高考数学原创预测题 专题三 三角函数 平面向量 文 人教版

专题三：三角函数、平面向量（老人教文）
一、选择题： 1.已知α∈(
π2
，π)，sin α＝
3
5
，则tan(α＋
π4
)等于
( )
.17 .7 . －1
7
.－7 2、若A,B 是锐角∆ABC 的两个内角，则点P(cosB －sinA,sinB-cosA) 在（ ）
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
3、若(cos ,sin ),a αα= b (cos ,sin )ββ=
，则（ ）
a b ⊥
a ∥
b (a )(a )b b +⊥- (a )b + ∥(a )b -
4、设P1(2，－1)，P2(0,5)，且P 在P1P2的延长线上，使|1p p
|＝2|2pp |，则点P 为
( )
.(－2,11) .(34，3) .(2
3，3) .(2，－7)
5、2cos10sin20sin70-
的值是 （ ）
12
6 、在ABC 中，若sin cos 1
sin 2A B C
=
，则ABC 的形状一定是（ ）
等腰三角形 直角三角形 等腰直角三角形 等边三角形
7、 函数f(x)＝sin2x ＋2cosx 在区间[－2
3π，θ]上的最大值为1，则θ的值是( )
.0 .π3 .π2 .－π
2
8、 已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f(π2)＝－2
3，则f(0)＝( )
.－23 .－12 .23 .1
2
9、已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b|的最大、小值分别是 ( )
.42，0 .4,2 2 .16,0 .4,0 10、已知f(sinx)=sin3x,则f(cosx)=( )
sin3x –cos3x -sin3x 3cos3x 二 、填空题
11、 已知sin α⋅cos α=15,且4
2ππ
α<<
，则cos α-sin α=________________
12、 sin11°，cos10°，sin168°的大小关系为_______________(从小到大排列)
13、已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)的图象如下图所示，则f(7π
12
)＝ .
14、 已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y)，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c
)，
M(x ，y)，N(y ，x)，则向量MN
的模为 .
三 解答题
15、 已知 3cos 2
α+2sin2α=1-求（1）tan α的值 ；(2)3cos2α+4sin2α的值.
16、 已知函数f(x)＝3sin(12x －π
4
)，x ∈R.
(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)将函数y ＝sinx 的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？
17、已知AC ＝(cos x 2
＋sin x 2
，－sin x 2
)，BC
＝(cos x 2
－sin x 2
，2cos x
2
). 且f(x)＝
AC ·BC ，
（1）求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
（2）4π
)求g(x)的最小值及取得最小值时x 的集合.
18、已知函数f(x)＝sin2ωx ＋3sin ωxsin(ωx ＋π
2)＋2cos2ωx ，x ∈R(ω>0)，在y 轴右
侧的第一个最高点的横坐标为π
6
.
(1)求ω；(2)若将函数f(x)的图象向右平移π
6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸
长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间.
19、在△ABC 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为,,,a b c 向量m ＝(cosA ，sinA)，向量n
＝(2
－sinA ，cosA)，
若|m n +
|＝2.
(1)求角A 的大小；
(2)若b ＝42，且c ＝2a ，求△ABC 的面积.
20、已知向量m ＝(3sin x 4，1)，n ＝(cos x 4，cos2x 4
).
(1)若m n ＝1，求cos(2π
3
－x)的值；
(2)记f(x)＝m n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c)cosB ＝
bcosC ，
求函数f(A)的取值范围.
三角函数、平面向量（老人教文）答案解析
1解析：选A,由α∈(π2，π)，sin α＝35，得tan α＝－34，tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝1
7
.
2解析：选B ， A,B 是锐角三角形的两个内角，∴A+B>90°，∴B>90°－Ａ ∴cosB<sinA,sinB>cosA,故选B.
3解析：选C,
(a )(a )b b +⋅-
=(cos α+cos β)( cos α-cos β)+(sin α+sin β)( sin α-sin β)
=cos 2α+sin 2α- cos 2
β2-sin β=0，∴选C.
4解析：选 A,由题意知12
2p p p p = ， 设P(x ，y)，则(－2,6)＝(x ，y －5)，∴2,56x y =-⎧⎨
-=⎩
∴2
,11x y =-⎧⎨=⎩∴点P 的坐标为(－2,11).
5
解
析
：
选
B,
原
式
=2cos 30-20sin20sin70- （）=2cos30cos202sin30sin20sin20sin70+-
=
6解析：选A,由原式得2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)=sinC
因为0A B <+<π, 0C <<π,∴sin(A-B)=0,A=B.故选A.
7 解析：选,因为f(x)＝sin2x ＋2cosx ＝－cos2x ＋2cosx ＋1＝－(cosx －1)2＋2，又其在区间[－2π3，θ]上的最大值为1，结合选项可知θ只能取－π
2
.,故选
8解析： 选C,由题意可知，此函数的周期T ＝2(1112π－712π)＝2π3，故2πω＝2π
3，∴ω＝3，
f(x)＝Acos(3x ＋φ). f(
π2)＝Acos(3π2＋φ)＝Asin φ＝－23.又由题图可知f(7π12)＝Acos(3×7π
12
＋φ)＝Acos(φ－14π)
＝
22(Acos φ＋Asin φ)＝0，∴f(0)＝Acos φ＝23
. 9解析：选, 由于|2a －b|2
＝4|a|2
＋|b|2
－4a ·b ＝8－4(3cos θ－sin θ)＝8－8cos(θ
＋π
6
)，最大值为4，最小值为0，故选 10解析：选B,f(cosx)=f(sin(2π-x))=sin(32π
-3x)=-cos3x.
11解析：cos α-sin α
.
答案：
12解析：∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°， cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°.
又∵y ＝sinx 在x ∈[0，π
2]上是增函数，∴sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°
<cos10°.
答案：sin11°<sin168°<cos10°.
13解析：由图象知，函数的周期为32×T ＝π，∴T ＝2π3. ∵f(π
4)＝0，
∴f(7π12)＝f(π4＋π3)＝f(π4＋T 2)＝－f(π
4
)＝0.
答案：0
14解析：∵a ∥b ，∴x ＝4，∴b ＝(4，－2)，∴a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y).∵(a ＋b)⊥(b －c)，
∴(a ＋b)·(b －c)＝0，即6－3(－2－y)＝0，∴y ＝－4，故向量MN
＝(－8,8)， |MN
|＝8 2.
答案：8 2
15解析：(1)由已知条件得4cos 2α+4sin αcos α+sin 2α=0,(2cos α+sin α)2
=0,
∴2cos α=-sin α，∴ tan α=-2.
(2) 3cos2α+4sin2α=22223cos sin )8sin cos sin cos αααααα-++（=223tan 8tan 3
tan 1ααα-+++=-5.
16解析：(1)列表取值：
描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图.
(2)先把y ＝sinx 的图象向右平移4π
个单位，然后纵坐标不变，把所有点的横坐标扩大
为原来的2倍，再横坐标不变，把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象.
17：解析：(1)由f(x)＝AC ·BC
得
f(x)＝(cos x 2＋sin x 2)·(cos x 2－sin x 2)＋(－sin x 2)·2cos x 2＝cos2x 2－sin2x 2－2sin x 2cos x
2＝
cosx －sinx ＝2cos(x ＋π
4
)，
所以f(x)的最小正周期T ＝2π.又由2k π≤x＋π4≤π＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π≤x≤
3π
4＋2k π，k ∈Z.
故f(x)的单调递减区间是[－π4＋2k π，3π
4
＋2k π](k ∈Z).
（2）g(x)= 2cos(x ＋π
4
)+4π)=2cosx ，所以g(x)的最小值为－２，取得最小值
时x 的集合为
{x| x=2k π+π,k Z ∈} 18解析：(1)f(x)＝
32sin2ωx ＋12cos2ωx ＋32＝sin(2ωx ＋π6)＋32
. 令2ωx ＋π6＝π2，将x ＝π
6代入可得：ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin(2x ＋
π6)＋32.经过题设的变化得到的函数g(x)＝sin(12x －π6)＋3
2
. 当x ＝4k π＋43π，k ∈Z 时，函数取得最大值52. 令2k π＋π2≤12x －π6≤2k π＋3
2π，
即[4k π＋43π，4k π＋10
3
π]，k ∈Z 为函数的单调递减区间.
19解析： (1) ∵|m n +
|2＝(cosA ＋2－sinA)2＋(sinA ＋cosA)2＝4＋22(cosA －sinA)
＝4＋4cos(π
4
＋A)，
∴4＋4cos(π4＋A)＝4，∴cos(π4＋A)＝0，∵A ∈(0，π)，∴π4＋A ＝π2，∴A ＝π
4.
(2)由余弦定理知：a2＝b2＋c2－2bccosA ， 即a2＝(42)2＋(2a)2－2×42×2acos π
4
，
解得a ＝42，∴c ＝8， ∴S △ABC ＝12bcsinA ＝12×42×8×2
2
＝16.
20解析：(1)∵m n ＝1，即3sin x 4cos x 4＋cos2x 4＝1，即32sin x 2＋12cos x 2＋12
＝1，
∴sin(x 2＋π6)＝12.∴cos(2π3－x)＝cos(x －2π3)＝－cos(x ＋π
3)
＝－[1－2sin2(x 2＋π6)]＝2·(12)2－1＝－12
.
(2)∵(2a －c)cosB ＝bcosC ，由正弦定理得(2sinA －sinC)cosB ＝sinBcosC.
∴2sinAcosB －cosBsinC ＝sinBcosC ，∴2sinAcosB ＝sin(B ＋C)， ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C)＝sinA ，且sinA≠0，∴cosB ＝12，B ＝π
3，
∴0＜A ＜2π3.∴π6＜A 2＋π6＜π2，12＜sin(A 2＋π
6
)＜1.
又∵f(x)＝m n =sin(x 2＋π6)＋12，∴f(A)＝sin(A 2＋π6)＋1
2
.
故函数f(A)的取值范围是(1，3
2).。