概率试卷A 评分标准08-09-1 46

概率论与数理统计（46 学时）A 卷评分标准
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2008－2009 学年 第 1 学期 概率论与数理统计(46 学时) A 卷评分标准
一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 。 1、 A、B 为两个随机事件，若 P ( AB) = 0 ，则 （B） AB 一定是不可能事件； （A） A、B 一定是互不相容的； （C） AB 不一定是不可能事件； （D） P( A) = 0 或 P( B ) = 0 . 答： （ C ） Y X 1 2
χ 2 (3) ，则常数 a = 1 9 .
三、解答题（本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）。 11、已知一批产品中有 95% 是合格品，检验产品质量时，一个合格品被判为次品的概 率为 0.04， 一个次品被判为合格品的概率为 0.02， 从这批产品中任取一个产品， 求其被判为合格品的概率。
9、随机变量 X
1 b(3, ), Y 3
2 4 b(3, ) ,且 X , Y 独立，则 D( X − Y ) = . 3 3
10 、 已 知 随 机 变 量 X i , i = 1, 2,3 相 互 独 立 ， 且 都 服 从 N (0,9)分布， 若随机变量
2 Y = a ( X 12 + X 2 + X 32 )
（2）求概率 P( X 2 ≤ Y ) . （1）求常数 a ；
3
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解： （1）由题意
R× R
∫∫
f ( x, y )dxdy = 1 ⇒ ∫ adx ∫ dy = 1..........................................(3')
答:（ D ）
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。 6、已知 A、B为两个随机事件 ，若 P ( A) = 0.6, P( AB) = 0.1, 则 P ( A | AB) =1. 7、已知随机变量 X 服从区间 (0, 2) 上的均匀分布，则 E (2 X ) =2. ⎧ 2 x, 0 < x < 1 8、 已知连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x) = ⎨ ， 则概率 P(| X |< 1 2) = ⎩ 0, 其它 1 4.
x2 ≤ y 1
= ∫ dx ∫ 2 dy = ∫ ( x − x 2 )dx....................................................(9 ')
0 x 0
1
x
1 = ........................................................................................(10 ') 6 15、某种清漆的干燥时间（单位：小时） X N (8, σ 2 ) , σ > 0 ，且由以往观测的 数据可知，此种清漆的干燥时间在 8 至 10 小时之间的概率为 0.2881，已知 Φ (0.8) = 0.7881 ， （1）求 σ 的值； （2）求此种清漆的干燥时间不超过 6 小时的概率。 解： （1）由题意 ⎛ 8 − 8 X − 8 10 − 8 ⎞ P (8 < X < 10) = 0.2881 ⇒ P ⎜ < < = 0.2881..............(2 ') σ σ ⎟ ⎝ σ ⎠ 即 ⎛2⎞ ⎛2⎞ Φ ⎜ ⎟ − Φ (0) = 0.2881 ⇒ Φ ⎜ ⎟ = 0.7881..................................(4 ') ⎝σ ⎠ ⎝σ ⎠ ⇒ σ = 2.5......................................................................................(5')
A2 : 取到次品； 解： A1 : 取到合格品； B : 被判为合格品 。
P ( B ) = P ( B | A1 ) P( A1 ) + P( B | A2 ) P( A2 )....................................(5') = (1 − 0.04) × 95% + 0.02 × 5%........................................................(9 ') = 0.913..........................................................................................(10 ') 12、已知离散型随机变量 X 的分布律为 -1 0 1 X 1 1 a+ 2a 4 4 P （1）求常数 a ；
⎧ 1 x e ，x < 0 ⎪ ⎪ 2 F ( x) = ⎨ ................................................................(6 ') ⎪1 − 1 e − x , x ≥ 0 ⎪ ⎩ 2
（2）由（1）知 X -1 X 1 3 P
故
0 −x
1
x
可以得到 a ∫ 2 xdx = 1 ⇒ a = 1........................................................(5')
0
1
（2）把 a = 1 代入密度函数 P ( X 2 ≤ Y ) = ∫∫ f ( x, y )dxdy.................................................(7 ')
（2）所求概率
⎛ X −8 6−8 ⎞ ⎛ 2⎞ ≤ P ( X ≤ 6) = P ⎜ ⎟ = Φ ⎜ − ⎟ .........................................(8') σ ⎠ ⎝ σ ⎝ σ⎠ ⎛2⎞ = 1 − Φ ⎜ ⎟ = 0.2119........................................................................(10 ') ⎝σ ⎠ 2 ⎧ x −x 2 λ ⎪ e ,x >0 16、总体 X 的概率密度函数为 f ( x) = ⎨ λ ，其中 λ > 0 是未知参数， ⎪ 0, 其它 ⎩
2 2
均值，S 为样本方差。 若 μ 的置信度为 0.98 的置信区间为 ( X − c S 则常数 c 为 （B） t0.01 (n) ； （A） t0.01 (n − 1) ；
1
2
n,X +cS
n) ，
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（C） t0.02 (n − 1) ；
（D） t0.02 (n) . 答: （ A ）
5、随机变量 X 1 , X 2 ,L , X n 独立且都服从 N (2, 4) 分布，则 X = （A） N (0,1) ； （C） N (2n, 4n) ；
1 n ∑ X i 服从 n i =1 （B） N (2, 4n) ；
__
4 （D） N (2, ) . n
对数似然函数 ln[ L(λ )] = ∑ ln xi − n ln λ −
i =1
n
4
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令
d ln[ L(λ )] n 1 =0⇒− + 2 λ 2λ dλ
^
∑x
i =1 2 i
n
2 i
= 0....................................................(8')
2
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（2）求 X 的分布函数 F ( x) .
1 1 解: （1）由分布律的性质可得 2a + + (a + ) = 1............................................(4 ') 4 4 1 ⇒ a = ......................................................................................(5') 6
⎧1 x e ，x < 0 dF ( x) ⎪ ⎪2 =⎨ f ( x) = .........................................................(10 ') dx ⎪ 1 e− x , x ≥ 0 ⎪ ⎩2 ⎧a, 0 < x < 1,| y |< x 14、二维连续型随机变量 ( X , Y ) 的概率密度函数为 f ( x, y ) = ⎨ ， ⎩ 0, 其它
2、二维离散型随机变量 ( X , Y ) 的分布律为
0 1/6 1/4
1 1/3 1/6
2 0 1/12
F ( x, y ) 为 ( X , Y ) 的联合分布函数，则 F (1.5,1.5) 等于
（A）1/6； （C）1/3； （B）1/2； （D）1/4. 答:（ B ） 3、 X 、Y 是两个随机变量，下列结果正确的是 （A）若 E ( XY ) = EXEY ,则 X 、Y 独立； （B）若 X 、Y 不独立,则 X 、Y 一定相关； （C）若 X 、Y 相关,则 X 、Y 一定不独立； （D）若 D( X − Y ) = DX + DY ,则 X 、Y 独立. 答:（ C ） 4、总体 X ~ N ( μ , σ ), μ , σ 均未知，X 1 , X 2 ,L , X n 为来自 X 的一个简单样本， X 为样本
X ≤1 ⎧−1, ⎪ Y = ⎨ 0, 1 < X < 2 ,求 EY . ⎪ 1, X ≥2 ⎩
的分布律为 0 1 1 5 4 12 ......................................................................(6 ') 由分布函数的定义可得 x < −1 ⎧ 0, ⎪1 ⎪ , −1 ≤ x < 0 ⎪3 F ( x) = P( X ≤ x) = ⎨ ...........................................(10 ') ⎪ 7 , 0 ≤ x <1 ⎪12 ⎪ 1, x ≥1 ⎩ 13、设连续型随机变量 X 的分布函数为： ⎧ 1 x e ，x < 0 ⎪ F ( x) = ⎨ 2 −x ⎪ ⎩ B − Ae , x ≥ 0 （1） 求常数 A, B ； （2）求 X 的概率密度函数 f ( x) . 解：（1）由分布函数性质： F (0+ ) = F (0− ) ⇒ B − A = 1 2...............................................................(2 ') F (+∞) = 1 ⇒ B = 1................................................................................(4 ') 因此可得 A = 1/ 2, B = 1.........................................................................(5') （2）代入 A, B 的值，可得
................................................................(10 ') 2n 四、解答题（本大题共 1 个小题，5 分）。 ⎧e − x , x > 0 17、已知连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x) = ⎨ ，若随机变量 0, 其它 ⎩
X 1 , X 2 ,L , X n 是来自 X 的一个简单样本，求 λ 的最大似然估计量 λ .
∧
解： 似然函数为 L(λ ) = ∏
i =1
n
xi
λ
e
−
xi 2 2λ
...........................................................(2 ') 1 n 2 ∑ xi .............................(4 ') 2λ i =1