新人教版初中数学八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试题(有答案解析)(1)

一、选择题
1．如图，菱形ABCD 中，50A ∠=︒，则ADB ∠的度数为（ ）
A ．65︒
B ．55︒
C ．45︒
D ．25︒
2．如图，Rt ABC ∆中，90BAC AB AC AD BC ︒∠==⊥，，于点D ABC ∠，的平分线分别交AC AD 、于E F 、两点，M 为EF 的中点，AM 的延长线交BC 于点N ，连
DM ，下列结论：①DF DN =； ②DMN ∆为等腰三角形；③DM 平分BMN ∠；④AE NC =，其中正确结论的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 、F 是对角线AC 上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有（ ）
A ．AE CF =
B ．DE BF =
C ．ADE CBF ∠=∠
D ．AB
E CD
F ∠=∠
4．下列命题为假命题的是（ ） A ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． B ．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等． C ．等边三角形一边上的高线与这边上的中线互相重合． D ．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 5．下列命题中，错误的是 （ ）
A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形；
B ．对角线相等的菱形是正方形；
C ．对角线互相垂直的矩形是正方形；
D ．一组邻边相等的矩形是正方形．
6．如图，在123A A A △中，160A ∠=︒，230A ∠=︒，131A A =，3+n A 是
1(1,2,3)n n A A n +=⋅⋅⋅的中点，则202120222023A A A △中最短边的长为（ ）
A ．
1009
12 B ．
1010
12 C ．
1011
12 D ．
1021
12
7．顺次连接矩形ABCD 各边的中点，所得四边形是（ ） A ．平行四边形
B ．正方形
C ．矩形
D ．菱形
8．下列命题中，正确的命题是（ ） A ．菱形的对角线互相平分且相等 B ．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是
矩形
C ．矩形的对角线互相垂直平分
D ．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形
9．在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为()5,0，()1,3--，()2,5-，当四边形ABCD 是平行四边形时，点D 的坐标为（ ） A ．()8,2- B ．()7,3- C ．()8,3- D ．()14,0 10．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A ．对角线相等
B ．对角线互相平分
C ．对角线互相垂直
D ．对边相等且平行
11．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点M 是边AB 上一点（不与点A ，B 重合），作ME ⊥AC 于点E ，MF ⊥BC 于点F ，若点P 是EF 的中点，则CP 的最小值是（ ）
A ．1.2
B ．1.5
C ．2.4
D ．2.5
12．在Rt △ABC 中，∠C =90°，点P 在边AB 上．BC =6， AC =8， ( ) A ．若∠ACP=45°， 则CP=5 B ．若∠ACP=∠B ，则CP=5 C ．若∠ACP=45°，则CP=
245 D ．若∠ACP=∠B ，则CP=
245
二、填空题
13．如图，四边形ABCD 为菱形，以AD 为斜边的Rt AED △的面积为3，2DE =，点E ，C 在BD 的同侧，点P 是BD 上的一动点，则PE PC +的最小值是_____________．
14．点O 是平行四边形ABCD 的对称中心，AD AB >，E 、F 分别是AB 边上的点，且
12
EF AB =
；G 、H 分别是BC 边上的点，且1
3GH BC =；若1S ，2S 分别表示EOF
和GOH 的面积，则1S ，2S 之间的等量关系是1
S =__________2S ．
15．如图，在平行四边形ABCD 中，2AD CD =，F 是AD 的中点，CE AB ⊥，垂足E 在线段AB 上．下列结论①DCF ECF ∠=∠；②EF CF =；③3DFE AEF ∠=∠；④2BEC
CEF
S
S
<中，一定成立的是_________．（请填序号）
16．如图，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，已知点F 、G 、H 分别是DE 、BE 、BC 的中点，连接FG 、GH 、FH ，若BD =8，CE =6，∠FGH =90°，则FH 长为____．
17．如图，在平行四边形ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB ＝8，EF ＝1，则BC 长为__________．
18．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2．将∠A 向内翻折，点A 落在BC 上，记为A '，折痕为DE ．若将∠B 沿EA '向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为B '，则AB ＝_______．
19．如图，长方形ABCD 中，4=AD ，3AB =，点P 是AB 上一点，1AP =，点E 是BC 上一动点，连接PE ，将BPE 沿PE 折叠，使点B 落在B '，连接DB '，则PB DB ''+的最小值是________．
20．如图，在正方形ABCD 中，AB=6，E 是CD 上一点，BE 交AC 于点F ，连接DF ．过点D 且垂直于DF 的直线，与过点A 且垂直于AC 的直线交于点G ．∠ABE 的平分线交AD 于点M ，当满足四边形AGDF 面积2BCE S =△时，线段AM 的长度是_______．
三、解答题
21．如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M ，N 分别为OB ，OD 的中点，连接AM 并延长至点E ，使EM AM =，连接CE ，CN ． （1）求证：ABM CDN ≌；
（2）当AB 与AC 满足什么数量关系时，四边形MECN 是矩形？请说明理由；
（3）连接AN ，EN ．当ANE 满足什么条件时，四边形MECN 是正方形？请说明理由．
22．如图，菱形ABCD 中，60B ∠=︒，点E ，F 分别在BC 和CD 上，BE CF =，求证：AE AF =．
23．如图，菱形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,O E 是AD 的中点，点,F G 在AB 上，,//EF AB OG EF ⊥．
（1）判断四边形OEFG 的形状；
（2）若8,6AC BD ==，求菱形ABCD 的面积和EF 的长．
24．如图，点B 、E 分别在AC 、DF 上，AF 分别交BD 、CE 于点M 、N ，A F ∠=∠，
12∠=∠．
（1）求证：BC DE =．
（2）已知2DE =，连接BN ，若N 平分DBC ∠，求CN 的长．
25．如图，平行四边形ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过A 、C 两点作
,AE BD CF BD ⊥⊥，垂足分别为E 、F ，延长AE 、CF 分别交CD 、AB 于M 、
N ．
（1）求证：四边形 CMAN 是平行四边形； （2）已知4,3DE FN ==．求BN 的长．
26．如图，AD 为ABC ∆的中线，BE 为ABD ∆的中线． （1）15ABE ∠=︒，40BAD ∠=︒，求 BED ∠的度数；
（2）若ABC ∆的面积为40，5BD =，则E 到BC 边的距离为多少．
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
由菱形得到AB=AD ，进而得到∠ADB=∠ABD ，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】
解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=AB ， ∴∠ADB=∠ABD=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°， 故选：A ． 【点睛】
本题考查了菱形的性质，菱形的邻边相等，属于基础题，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键．
2．D
解析：D 【分析】
求出BD AD =，DBF DAN ∠=∠，BDF ADN ∠=∠，证明()FBD NAD ASA ≅即
可判断①，证明()AFB CNA ASA ≅，推出CN AF AE ==即可判断④，证明
()ABM NBM ASA ≅，得AM MN =，由直角三角形斜边的中线的性质推出
AM DM MN ==，ADM ABM ∠=∠，即可判断③，根据三角形外角性质求出
DNM ∠，证明MDN DNM ∠=∠，即可判断②． 【详解】
解：∵90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，
∴45ABC C ∠=∠=︒，AD BD CD ==，90ADN ADB ∠=∠=︒， ∴45BAD CAD ∠=︒=∠， ∵BE 平分ABC ∠， ∴1
22.52
ABE CBE ABC ∠=∠=
∠=︒， ∴9022.567.5BFD AEB ∠=∠=︒-︒=︒， ∴67.5AFE BFD AEB ∠=∠=∠=︒， ∴AF AE =，AM BE ⊥， ∴90AMF AME ∠=∠=︒，
∴9067.522.5DAN MBN ∠=︒-︒=︒=∠， 在FBD 和NAD 中，
FBD DAN BD AD
BDF ADN ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴
()FBD NAD ASA ≅，
∴DF DN =，故①正确； 在AFB △和CNA 中，
4522.5BAF C AB AC
ABF CAN ∠=∠=︒⎧⎪
=⎨⎪∠=∠=︒⎩
， ∴
()AFB CNA ASA ≅，
∴AF CN =， ∵AF AE =，
∴AE CN =，故④正确； 在ABM 和NBM 中，
90ABM NBM BM BM
AMB NMB ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠=︒⎩
， ∴
()ABM NBM ASA ≅，
∴AM MN =，
在Rt ADN △中，AM DM MN ==， ∴22.5DAN ADM ABM ∠=∠=︒=∠，
∴22.522.545DMN DAN ADM ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∴DM 平分BMN ∠，故③正确；
∵4522.567.5DNA C CAN ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∴1804567.567.5MDN DNM ∠=︒-︒-︒=︒=∠， ∴DM MN =，
∴
DMN 是等腰三角形，故②正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判断，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握这些性质定理进行证明求解．
3．B
解析：B 【分析】
根据全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定定理分别判断即可． 【详解】
解：A 、∵AE CF =， ∴AO=CO ，
由于四边形ABCD 是平行四边形，则BO=DO ， ∴四边形DEBF 是平行四边形； B 、不能证明四边形DEBF 是平行四边形； C 、∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，∠DAE=∠BCF ，又∠ADE=∠CBF ， ∴△DAE ≌△BCF （ASA ），
∴AE=CF ，同A 可证四边形DEBF 是平行四边形； D 、同C 可证：△ABE ≌△CDF （ASA ）， ∴AE=CF ，同A 可证四边形DEBF 是平行四边形； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
4．B
解析：B 【分析】
根据直角三角形斜边的中线的性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质以及线段垂直平分线的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】
A 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，不符合题意；
B 、两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等，是假命题，符合题意．
C 、等边三角形一边上的高线与这边上的中线互相重合，是真命题，不符合题意；
D 、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，不符合题意； 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．A
解析：A 【分析】
根据正方形的判定逐项作出判断即可求解． 【详解】
解：A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形，判断错误，应该是矩形，符合题意； B. 对角线相等的菱形是正方形，判断正确，不合题意； C. 对角线互相垂直的矩形是正方形，判断正确，不合题意； D. 一组邻边相等的矩形是正方形，判断正确，不合题意． 故选：A 【点睛】
本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题关键．
6．B
解析：B 【分析】
根据已知条件和图形的变化可得前几个图形的最短边的长度，进而可得结论． 【详解】
解：在△A 1A 2A 3中，∠A 1A 3A 2=90°，∠A 2=30°，A 1A 3=1，A n+3是A n A n+1（n=1、2、3…）的中点，可知：
A 4A 5//A 1A 3，A 3A 4=A 2A 4，
∴∠A 3A 5A 4=90°，∠A 4A 3A 2=∠A 2=30°， ∴△A 1A 2A 3是含30°角的直角三角形， 同理可证△A n A n+1A n+2是含30°角的直角三角形． △A 1A 2A 3中最短边的长度为A 1A 3=1=0
12， △A 3A 4A 5中最短边的长度为A 4A 5=12=1
12， △A 5A 6A 7中最短边的长度为A 5A 7=21142
， …，
所以△A n A n+1A n+2中最短边的长度为
12
1
2
n -，
则△A 2019A 2020A 2021中最短边的长度为
1202112
2
11
2
2
n --==1010
12． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．也考查了直角三角形斜边的中线，三角形的中位线，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质等知识．
7．D
解析：D 【分析】
利用三角形中位线定理,矩形对角线的性质,菱形的判定判断即可. 【详解】
如图，设矩形ABCD 各边的中点依次为E ，F ，G ，H ，
∴EF ，FG ，GH ，HE 分别是△ABC ，△BCD ，△CDA ，△DAB 的中位线， ∴EF=
12AC ，FG=12BD ，GH=12AC ，EH=1
2
BD ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AC=BD ， ∴EF=FG=GH=HE ， ∴四边形EFGH 是菱形， 故选D.
【点睛】
本题在矩形背景考查了三角形中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，熟练运用三角形中位线定理，矩形的性质，菱形的判定是解题的关键.
8．B
解析：B 【分析】
根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可． 【详解】
解：A. 菱形的对角线互相平分，但不相等，该命题错误；
B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形，该命题正确；
C. 矩形的对角线互相平分，但是不垂直，该命题错误；
D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，该命题错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查特殊四边形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键．
9．A
解析：A
【分析】
以AC为对角线，可得AD∥BC，AD=BC；以AB为对角线，可得AD∥BC，AD=BC；以AD为对角线，可得AB∥CD，AB=CD．
【详解】
解：①以AD为对角线时，可得AB∥CD，AB＝CD，
∴A点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得B点，
∴C点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得D₁(-4，-8)；
②以AC为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC，
∴B点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得B点，
∴C点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得D₂(8，-2)；
③以AB为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC，
∴C点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得A，
∴B点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得D₃(2，2)；
综上可知，D点的坐标可能为：D₁(-4，-8)、D₂(8，-2)、D₃(2，2)，
故选：A．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，利用平行四边形的判定：对边平行且相等的四边形是平行四边形，要分类讨论，以防遗漏．
10．C
解析：C
【分析】
根据矩形和菱形的性质即可得出答案．
【详解】
解：A：因为矩形的对角线相等，故此选项不符合题意；
B：因为菱形和矩形的对角线都互相平分，故此选项不符合题意；
C：因为对角线互相垂直是菱形具有的性质，故此选项符合题意；
D：因为矩形和菱形的对边都相等且平分，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形性质的区别是解题关键．
11．A
解析：A
【分析】
先由勾股定理求出AB=5，再证四边形CEMF是矩形，得EF=CM，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出CM=2.4，即可得出答案．【详解】
解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴2222
345
AC BC
++=，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB=90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF=CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP=1
2
EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积=1
2AB×CM=
1
2
AC×BC，
∴CM=
•
AC BC
AB
=
34
2.4
5
⨯
=，
∴CP=1
2EF=
1
2
CM=1.2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
四个选项，A、C选项CP为顶角的平分线， B、D选项CP为底边上的高线，
根据直角三角形斜边上的中线可得斜边上的中线等于5，利用等面积法可得底边上的高线
等于24
5
，易得三角形不是等腰三角形，所以它斜边上的高线、中线和直角的角平分线不
是同一条，可得正确的为D选项．
【详解】
解：∵∠C=90°，点P在边AB上．BC=6，AC=8，
∴2222
8610
AB AC BC
+=+=，
当CP为AB的中线时，
1
5
2
CP AB
==，
若∠ACP=45°，如图1，则CP为直角∠ACB的平分线，∵BC≠AC，
∴CP与中线、高线不重合，不等于5，故A选项错误；若∠ACP=∠B，如图2
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A+∠ACP =90°，
∴∠APC=90°，即CP为AB的高线，
∵BC≠AC，
∴CP与中线不重合，不等于5，故B选项错误；
当CP为AB的高线时，
11
22
ABC
S AC BC AB PC =⋅=⋅
△
,
即11
8610
22
PC
⨯⨯=⨯⋅，解得
24
5
PC=,
故D选项正确，C选项错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形三线合一，勾股定理等．能根据等面积法算出斜边上的高线的长度是解题关键．
二、填空题
13．3【分析】根据菱形的轴对称性可得AC关于BD对称当APE三点共线时的
值最小为AE 再根据三角形的面积即可得出答案【详解】解：∵四边形菱形∴AC 关于BD 对称∵点EC 在BD 的同侧∴当APE 三点共线时的值最 解析：3
【分析】
根据菱形的轴对称性可得A 、C 关于BD 对称，当A 、P 、E 三点共线时，PE PC +的值最小为AE ，再根据三角形的面积即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD 菱形，
∴A 、C 关于BD 对称，
∵点E ，C 在BD 的同侧，
∴当A 、P 、E 三点共线时，PE PC +的值最小，且最小值为AE ；
∵以AD 为斜边的Rt AED △的面积为3， 2DE =， ∴112322
⨯=⨯=AE DE AE ， ∴AE=3，
∴PE PC +的最小值是3
故答案为：3．
【点睛】 本题考查了菱形的性质、最短问题、面积法等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，是中考常考题型．
14．【分析】如图连接OAOBOC 设平行四边形的面积为4S 求出S1S2（用s 表示）即可解决问题【详解】解：如图连接OAOBOC 设平行四边形的面积为4S ∵点O 是平行四边形ABCD 的对称中心∴S △AOB=S △
解析：32
【分析】
如图，连接OA ，OB ，OC ．设平行四边形的面积为4S ．求出S 1，S 2（用s 表示）即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接OA ，OB ，OC ．设平行四边形的面积为4S ．
∵点O 是平行四边形ABCD 的对称中心，
∴S △AOB =S △BOC =
14S 平行四边形ABCD =S ， ∵EF=
12AB ，GH=13BC ， ∴S 1=12S ，S 2=13
S ， ∴1213212
3
S S S S ==， ∴1232
S S =； 故答案为：
32
． 【点睛】
本题考查中心对称，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 15．②③④【分析】如图延长EF 交CD 的延长线于H 作EN ∥BC 交CD 于NFK ∥AB 交BC 于K 利用平行四边形的性质全等三角形的判定和性质一一判断即可解决问题【详解】解：如图延长EF 交CD 的延长线于H 作EN ∥
解析：②③④
【分析】
如图延长EF 交CD 的延长线于H ．作EN ∥BC 交CD 于N ，FK ∥AB 交BC 于K ．利用平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质一一判断即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长EF 交CD 的延长线于H ．作EN ∥BC 交CD 于N ，FK ∥AB 交BC 于K ． ∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CH ，
∴∠A=∠FDH ，
在△AFE 和△DFH 中，
A FDH AFE HFD AF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AFE ≌△DFH ，
∴EF=FH ，
∵CE ⊥AB ，AB ∥CH ，
∴CE ⊥CD ，
∴∠ECH=90°，
∴CF=EF=FH ，故②正确，
∵DF=CD=AF，
∴∠DFC=∠DCF=∠FCB，
∵∠FCB＞∠ECF，
∴∠DCF＞∠ECF，故①错误，
∵FK∥AB，FD∥CK，
∴四边形DFKC是平行四边形，
∵AD=2CD，F是AD中点，
∴DF=CD，
∴四边形DFKC是菱形，
∴∠DFC=∠KFC，
∵AE∥FK，
∴∠AEF=∠EFK，
∵FE=FC，FK⊥EC，
∴∠EFK=∠KFC，
∴∠DFE=3∠AEF，故③正确，
∵四边形EBCN是平行四边形，
∴S△BEC=S△ENC，
∵S△EHC=2S△EFC，S△EHC＞S△ENC，
∴S△BEC＜2S△CEF，故④正确，
故正确的有②③④．
故答案为②③④．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
16．5【分析】根据三角形中位线定理分别求出的长度根据勾股定理计算即可得到答案【详解】FG分别是的中点∴∵分别是BEBC的中点∴∵∠FGH=90°∴由勾股定理得故答案为：5【点睛】本题考查的是勾股定理三角
解析：5
【分析】
根据三角形中位线定理分别求出GF、GH的长度，根据勾股定理计算，即可得到答案．【详解】
F，G分别是DE，BE的中点，
∴142
GF BD ==， ∵G ，H 分别是BE ，BC 的中点， ∴132
GH CE =
=， ∵∠FGH =90°，
∴由勾股定理得，
5FH ===，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查的是勾股定理、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
17．15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB 得出AF=AB=8同理可得DE=DC=8再由EF 的长即可求出BC 的长【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BCDC=AB=8A
解析：15
【分析】
由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB ，得出AF=AB=8，同理可得DE=DC=8，再由EF 的长，即可求出BC 的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，DC=AB=8，AD=BC ，
∴∠AFB=∠FBC ，
∵BF 平分∠ABC ，
∴∠ABF=∠FBC ，
则∠ABF=∠AFB ，
∴AF=AB=8，
同理可证：DE=DC=8，
∵EF=AF+DE-AD=1，
即8+8-AD=1，
解得：AD=15；
故答案为：15．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=AB 是解决问题的关键．
18．【分析】利用矩形和折叠的性质证明
∠ADE=∠ADE=∠ADC=30°∠C=∠ABD=90°推出△DBA ≌△DCA 那么DC=DB 设AB=DC=x 在Rt △ADE 中通过勾股定理可求出AB 的长度【详解】解：
【分析】
利用矩形和折叠的性质，证明∠ADE=∠A'DE=∠A'DC=30°，∠C=∠A'B'D=90°，推出
△DB'A'≌△DCA'，那么DC=DB'，设AB=DC=x，在Rt△ADE中，通过勾股定理可求出AB的长度．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC=∠C=∠B=90°，AB=DC，
由翻折知，△AED≌△A'ED，△A'BE≌△A'B'E，∠A'B'E=∠B=∠A'B'D=90°，
∴∠AED=∠A'ED，∠A'EB=∠A'EB'，BE=B'E，
∴∠AED=∠A'ED=∠A'EB=1
×180°=60°，
3
∴∠ADE=90°-∠AED=30°，∠A'DE=90°-∠A'EB'=30°，
∴∠ADE=∠A'DE=∠A'DC=30°，
又∵∠C=∠A'B'D=90°，DA'=DA'，
∴△DB'A'≌△DCA'（AAS），
∴DC=DB'，
在Rt△AED中，
∠ADE=30°，AD=2，
∴
设AB=DC=x，则
∵AE2+AD2=DE2，
∴222
（
2x x
+=+-
解得，x1（负值舍去），x2，
【点睛】
本题考查了矩形的性质，轴对称的性质等，解题关键是通过轴对称的性质证明
∠AED=∠A'ED=∠A'EB=60°．
19．【分析】根据题意可知最小时落在线段PD上利用勾股定理求出PD即可【详解】如图连接PD根据题意可知当落在线段PD上时最小且最小值为PD长在中综上可知最小值为故答案为：【点睛】本题考查翻折的性质结合题意
【分析】
根据题意可知PB DB ''+最小时，B '落在线段PD 上，利用勾股定理求出PD 即可．
【详解】
如图，连接PD ，根据题意可知当B '落在线段PD 上时，PB DB ''+最小，且最小值为PD 长．
在Rt APD 中，2211617PD AP AD =+=+=．
综上可知PB DB ''+最小值为17．
17
【点睛】
本题考查翻折的性质，结合题意根据两点之间线段最短得出当B '落在线段PD 上时，PB DB ''+最小是解答本题的关键．
20．【分析】根据正方形ABCD 得结合题意推导得通过证明得从而得到正方形面积结合四边形面积计算得到；过点M 作交BE 于点N 连接ME 根据正方形ABCD 通过计算即可完成求解【详解】∵正方形ABCD ∴∴∵过点D 且 解析：33
【分析】
根据正方形ABCD ，得90ADC BAD ∠=∠=，BAC ACD ∠=∠，
6AB BC CD AD ====CDF ADG ∠=∠、FCD DAG ∠=∠，通过证明CDF ADG △≌△，得CDF ADG S S =△△，从而得到12
ACD S =正方形ABCD 面积，结合四边形AGDF 面积2BCE S =△，计算得到CE ；过点M 作MN BE ⊥交BE 于点N ，连接ME ，根据ABM NBM BCE NME EDM S
S S S S ++++=正方形ABCD ，通过计算即可完成求解．
【详解】
∵正方形ABCD
∴90ADC BAD ∠=∠=，//AB CD ，6AB BC CD AD ====
∴90CDF ADF ∠+∠=，90BAC CAD ∠+∠=，BAC ACD ∠=∠
∵过点D 且垂直于DF 的直线，与过点A 且垂直于AC 的直线交于点G
∴90FDG ADF ADG ∠=∠+∠=，90CAG CAD DAG ∠=∠+∠=
∴CDF ADG ∠=∠，BAC DAG ∠=∠
∴ACD DAG ∠=∠，即FCD DAG ∠=∠ ∴FCD DAG CDF ADG CD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴CDF ADG △≌△
∴CDF ADG S S =△△
∵四边形AGDF 面积=12ADF ADG ADF CDF ACD S S S S
S +=+==△△△△△正方形ABCD 面积 ∴四边形AGDF 面积=1
6632⨯⨯= ∵1
1
622BCE S BC CE CE =⨯=⨯△，且满足四边形AGDF 面积2BCE
S =△ ∴1
2632CE ⨯⨯= ∴3CE =
∴22633BE BC CE =+=+=
如图，过点M 作MN BE ⊥交BE 于点N ，连接ME
∵∠ABE 的平分线交AD 于点M
∴ABM NBM ∠=∠
∵BM BM =，90BAM BNM ∠=∠= ∴ABM NBM △≌△
∴6BN AB ==，MN AM =
设AM x =
1
6
2ABM NBM S S AB x ==⨯=△△
1
13
632222BCE S BC CE =⨯==△
(
)(1113222NME S NE MN BE BN MN x =
⨯=-⨯=-△ ()(
)
)111222EDM S ED DM CD CE AD AM x =
⨯=-⨯-=△ ∵ABM NBM BCE NME EDM S S S S S ++++=正方形ABCD
∴(
)1123222x x x ⨯
+=
∴3x ==
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了正方形、全等三角形、一元一次方程、二次根式、三角形角平分线、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、三角形角平分线的性质，从而完成求解．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）AC=2AB ，理由见解析；（3）当AN=EN 且∠ENA=90°时，四边形MECN 是正方形．
【分析】
（1）根据SAS 证明三角形全等即可．
（2）先根据等腰三角形的性质可得∠NMA=90°，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
（3）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出MN=EM ，再根据有一个角是直角的菱形是正方形证明即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD ，AB ∥CD ，OB=OD ，OA=OC ，
∴∠ABM=∠CDN ，
∵点M ，N 分别为OB ，OD 的中点， ∴11,22
=
=BM OB DN OD ∴BM=DN ，
在△ABM 和△CDN 中， AB CD ABM CDN BM DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABM ≌△CDN ．
（2）当AC=2AB 时，四边形MECN 是矩形，
理由如下：∵△ABM≌△CDN，
∴AM=CN，∠AMB=∠CND，
∴∠AMN=∠CNM，
∴AM∥CN，
∵EM AM
=，
=，
∴EM CN
∴四边形EMNC是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OA，
∵AC=2AB，
∴AB=OA，
∵M是OB的中点，
∴AM⊥OB，
∴∠NMA=90°，
∴∠NME=90°，
∴平行四边形MECN是矩形．
（3）当AN=EN且∠ENA=90°时，四边形MECN是正方形；理由如下：连接AN、EN
∵△ABM≌△CDN，
∴AM=CN，∠AMB=∠CND，
∴∠AMN=∠CNM，
∴AM∥CN，
=，
∵EM AM
=，
∴EM CN
∴四边形EMNC是平行四边形，
=，∠ENA=90°
∵EM AM
∴MN=EM，
∴平行四边形EMNC是菱形，
∵AN=EN，AM=EM
∴∠NME=90°，
∴四边形EMNC是正方形．
【点睛】
本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．证明见解析．
【分析】
连接AC ，证ABE ACF ≌即可
【详解】
证明：连接AC ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB BC CD AD ===，AC 平分BCD ∠．
∵60B ∠=︒，
∴ABC 是等边三角形，
∴AB AC =，60∠=∠=∠︒=B BCA ACF ． ∴在ABE △与ACF 中，AB AC B ACF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
．
∴
ABE ACF ≌．
∴AE AF =．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解此题的关键． 23．（1）矩形；（2）24，
125
【分析】
（1）先证明四边形OEFG 是平行四边形，再根据垂直即可得到结果；
（2）根据菱形的面积求解和等面积法计算即可；
【详解】
解:()1四边形OEFG 是矩形．
在菱形ABCD 中，,DO BO = E 是AD 的中点，
,AE DE ∴=
//,OE AB ∴
//,OE FG ∴
又//,OG EF
∴四边形OEFG 是平行四边形．
,EF AB ⊥
90,EFG ∴∠=︒
四边形OEFG 是矩形．
()2菱形的面积11862422
AC BD =⋅=⨯⨯=． 四边形ABCD 是菱形，
11,4,322
BD AC AO AC BO BD ∴⊥====， 5AB ∴=．
由()1知，四边形OEFG 是矩形，
,EF OG OG AB ∴=⊥．
1122
AO BO AB OG ∴⋅=⋅， 125AO BO OG AB ⋅∴=
=， 125
EF ∴=． 【点睛】
本题主要考查了矩形和菱形的判定和性质，准确计算是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）由已知角相等，利用对顶角相等，等量代换得到同位角相等，进而得出DB与EC平行，再由内错角相等两直线平行得到DE与BC平行，即可得证；
（2）由角平分线得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换得到一对角相等，再利用等角对等边得到CN=BC，再由平行四边形对边相等即可确定出所求．
【详解】
解：（1）证明：∵∠A=∠F，
∴DE∥BC，
∵∠1=∠2，且∠1=∠DMF，
∴∠DMF=∠2，
∴DB∥EC，
则四边形BCED为平行四边形；
（2）解：∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN=∠CBN，
∵EC∥DB，
∴∠CNB=∠DBN，
∴∠CNB=∠CBN，
∴CN=BC=DE=2．
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
25．（1）见解析；（2）5
【分析】
（1）只要证明CM∥AN，AM∥CN即可．
（2）先证明△DEM≌△BFN得BN＝DM，再在Rt△DEM中，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵AM⊥BD，CN⊥BD，
∴AM∥CN，
∴CM∥AN，AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形．
（2）∵四边形AMCN是平行四边形，
∴CM＝AN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴DM＝BN，∠MDE＝∠NBF，
在△MDE和△NBF中，
MDE NBF DEM NFB DM BN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△MDE ≌△NBF （AAS ），
∴ME ＝NF ＝3，
在Rt △DME 中，∵∠DEM ＝90°，DE ＝4，ME ＝3，
∴DM ＝
222234DE ME +=+＝5，
∴BN ＝DM ＝5．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是记住平行四边形的判定方法和性质，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
26．（1）55︒；（2）4．
【分析】
（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；
（2）过E 作BC 边的垂线即可得：E 到BC 边的距离为EF 的长，然后过A 作BC 边的垂线AG ，再根据三角形中位线定理求解即可．
【详解】
解：（1）
BED ∠是ABE ∆的外角， 154055BED ABE BAD
；
（2）过E 作BC 边的垂线，F 为垂足，则EF 为所求的E 到BC 边的距离， 过A 作BC 边的垂线AG ，
AD ∴为ABC ∆的中线，5BD =，
22510BC BD ∴==⨯=，
ABC ∆的面积为40，
∴1
402BC AG ，即110402AG ，解得8AG =，
∵AD 为ABC ∆的中线，
∴1140202
2ABD ABC S S ， 又∵BE 为ABD ∆的中线， ∴1120102
2EBD ABD S S ， 则有：1151022BD EF
EF 4EF ∴=．
即E 到BC 边的距离为4．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质、三角形中位线的性质及三角形的面积公式，添加适当的辅助线是解题的关键．。