2011届高三数学上册10月月考试卷3

湖北省黄州区一中2011届高三10月月考（数学理）
一、选择题（本题共有10个小题，每小题5分，共50分）．
1．若集合2{|540}A x x x =-+<，{|||1}B x x a =-<，则“(23)a ∈，”是“B A ⊆”的（ ）
A. 充分但不必要条件
B. 必要但不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件 A ．32 B ．1 C ．-1 D ．-32 2．已知函数x
x f 2)(=的反函数)(1
x f -满足4)()(11=+--b f a f ，则
b
a 1
1+的最小值为 A ．1
B ．
31 C ．21 D ．
4
1
3．若函数()(01)x x f x ka a a a -=->≠且在（-∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函
数()log ()a g x x k =+的图象是（ ）
4.函数()cos f x x x =的导函数()f x '在区间[],ππ-上的图像大致是
A. B. C. D.
5．定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3
(,0)4
-成中心对称，对任意的实数x 都有
3
()()2
f x f x =-+
，且(1)1,f -=(0)2f =-，则(1)(2)(3)f f f f +++鬃?……+f(2008)的值为
A ．-2
B ．-1
C ．0
D ．1
6.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2415a a a ++的值为常数，则下列各数中也是常数的是（ ）
A.7S
B.8S
C.13S
D.15S
7.若数列｛a n ｝满足a 1=5,a n+1=n
n a a 212++2n a (n ∈N +
),则其前10项和为( )
A 、 50
B 、100
C 、 150
D 、200
8.在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2
110(2)n n n a a a n +--+=≥，
则214n S n --=（ ） Ａ．2- Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．2
9．已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，
其首项分别为1a 、1b ，且11a +b =5，11a >b ，++11a b N (n N )、∈∈，则数列n
b
{a }前10项的和等于
A.55
B.70
C.85
D.100 10.设{a n }为各项均是正数的等比数列,S n 为{a n }的前n 项和,则( ) A.
6644S a S a =
B.6644S a S a >
C.6644S a S a <
D.6
644S a S a
≤ 二、填空题（本题共有5个小题，每小题5分，共25分）．
11．若关于x 的不等式2
124x x a a +--<-有实数解，则实数a 的取值范围是 12．设()f x 是定义在R 上的奇函数，在(,0)-∞上有0)()(<+'x f x f x 且(2)0f -=，则不等式0)(<x xf 的解集为 .
13．已知数列{a n }的前n 项和122-+=n n S n ,则25531a a a a ++++ =
14.已知等比数列{n a }的各项均为不等于1的正数，数列}{n b 满,18,ln 3==b a b n n 126=b ，则数列}{n b 前n 项和的最大值为______________.
15.对于大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如图方式的“分裂”.
仿此,52的“分裂”中最大的数是_______,若m 3
的“分裂”中最小的数是211,则m 的值为_______.
三、解答题（共75分）
16.（12分）已知函数y=f(x)= 21
ax bx c
++(a,b,c ∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最
小值2，其中b ∈N ，且f(1)<
52
(1)试求函数f(x)的解析式；(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。

17.（12分）设函数321()()3
f x ax bx cx a b c =++<<，其图象在点(1,(1)),(,())A f B m f m 处的切线的斜率分别为0,a -． （1）求证：01b
a
<≤
；（2）若函数()f x 的递增区间为[,]s t ，求||s t -的取值范围； （3）若当x k ≥时（k 是与,,a b c 无关的常数），恒有()0f x a '+<，试求k 的最小值．
18． （12分）某养殖厂规定：饲料用完的第二天方可购买饲料，并且每批饲料可供n *()n ∈Z 天使用．已知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管费为平均每公斤每天0.03元（当天用掉的饲料不计保管费用），购买饲料每次支付运费300元． （1）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；
（2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少5吨时其价格可享受八五折优惠（即原价的85%）．问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由．
19．（ 12分）已知函数,1)2
1
(,)1,1()(-=-f x f 上有意义在且对任意的x 、)1,1(-∈y 都有).1(
)()(xy
y
x f y f x f ++=+ （1）若数列).(),(12,21}{*
211n n
n n n x f N n x x x x x 求满足∈+==+ （2）求)21()1
31()111()51
(12+++++++n f n n f f f 的值.
20（13分）数列}{n a 满足 .27),2,(12231=≥∈++=-a n N n a a n n n （Ⅰ）求21,a a 的值；（Ⅱ）记*))((2
1
N n t a b n n n ∈+=
，是否存在一个实数t ，使数列}{n b 为等差数列？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）求数列{n a }的前n 项和n S .
21．（ 14分）在数列{}n a 中，1111,30(2)n n n n a a a a a n --=+-=≥. （1）求数列{}n a 的通项； （2）若1
1
n n a a λλ++
≥对任意2n ≥的整数恒成立，求实数λ的取值范围； （3
）设数列n b =
{}n b 的前n 项和为n T
，求证：2
1)
3n T >
黄州区一中2011届高三十月考试题（理科）答案
1． A 【解析】{}
{}2
|540|14A x x x x x =-+<=<<，
{}
{}|1|11B x x a x a x a =-<=-<<+，由B A ⊆得：23a ≤≤ 所以为充分但不必要条件。

2．选（C ） 命题意图：考查指数函数与对数函数的概念和关系；
函数x
x f 2)(=的反函数x x f log
2
)(=
，所以4log log 2
2
=+b a ，
ab=16,
b a 11+≧2ab 1=2
1,最小值为21
3．答案：C 解析：函数()(01)x x f x ka a a a -=->≠且在（-∞，+∞）上是奇函数，则
()()()()(1)()0x x x x x x f x f x ka a ka a k a a ---+-=-+-=-+=，∴1k =．
又()(01)x x f x ka a a a -=->≠且是（-∞，+∞）上的增函数，则1a >．对照选项知C 满足．．
4.A 解析：x x x x f sin cos )(-='，由1)0(='f 及02)2
(<-
='π
πf 而函数()f x '在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0π上为减函数。

故选A
5． 解析：D ．本题考查了函数的对称性和周期性． 由3
()()2
f x f x =-+
，得(3)()f x f x +=，因此，()f x 是周期函数，并且周期是３ 函数()f x 的图象关于点3(,0)4-成中心对称, 因此，()f x =-3
()2
f x --，所以，(1)1f =
(1)(2)(3)0f f f ++=，(1)(2)(3)(2008)f f f f +++鬃
?＝(1)f 6.答案:C 解析: 由2415a a a ++是常数，可得176a d a +=是常数，所以113137()
132
a a S a +==是常数，选C 。

7.选A 由a n+1=n n a a 22
1++2
n a 得a 21+n -2a n a n+1+a 2
n =0 ∴a n+1= a n 即｛a n ｝为常数列
S 10=10a 1=50 ∴选A
8．答案：A 解析：设公差为d ，则a n ＋1＝a n ＋d ，
a n －1＝a n －d ，由2
110(2)n n n a a a n +--+=≥
可得2a n －2n a ＝0，解得a n ＝2（零解舍去），故214n S n --=2×（2n －1）－4n ＝－2，
9．解析：C ．本题考查了等差数列的通项及前n 项和计算．
11111111,11(1)12523
n n n b n a a n b b n a a b a b n a b n n n =+-=+-=+-=++--=++-=+-=+ 因此，数列{}n
b
a 也是等差数列，并且前10项和等于：
10(413)
852
+= 10.解析:由题意得q ＞0,当q ＝1时,有
06
1416644>-=-S a S a ;
当q≠1时,有)
1()
1()1()1(6
151********q a q q a q a q q a S a S a -----=- 0111)1)(1(1)1(6
236423
>--∙+=---∙-=q
q
q q q q q q q ,所以6644S a S a >.故选B. 11. 3a >或1a < 解析：
()()12123x x x x +--≤+--= 3123x x ∴-≤+--≤
由不等式2
412a a x x ->+--有实数解，知243a a ->-，解得3a >或1a <.
12． ==)(),()(,x F x xf x F 则设0)()(<+'x f x f x ，)(x F ∴在(,0)-∞上递减 且(2)0f -=，即0)2(2)2(=--=-f F
0)()(<=x xf x F 在(,0)-∞的解集为（-2，0） )()(x xf x F =是定义在R 上的偶函数
0)()(<=x xf x F 在定义在R 上的解集为}2002|{<<<<-x x x 或
13．【解析】由221n s n n =+-得：12a =，()()2
11211,(2)n s n n n -=-+--≥。

∴121n n n s s a n --==+，∴n a =2,1
21,2n n n =⎧⎨+≥⎩
，3257,51a a ==，从3a 到25a 共12项
∴13525751
2123502
a a a a +++++=+
⨯=。

14.【解析】132
15.解析:52
＝1+3+5+7+9,52
的“分裂”中最大的数是9. m 3
＝211+(211+2)+…+［211+2(m-1)］＝211m+m(m-1), m 2-m-210＝0,m ＝15或-14(舍去), m ＝15. 答案:9 15
16.解：(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)=－f(x),即
2211
ax ax bx c bx c bx c bx c
++=-⇒+=-+-+………………(2分)
∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,
∴f(x)=
211
ax a x bx b bx
+=+≥
………………………………………(3分) 当且仅当
∴a=b2, 由f(1)＜52得152a b +<即2152
b b +<,∴2b2－5b+2＜0,解得1
2＜b ＜2，又b ∈N,∴b=1,∴a=1,
∴f(x)=x+1x。

………………………………………(6分)
(2)设存在一点(x 0,y 0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x 0,－y 0)也在y=f(x)图象上，
则20002
000
1
(2)12x y x x y
x ⎧+=⎪⎪⎨-+⎪=-⎪-⎩………………………………………(9分)
消去y 0得200210x x --= ,0x =1
(11分) ∴y=f(x)图象上存在两点
－
关于(1，0)对称。

…(12分) 17.解：（1）2()2f x ax bx c '=++，由题意及导数的几何意义得
(1)20f a b c '=++=， （1） ……1分
2()2f m am bm c a '=++=-， （2） ……2分
又a b c <<，可得424a a b c c <++<，即404a c <<，故0,0,a c <> ……3分 由（1）得2c a b =--，代入a b c <<，再由0a <，得
113b
a
-<<， （3） ……4分 将2c a b =--代入（2）得2220am bm b +-=，即方程2220ax bx b +-=有实根． 故其判别式2480b ab ∆=+≥得2b a -≤，或b
a
≥0， （4） ……4分 由（3），（4）得01b
a
<≤
；……5分 （2）由2()2f x ax bx c '=++的判别式2440b ac '∆=->，
知方程2()20()f x ax bx c '=++=*有两个不等实根，设为12,x x ， …………6分
又由(1)20f a b c '=++=知，11x =为方程（*）的一个实根，则有根与系数的关系得
122122,10b b
x x x x a a
+=-
=--<<， ………7分 当2x x <或1x x >时，()0f x '<，当21x x x <<时，()0f x '>，
故函数()f x 的递增区间为21[,]x x ，由题设知21[,][,]x x s t =， …………8分 因此122||||2b s t x x a -=-=+
，由（Ⅰ）知01b
a
<≤得||s t -的取值范围为[2,4)；…9分 （3）由()0f x a '+<，即220ax bx a c +++<，即2220ax bx b +-<，
因为0a <，则2220b b x x a a +⋅
-⋅>，整理得2(22)0b
x x a
-+>， 设2()(22)b b g x x a a =-+，可以看作是关于b
a
的一次函数， ………10分
由题意()0b
g a
>对于01b a <≤恒成立，
故(1)0,(0)0,g g -⎧⎨>⎩≥ 即2
2220,
0,x x x ⎧-⎪⎨>⎪⎩
≥+得1x ≤或1x ， …………11分
由题意，[,)(,1][31,)k +∞⊆-∞-+∞，
故1k ，因此k 1． ………12分
18．（1）设该厂应隔()n n N +∈天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为1y 元…1分
∵饲料的保管费用每天比前一天少200×0.03=6（元）， ∴x 天饲料的保管费用共是
26(1)6(2)633n n n n -+-+
+=-
…………………………2分
从而有211
(33300)200 1.8y n n n =
-++⨯ ………………………3分 3003357417n n =++≥ ………………………5分
当且仅当300
3n n
=，即10n =时，1y 有最小值417 ………………………6分 即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小.
（2）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔n 天
(25n ≥)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为2y 元，则
221
(33300)200 1.80.85y n n n =
-++⨯⨯ 3003303(25)n x n
=++≥ …………………………8分
∵223003y n
'=-+ ∴当25x ≥时，02>'y ，即函数2y 在[)25+∞，上是增函数…………………10分 ∴当25x =时，2y 取得最小值390
∵390<417，故该厂应该利用此优惠条件 …………………………………… 12分 19．（1）.21
1|12|
||2112
2
=≤+∴≥+x x x x x n
n n n 又 1|12|
2
<+∴n
n x x ······3分 1)21
()(1-==f x f 而).(2)()()1()12(
)(2
1n n n n n n
n n
n n x f x f x f x x x x f x x f x f =+=++=+=+········5分 2)
()
(1=∴
+n n x f x f 12)(,2,1)}({--=-∴n n n x f x f 故为公比的等比数列以为首项是以
········7分
（2）由题设，有0)0(),0()010
0(
)0()0(==++=+f f f f f 故········8分 又,0)0()1(
)()(),1,1(2
==--=-+-∈f x x
x f x f x f x 有 得)1,1()(),()(--=-在故知x f x f x f 上为奇函数. ·······10分 由
1)2)(1(1
1312
-++=++k k k k )
2)(1(1121
11)2)(1(11)2)(1(1++-+-
+=++-++=k k k k k k k k 得)21
()11()21()11()1
31(
2
+-+=+-++=++k f k f k f k f k k f 于是
∑=+--=+-=++n
k n f n f f k k f 1
2).21(1)21()21()1
31(
故.0)21
()1
31()111(
)5
1(12=+++++++n f n n f f f ···········12分 20.（Ⅰ）由12227,273
23++==a a ----------1分
92=∴a ----------2分 122921++=∴a
21=∴a ------------3分 （Ⅱ）假设存在实数t ，使得}{n b 为等差数列.
则112+-+=n n n b b b ------------4分 )(2
1)(21)(2121111t a t a t a n n n n n n +++=+⨯∴++-- t a a a n n n ++=∴+-1144 ------------5分
1222
12441++++--⨯=∴+t a a a n n n n n 1=∴t ------------6分 存在t =1，使得数列}{n b 为等差数列. ------------7分 （Ⅲ）由（1）、（2）知：2
5,2321==b b ------------8分 又}{n b 为等差数列.2
1+=n b n 12)12(12)2
1(1-⋅+=-⋅+=∴-n n n n n a ------------9分 12)12(1271251231210-⨯+++-⨯+-⨯+-⨯=∴-n n n S n n n -⨯+++⨯+⨯+=-122)12(27253 n n S n n 22)12(272523232-⨯+++⨯+⨯+⨯=∴ n n S n n n +⨯+-⨯++⨯+⨯+⨯+=-∴-2)12(222222223132 ----------11分
n n n n
+⨯+---⨯+=2)12(2
12121 =12)21(-+⨯-n n n
12)12(+-⨯-=n n S n n ------------13分
21．解（1）将1130(2)n n n n a a a a n --+-=≥整理得：1
113(2)n n n a a --=≥ ………1分
所以113(1)32n n n a =+-=-，即132n a n =- ………………3分
1n =时，上式也成立，所以，132n a n =
- ………………5分 （2）若1
1n n a a λλ++≥恒成立，即3132n n λλ++≥-恒成立 ………………6分 整理得：(31)(32)3(1)n n n λ+-≤
- 令(31)(32)3(1)n n n c n +-=-
………7分 1(34)(31)(31)(32)(31)(34)33(1)3(1)n n n n n n n n c c n n n n ++++-+--=
-=-- ……………8分 因为2n ≥，所以上式0>，即{}n c 为单调递增数列，所以2c 最小，2283c =， 所以λ的取值范围为28(,
]3-∞ ……………………10分（3）
由n b =
23n b ==
=>= 所以，12n n T b b b =++⋅⋅⋅+
23>
⋅⋅⋅+
21)3= ……………………14分。