二次函数(最全地中考二次函数知识点.总结)

.
二次函数知识点总结及相关典型题目
第一部分二次函数基础知识
相关概念及定义
二次函数的概念：一般地，形如 2
y ax bx c（a，b ，c是常数， a 0 ）的函数，叫做二次
函
数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而b，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
二次函数 2
y ax bx c的结构特
征：
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x 的最高次数是2．
⑵ a ，b，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．
二次函数各种形式之间的变换
2
二次函数y ax bx c
2
用配方法可化成：y a x h k 的形式，其中
h
b
2a
2
4ac b
，.
k
4a
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① 2 2
y ax ；②y ax k ；③
2
y a x h ；
2
④y a x h k
；⑤y ax2 bx c .
二次函数解析式的表示方法
一般式： 2
y ax bx c （a ，b ，c 为常数， a 0 ）；
顶点式： 2
y a(x h) k （a ，h ，k 为常数， a 0 ）；
两根式：y a(x x1 )( x x2 ) （a 0，x1 ，x2 是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交
点式，只有抛物线与x 轴有交点，即函数解析式的这三种形式可以互化.
2
b 4a
c 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次
二次函数 2
y ax 的性质
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
y 随x 的增大而增大；x 0时，y a 向上0，0 y 轴x 0 时，
随x的增大而减小；x 0 时，y 有最小值0 ．
a 向下0，0 y 轴
x 时，y 随x 的增大增大而减小；x 0 0
时，y 随x 的增大而增大；x 0 时，y 有最
大值0 ．
二次函数 2
y ax c 的性质
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质性质
a 向上0，c y 轴
0 x 0 时，y 随x 的增大而增大；x 0时，y 随x 的增大而减小；x 0时，y 有最小值 c ．
a 向下0，c y 轴
0 x 0 时，y 随x 的增大而减小；x 0时，y 随x 的增大而增大；x 0时，y 有最大值 c ．
二次函数 2
y a x h 的性质：
a 的符
号
开口方向顶点坐标对称轴性质
a 向上h ，0 X=h
0 x h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值0 ．
.
.
a 0 向下h ，0 X=h x h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值0 ．
二次函数 2
y a x h k 的性质
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
a 0 向上h ，k X=h x h 时，y 随x的增大而增大；x h 时，y 随
x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值k ．
a 向下h ，k X=h
0 x h 时，y 随x的增大而减小；x h 时，y 随
x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值k ．
抛物线 2
y ax bx c 的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0时，开口向上；当 a 0时，开口向下；
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作x b
2a
. 特别地，y 轴记作直线x 0.
2
b 4a
c b
顶点坐标坐标：（，）
2a 4a
顶点决定抛物线的位置. 几个不同的二次函数，如果二次项系数 a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
2
抛物线y ax bx c 中，
a,b,c与函数图像的关系
二次项系数 a
二次函数 2
y ax bx c中， a 作为二次项系数，显然 a
0 ．
⑴当a 0 时，抛物线开口向上， a 越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；
⑵当a 0 时，抛物线开口向下， a 越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．
总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．
一次项系数 b
在二次项系数 a 确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．
⑴在a 0 的前提下，
b
当 b 0时，
2a
，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；
b
当 b 0时，
2a
，即抛物线的对称轴就是y 轴；
b
当 b 0 时，
2a
，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．
⑵在a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即
b
当 b 0时，
2a
，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；
b
当 b 0时，
2a
，即抛物线的对称轴就是y 轴；
b
当 b 0 时，
2a
，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．
总结起来，在 a 确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．
总结：
常数项 c
⑴当c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；
⑵当c 0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；.
.
⑶当c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．
总结起来， c 决定了抛物线与y轴交点的位置．
总之，只要 a ，b，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
求抛物线的顶点、对称轴的方法
公式法：y 2
ax bx c a x
b
2a
2
4ac
4a
2
b
2
b 4a
c b
，∴顶点是（，）
，对称轴是
2a 4a
直线x
b
2a
.
2
配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y a x h k
( h, k ) ，对称轴是直线x h .
的形式，得到顶点为
运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平
分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
用待定系数法求二次函数的解析式
2 . 已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.
一般式：y ax bx c
2
顶点式：y a x h k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x 、x2 ，通常选用交点式：y a x x1 x x2 .
1
直线与抛物线的交点
2 得交点为(0, c ). y轴与抛物线y ax
bx c
2 有且只有一个交点( h, ah 2 bh c ). 与y 轴平行的直线x h与抛物线y ax bx
c
2 的图像与x 轴的两个交点的横坐标抛物线与x 轴的交点: 二次函数y ax bx c x、x2 ，是1
对应一元二次方程ax2 bx c 0 的两个实数根. 抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点0 抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶
点在x 轴上）0 抛物线与x 轴相切；
③没有交点0 抛物线与x 轴相离.
平行于x 轴的直线与抛物线的交点
可能有0 个交点、1 个交点、2 个交点. 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax2 bx c k 的两个实数根.
2 bx c a
一次函数y kx n k 0 的图像l 与二次函数y 0 的图像G 的交点，由
ax
方程组y kx n
2
y ax bx c
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l 与G 有两个交点;
②方程组只有一组解时l 与G 只有一个交点；③方程组无解时l 与G 没有交点.
2 与x 轴两交点为0 0
A x ，
1，，B x ，抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线y ax bx c
2
由于 2 bx c
x 、x2 是方程ax 0的两个根，
故
1
b
x x , x x
a c a
AB x
1 x
2
x
1
x
2
2 x
1
x
2
2 4x x
1 2
2
b 4
c 2
b 4ac
a a a a
二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于x轴对称
2
y a x b x 关c于x 轴对称后，得到的解析式是
2
y ax bx c；
2
y a x h k 关于x轴对称后，得到的解析式是
2
y a x h k ；
关于y 轴对称.
.
2
y a x b x 关c于y 轴对称后，得到的解析式是
2
y ax bx c；
2
y a x h k 关于y 轴对称后，得到的解析式是
2
y a x h k ；
关于原点对称
2
y a x b x 关c于原点对称后，得到的解析式是
2
y ax bx c；
2
y a x h 关k 于原点对称后，得到的解析式是
2
y a x h k ；
关于顶点对称
2
y a x b x 关c于顶点对称后，得到的解析式是
2
y ax bx c
2
b
2a
；
2
y a x h k 关于顶点对称后，得到的解析式是
2
y a x h k ．
关于点m，n 对称
2
y a x h k 关于点m，n 对称后，得到的解析式是
2
y a x h 2m 2n k
总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物
线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
二次函数图象的平移
平移步骤：
⑴将抛物线解析式转化成顶点式 2
y a x h k ，确定其顶点坐标h，k ；
⑵保持抛物线 2
y ax 的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2 y=ax2+k
向右( h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位
向右(h>0)
( h<0)
【或
左】
平移|k|
个单位
向上( k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
向右( h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
y=a( x-h)2+k
平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。

三点式。

1，已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A（ 3 ，0），B（2 3 ，0），C（0，-3 ）三点，求抛物线的解析式。

2，已知抛物线y=a(x-1) ２+4 ，经过点A（2，3），求抛物线的解析式。

顶点式。

1，已知抛物线y=x
2-2ax+a 2+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。

2，已知抛物线y=4(x+a)
2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。

交点式。

1，已知抛物线与x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0), 求抛物线y=(x-a)(x-b) 的解析式。

2，已知抛物线线与x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y= 定点式。

1
2
a(x-2a)(x-b) 的解析式。

1 2 5 a
1，在直角坐标系中，不论 a 取何值，抛物线 2 2
y x x a 经过x 轴上一定点Q，直线
2 2
y (a 2) x 2 经过点Q,求抛物线的解析式。

2，抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析
式。

.
.
3，抛物线y=ax 2+ax-2 过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。

平移式。

2 2 +k, 求1，把抛物线y= -2x 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到抛物线y=a( x-h) 此抛物线解析式。

2，抛物线y x2 x 3向上平移, 使抛物线经过点C(0,2), 求抛物线的解析式.
距离式。

1，抛物线y=ax 2+4ax+1(a ﹥0) 与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。

2，已知抛物线y=m x
2+3mx-4m(m﹥0) 与x 轴交于A、B 两点，与轴交于 C 点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。

对称轴式。

1、抛物线y=x
2-2x+(m
抛物线的解析式。

2-4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的 2 倍，求
2、已知抛物线y=-x
3
2+ax+4, 交x 轴于A,B（点A 在点B左边）两点，交y 轴于点C,且OB-OA=
4
OC，求
此
抛物线的解析式。

对称式。

1，平行四边形ABCD对角线AC在x 轴上，且A（-10 ，0），AC=16，D（2，6）。

AD交y 轴于E，将三角形ABC沿x 轴折叠，点 B 到B1 的位置，求经过A,B,E 三点的抛物线的解析式。

2，求与抛物线y=x
2+4x+3 关于y 轴（或x 轴）对称的抛物线的解析式。

切点式。

1，已知直线y=ax-a
2(a ≠0) 与抛物线y=mx2
有唯一公共点，求抛物线的解析式。

2，直线y=x+a 与抛物线y=ax
2 +k 的唯一公共点A（2，1）, 求抛物线的解析式。

判别式式。

1、已知关于X的一元二次方程（m+1）x
2+2(m+1)x+2=0 有两个相等的实数根，求抛物线y=-x
析式。

2+(m+1)x+3 解
2、已知抛物线y=(a+2)x
3、已知抛物线y=(m+1)x 2-(a+1)x+2a 的顶点在x 轴上, 求抛物线的解析式。

2+(m+2)x+1 与x 轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。

知识点一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
y 2 bx c a b c是常数， a ，特别注意 a 不为零ax
一般地，如果特( , , 0)
那么y 叫做x 的二次函数。

2 bx c a b c a
y ax ( , , 是常数，0) 叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于抛物线的主要特征：x
b
2a
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴2
（2）求抛物线y ax bx c 与坐标轴的交点：
当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C，再找到点 C 的对称点D。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点 C 及对称点D。

由C、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。

如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A 、B，然后顺次.
.
连接五点，画出二次函数的图像。

知识点二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般两根三顶点
（1）一般一般式： 2 bx c(a, b, c a 0)
y ax 是常数，
（2）两根当抛物线y ax2 bx c 与x 轴有交点时，即对应二次好方程ax2 bx c 0有实根 2 bx c a x x x x x 和x2 存在时，根据二次三项式的分解因式ax ( 1 )( 2 ) ，二次函数1
y 2
ax b x c可转化为两根式( )( )
y a x x1 x x 。

如果没有交点，则不能这样表示。

2
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小,a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
（3）三顶点顶点式：y a(x h)2 k(a, h, k是常数，a 0)
知识点三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x
b
2a
时，
2
4ac b
y
最值。

4a
如果自变量的取值范围是x1 x x ，那么，首先要看
2 b
2a
是否在自变量取值范围x1 x x2 内，
若在此范围内，则当x=
b
2a 时，
2
4ac b
y最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1 x x2 范4a
围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当 2
x 时，y最大ax bx2 c ，当x x1
x
2 2
2 2
时，y最小ax bx1 c ；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x x1 时，y ax bx1 c 最大， 1
1
当 2
x 时，y ax bx2 c
x 最小。

2 2
☆、几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式开口方向对称轴顶点坐标
y 当a 0时ax
2 x （y 轴）（0,0 ）0
y
开口向上
2 x 0（y 轴）(0, k ) ax k
y x h ( h,0)
a x h
2
当a0时
y a x h 2 x h ( h, k )
开口向下
k
.
2
y ax bx c x
b 2a
(
b 2a ，
知识点四、二次函数的性质
1、二次函数的性质
二次函数
函数
2
bx c a b c a y ax
( , , 是常数，
0)
a>0
a<0
y
y
图像
0 x 0 x
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
（2）对称轴是 x=
b 2a ，顶点坐标是（
b 2a
，
（2）对称轴是 x=
b 2a
，顶点坐标是（
b 2a
，
4ac 4a
2
b ）； 4a
c 4a
2
b ）；
（3）在对称轴的左侧，即当
x< b 2a
时，y 随 x
（3）在对称轴的左侧，即当
x<
b 2a
时， y 随
性质
的 增大而 减小； 在对称轴 的右侧 ，即当 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当
x>
b 2a
时，y 随 x 的增大而增大， 简记左减
x> b 2a
时，y 随 x 的增大而减小，简记左
右增；
增右减；
（4）抛物线有最低点，当
x= b 2a
时，y 有最小
（4）抛物线有最高点，当
x=
b 2a
时，y 有最
值，
y
最小值
4ac 4a
b 2
大值，
y
最大值
4ac 4a
b 2
2
bx c a b c a
2、二次函数 y ax
( , , 是常数， 0) 中， a 、b 、c 的含义：
a 表示开口方向： a >0 时，抛物线开口向上
a <0 时，抛物线开口向下
.
b与对称轴有关：对称轴为x= b 2a
c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c）
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。

2
因此一元二次方程中的 b 4ac ，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。

当>0 时，图像与x 轴有两个交点；
当=0 时，图像与x 轴有一个交点；
当<0 时，图像与x 轴没有交点。

知识点五中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
y
如图：点 A 坐标为（x1，y1）点B 坐标为（x2，y2）
则AB 间的距离，即线段AB 的长度为 2 2
x1 x y y A
2 1 2
0 x
B
知识点五二次函数
2
y ax bx c 图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数 2
y ax bx c 化为顶点式
2
y a(x h) k ，确定其开口方
向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶
点、与y 轴的交点0，c 、以及0，c 关于对称轴对称的点2h ，c 、与x 轴的交点x1 ，0 ，x2 ，0 （若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
2 bx c a ☆、已知二次函数
( 0)
y ax 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）
A、a0，b 0，c 0
B、a 0，b 0，c 0
C、a0，b 0，c 0
D、a 0，b 0，c 0
a
2 a ☆、函数
( 0)
y ax a与y 在同一坐标系中的图象可能是（）
x
y y y y
x O x O x O x O
A B C D
特别记忆-- 同左上加异右下减( 必须理解记忆)
说明①函数中ab 值同号，图像顶点在y 轴左侧同左，a b 值异号，图像顶点必在Y 轴右侧异右
②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减
.
.
3、直线斜率：
k tan y
2
x
2
y
1
x
1
b为直线在y轴上的截距4、直线方
程：
4、①两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:
y y
2 1
y 此公式有多种变形牢记y1 kx b ( t a n )x b x(x x1 )
x x
2 1
②点斜y y1 kx(x x1)
③斜截直线的斜截式方程，简称斜截式: y＝kx＋b( k≠0)
x y
④截距由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式： 1
a b
牢记口诀--- 两点斜截距-- 两点点斜斜截截距
5、设两条直线分别为，l1 ：y k1 x b1 l2 ：y k 2 x b2 若l1 // l 2 ，则有l1 // l2 k1 k 2且b1 b2 。

若l1 l 2 k1 k 2 1
6、点P（x0，y0）到直线y=kx+b( 即：kx-y+b=0) 的距离: d kx
k
2
y
(
1)
b
2
kx
k
y
2 1
b
7、抛物线y ax bx c
2 中，a b c, 的作用
（1）a 决定开口方向及开口大小，这与y ax2 中的a 完全一样.
2 的对称轴是直线（2）b 和a共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线y ax bx c
x
b
2a
b
，故：① b 0时，对称轴为y 轴；②
a
（即a 、b同号）时，对称轴在y 轴左侧；b
③0
a
（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. 口诀--- 同左异右
2
（3）c 的大小决定抛物线y ax bx c 与
y轴交点的位置.
2 与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：当x0时，y c，∴抛物线y ax bx c
①c 0，抛物线经过原点;
②c 0, 与y轴交于正半轴；
③c 0, 与y轴交于负半轴.
b 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0
.
a
二次函数 2 2 、
y ax 、y ax k
2 2
y a x h 、y a x h k 的性质
.
函数解析式y ax2 y ax 2 k 2 2
y a x h y a x h k 开口方向当a 0时, 开口向上; 当a 0时, 开口向下.
顶点（0,0 ）（0,k ）（h,0 ）（h,k ）
对称轴x 0（y 轴）x 0（y 轴）x h x h
当x=0 时, 当x=0 时, 当x=h 时, 当x=h 时, 最值
最小值为0. 最小值为k 最小值为k. 最小值为k
a 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a 0
在对称在对称在对称在对称在对称在对称在对称在对称
增轴的左
侧,y 随轴的左
侧,y 随
轴的左
侧,y 随
轴的左
侧,y 随
轴的左
侧,y 随
轴的左
侧,y 随
轴的左
侧,y 随
轴的左
侧,y 随
着x 的着x 的着x 的着x 的着x 的着x 的着x 的着x 的减增大而增大而增大而增大而增大而增大而增大而增大而减小. 减小. 减小. 减小. 减小. 减小. 减小. 减小. 性在对称在对称在对称在对称在对称在对称在对称在对称对
轴的右轴的右轴的右轴的右轴的右轴的右轴的右轴的右称
侧, y 随侧,y 随侧,y 随侧,y 随侧, y 随侧, y 随侧, y 随侧, y 随轴
着x 的着x 的着x 的着x 的着x 的着x 的着x 的着x 的左
增大而增大而增大而增大而增大而增大而增大而增大而右增大
增大. 增大. 增大. 增大. 增大. 增大. 增大.
侧
注：图形呈上升状态→拍马屁→y 随着x 的增大而增大
图形呈下降状态→拍马屁→y 随着x 的增大而减小
第26 章二次函数同步学习检测（一）
一、选择题（每小题 2 分，共102 分）
1、抛物线y= 1
2
2
x 向左平移8 个单位，再向下平移9 个单位后，所得抛物线的表达式是（）
A. y= 1
2
(x+8) 2 -9 B. y=
1
2
(x-8) 2 +9 C. y=
1
2
(x-8) 2 -9 D. y=
1
2
(x+8) 2 +9
2、（2009 年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数 2
y 2x 的图象向上平移 2 个单位，所得图象的解析
式为（）
A．y 2x2 2 B ．y 2x2 2 C ．y 2( x 2)2 D ．y 2(x 2) 2
2
3、( 2009 年四川省内江市) 抛物线( 2) 3
y x 的顶点坐标是（）
A．（2，3） B ．（－2，3） C ．（2，－3） D ．（－2，－3）
4、（2009 年长春）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度大小不变，则以点 A 为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t 之间的函数图.
象大致为（）
5、（2009 年桂林市、百色市）二次函数 2
y (x 1) 2的最小值是（）．
A ．2
B ．1
C ．－3
D ． 2
3
6、(2009 年上海市) 抛物线 2
y 2( x m) n （m，n是常数）的顶点坐标是
（）
A．(m，n) B．( m，n) C．(m，n) D．( m，n)
2 的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数7、(2009 年陕西省) 根据下表中的二次函数y ax bx c
的图像与x 轴【】
A．只有一个交点B．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧
C．有两个交点，且它们均在y 轴同侧 D ．无交点
8、（2009 威海）二次函数 2
y 3x 6x 5 的图象的顶点坐标是（）
A．( 1，8) B．(1，8) C．( 1，2) D．(1，4)
2
9、（2009 湖北省荆门市）函数y=ax＋1 与y=ax ＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（）
y y y
y
o 1
x
1
o x o
1
x
1
o x
A．B．C．D．
10、（2009 年贵州黔东南州）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（）
A、y=x
1 2 1 1 2 1
2-x-2 B 、y= 1 2 x
x C 、y= x x 1 D 、y= x 2
2 2 2 2
11、（2009 年齐齐哈尔市）已知二次函数 2 ( 0)
y ax bx c a 的图象如图所示，则下列结论：①ac 0 ；
②方程 2 0
ax bx c 的两根之和大于0；③y随x 的增大而增大；④ a b c 0，其中正确的个
数
（）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
12、（2009 年深圳市）二次函数y ax2 bx c 的图象如图 2 所示，若点A（1， y
1）、B（2，y2）是它图象
上的两点，则y1 与y2 的大小关系是（）
A．y1 y2 B．y1 y2 C．y1 y2 D．不能确定
13、已知抛物线y=ax
2+bx+c 与x 轴有两个不同的交点，则关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0 根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C．无实数根D．由b
2-4ac 的值确定
2
14、（2009 丽水市）已知二次函数y＝ax ＋bx＋c(a ≠0) 的图象如图所示，给出以下结论：
.
①a＞0. ②该函数的图象关于直线x 1 对称. ③当x 1或x 3 时，函数y 的值都等于0.
其中正确结论的个数是（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
15、（2009 年甘肃庆阳）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）
A． 2
y 2x B．
2
y 2x C．
1
2
y x D．
2
1
2
y x
2
16、（2009 年广西南宁）已知二次函数 2
y ax bx c（a0）的图象如图所示，有下列四个结论：
2
①b 0②c 0③b 4ac 0④a b c 0，其中正确的个数有（）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
17、(2009 年鄂州) 已知=次函数y＝ax 2 +bx+c 的图象如图．则下列 5 个代数式：ac，a+b+c，4a－2b+c，2a+b，2a－b 中，其值大于0 的个数为（）
A ．2
B 3 C、4 D、5
18、（2009 年甘肃庆阳）将抛物线 2
y 2x 向下平移 1 个单位，得到的抛物线是（）
A． 2
y 2( x 1) B．
2
y 2(x 1) C．
2
y 2x 1 D．
2
y 2x 1
19、（2009 年孝感）将函数 2
y x x 的图象向右平移a(a 0) 个单位，得到函数
2 3 2
y x x 的图象，则a的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2
20、（2010 年湖里区二次适应性考试）二次函数 1
y x的图象与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，下列说法错．误．的是（）
A．点C的坐标是（0，1） B ．线段AB的长为 2
C．△ABC是等腰直角三角形 D ．当x>0 时，y 随x 增大而增大
21、（2009 年烟台市）二次函数 2
y ax bx c的图象如图所示，则一次函数 2 4
y bx b ac 与反比例
函数y a b c
x
在同一坐标系内的图象大致为（）
.
22、（2009 年嘉兴市）已知a 0 ，在同一直角坐标系中，函数y ax与 2
y ax 的图象有可
能是（）
23、（2009 年新疆）如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不．正．确．的是（）A．h m
B．k n C．k n D．h0，k 0
2 2
24、（2010 年广州市中考六模）若二次函数y＝2 x －2 mx＋2 m－2 的图象的顶点在y 轴上，则m 的值是（） A.0 B. ± 1 C . ± 2 D . ± 2
25、（2009 年济宁市）小强从如图所示的二次函数 2
y ax bx c的图象中，观察得出了下面五条信
息：
（1）a 0；（2） c 1；（3）b 0；（4） a b c 0 ；（5）a b c 0. 你认为其中正确信息
的个数有（）
A．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个
26、（2009 年衢州）二次函数 2
y (x1) 2 的图象上最低点的坐标是( )
A．(-1 ，-2) B．(1 ，-2) C．(-1 ，2) D．(1 ，2)
27、（2009 年新疆乌鲁木齐市）要得到二次函数 2 2 2
y x x 的图象，需将
2
y x 的图象（）．
A．向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位B．向右平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位
C．向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位D．向右平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位
28、（2009 年广州市）二次函数y (x 1)2 2的最小值是（）
A.2 （B）1 （C）-1 （D）-2
29、（2009 年天津市）在平面直角坐标系中，先将抛物线 2 2
y x x 关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）
.
A． 2 2
y x x B．
2 2
y x x C．
2 2
y x x D．
2 2
y x x
2
30、（2009 年广西钦州）将抛物线y＝2x 向上平移 3 个单位得到的抛物线的解析式是（）
2 2
A．y＝2x ＋3 B ．y＝2x －3 C ．y＝2（x＋3）D．y＝2（x－3）
2
31、(2009 年南充)抛物线y a( x 1)( x3)( a0) 的对称轴是直线（）
A．x 1 B．x 1 C．x 3 D．x 3
32、(2009 宁夏) 二次函数 2 ( 0)
y ax bx c a 的图象如图所示，对称轴是直线x 1，则下列四个结论错．误．的是（）
A．c0 B ．2a b 0 C． 2 4 0
b a
c D ．a b c 0
33、(2009 年湖州) 已知图中的每个小方格都是边长为 1 的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81 个格点中的多少个？（）A．6 B．7 C．8 D．9
34、（2009 年兰州）二次函数y ax2 bx c 的图象如图所示，则下列关系式不正确的是
A．a ＜0 B. abc ＞0 C. a b c ＞0 D. b2 4ac ＞0
35、（2009 年济宁市）小强从如图所示的二次函数 2
y ax bx c的图象中，观察得出了下面五条信
息：
（1）a0；（2）c 1；（3）b 0；（4）a b c 0 ；（5）a b c 0. 你认为其中正确信息
的个数有（）A．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个
36、（2009 年兰州）在同一直角坐标系中，函数y mx m和函数 2 2 2
y mx x （m 是常数，且m 0 ）的图象可．能．是（）
1 2
2 的形式
37、（2009 年遂宁）把二次函数 3
y 用配方法化成y a x h k
x x
4
2
1 2 1 2 1 2 1 1
A. y 2 2
B. y 2 4
C. y 2 4
D. 3
x x x y x
4 4 4 2 2
38、（2010 年西湖区月考）关于二次函数y =ax 2+bx+c 的图象有下列命题：①当c=0 时，函数的图象经过
原点；②当c＞0 时且函数的图象开口向下时，ax
2+bx+c=0 必有两个不等实根；③函数图象最高点的纵坐.
.
2
4 ac b
标是
；④当b=0 时，函数的图象关于y 轴对称. 其中正确的个数是（）A.1 个 B 、4a 2 个 C 、3 个 D. 4 个
39、（2009 年兰州）把抛物线 2
y x 向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移
后抛物线的解析式为（）
A． 2
y (x1) 3 B．
2
y (x 1) 3 C．
2
y (x1) 3 D ．
2
y (x 1) 3
40、（2009 年湖北荆州）抛物线 2
y 3(x 1) 2 的对称轴是（）
A．x 1 B ．x 1 C．x 2 D ．x 2
41、(2009 年河北) 某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数
1
2
y x （x＞0），若该车某次的刹车距离为 5 m，则开始刹车时的速度为（）
20
A．40 m/s B．20 m/s C ．10 m/s D．5 m/s
42、（2009 年黄石市）已知二次函数 2
y ax bx c 的图象如图所示，有以下结论：① a b c 0；②
a b c 1；③abc 0；④4a 2b c 0 ；⑤c a 1其中所有正确结论的序号是（）
A．①②B．①③④C．①②③⑤D．①②③④⑤
2 bx c a
43、（2009 黑龙江大兴安岭）二次函数( 0)
y ax 的图象如图，下列判断错误的是（
2 ac
）A ．a 0 B．b 0 C．c 0 D．b 4 0
44 、（2009 年枣庄市）二次函数y ax2 bx c 的图象如图所示，则下列关系式中错误
A．a＜0 B．c＞0 C ．b2 4ac＞0 D ．a b c ＞0
．．的是（）
45 、（2009 烟台市）二次函数 2
y ax bx c的图象如图所示，则一次函数 2 4
y bx b ac 与反比例
函数y a b c
x
在同一坐标系内的图象大致为（）
46.(2010 三亚市月考). 下列关于二次函数的说法错误的是（）
A. 抛物线y=-2x 2 ＋3x＋1 的对称轴是直线x= 3
4
2
； B. 点A(3,0) 不在抛物线y=x -2x-3 的图象上； C.
二次函数y=(x ＋2） 2 －2 的顶点坐标是（-2 ，-2 ）；
.
.
D.函数y=2x 2 ＋4x-3 的图象的最低点在（-1 ，-5 ）
47. 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0) 的图像如图所示, 下列结论正确的是( )
A.ac ＜0
B. 当x=1 时,y ＞0
C. 方程ax
2+bx+c=0(a ≠0) 有两个大于 1 的实数根
D.存在一个大于 1 的实数x0, 使得当x＜x0 时,y 随x 的增大而减小; 当x＞x0 时,y 随x 的增大而增大.
2
48. 如图所示，二次函数y＝x －4x＋3 的图象交x 轴于A、B 两点，交y 轴于点C，则△ABC的面积为（）
A. 6
B. 4
C. 3
D. 1
49．（2010 年河南中考模拟题4）二次函数 2
y ax bx c（a 0）的图象如图所示，则正确的是( )A ．a
＜0 B ．b＜0 C ．c＞0 D ．以答案上都不正确
2
50．（2010 年杭州月考）已知二次函数y＝ax
＋bx＋c(a≠0) 的图象如图所示，给出以下结论：①abc 0 ②当x 1 时，函数有最大值。

③当x 1或x 3 时，函数y 的值都等于0. ④4a 2b c 0其中正确结论的个数是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
二、解答题
2 m x m
1．已知一次函 2 3 2
y m x 的图象过点（0，5）
⑴求m的值，并写出二次函数的关系式；⑵求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
2 2．(2010 年厦门湖里模拟) 一次函数y＝x－
3 的图象与x 轴，y 轴分别交于点A，B．一个二次函数y＝x ＋bx＋c 的图象经过点A，B．
（1）求点A，B的坐标；（2）求二次函数的解析式及它的最小值．
3．(2009 年营口市) 面对国际金融危机，某铁路旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出如下标准：
人数不超过25 人超过25 人但不超过50 人超过50 人
人均旅游费1500 元每增加 1 人，人均旅游费降低20 元1000 元。