2
1，
(2)假设当n=k时结论成立，即 ak
结论成立.
1. 3k 2
• 则当n=k+1时，
ak1
k 1ak
k ak
k 1 •
k
1
3k 2 1
k 1
k 3k 2 1
3k 2
• 所3以k2当k2n1k=k1+1时3，k 结k1论1k也 1成 立3.k综1合1 (13)(k2)1知1， 2 .
第十二章 极限与导数
第讲
（第二课时）
题型3 用数学归纳法探求数列的通项公式
•an(a1n+.1已-1)知=n数(a列n+{1a- na}n满)(n足≥：2)，a1求=1数，列a2{=a14n}的，通 项公式.
• • •
解 因a4 ：为 3由2a-a1a已3=3 1知，11可0a，2得= 14an由1，此所 nn猜以a1想a3na：ann2(na2a322n1)-.
ak
4d 4 a1
•
bk 1
ak 4bk1 ， 4a1
• 所以4a1Sk+1=bk+1ak+4， • 即n=k+1时，有4a1Sn=bnan+3成立. • 综合(1)(2)知，存在常数p=4，
• 使对一切n∈N*， • 都有pa1Sn=bnan+3成立.
题型5 用数学归纳法证数列不等式
• • •
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
2
k
1
2
•
2k 2 2k 2
3k 4k
2＜ 2k
1
2
.
• 所以当n=k+1时不等式成立.
•
综合(1)(2)知，
an＜
n
1
对任意n∈N*都成立.
1
• 证法3：(1)同证法1.
• (2)假设当n=k时，不等式成立，
•即 •则 •若
0＜ak＜
k
1
1
.
若
0＜ak
k
1
， 2
ak1
ak
3 2
ak2＜ak
(n
N*).
• (2)证明:①当n=1时，a1=1，结论成立.
• ②假设n=k(k≥1且k∈N*)时,结论成立，
• •
即那么当akn=2k2k+k111(k. ≥1且k∈N*)时，
• ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.
• • •
所所这以以表明2anka+=k1k=1+21+2时a2k，,ak 结 2论也222k成k11立.