高三数学第四次联考试题 理 试题

五校联盟2021届高三第四次联考试卷
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

理科数学
本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。

第一卷1至2页。

第二卷3至4页。

第一卷
〔本卷一共12小题，每一小题5分，一共60分〕
考前须知
1．每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮檫檫干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。

2．在答题之前认真阅读答题卡上的“考前须知〞。

参考公式：
假如事件A 、B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+ 假如事件A 、B 互相HY ，那么 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅
假如事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次HY 重复试验中事件A 发生k 次的概率为
0()1()(=-=-k p p C k P k n k
k n n ，1，2，… ，)n
球的外表积公式：24R S π=〔R 为球的半径〕 球的体积公式：334R V π= 〔R 为球的半径〕
一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

()244(i i bi
i b b -⋅=-=其中是虚数单位，是实数），则〔 〕
A ．4-
B ．4
C ．8-
D ．8
2. 假设a 、b ∈R ，使|a|+|b|＞1成立的一个充分不必要条件是〔 〕 A |a+b|≥1 B |a|≥1 C |a|≥
12且 |b|≥1
2
D b ＜-1
0.5()2log (1)f x x x =+>，那么)(x f 的反函数是〔 〕
A ．)2(2)(21
<=--x x f x
B ．)2(2)(21
>=--x x f
x
C ．)2(2)(21
<=--x x f
x D ．)2(2)(21
>=--x x f
x
}{n a 中，有12876=++a a a ，那么此数列的前13项之和为〔 〕
A ．24
B ．39
C ．52
D ．104
5.πα<<0，2
1
cos sin =
+αα ，那么α2cos 的值是 〔 〕
A ．47 C.47± D.4
3- 6.在坐标平面内，)0,0(O )0,5(),2,1(Q P ， OPQ ∠的平分线交x 轴于点S .记,,b PQ a PO ==那么
=PS ( )
A.b a PS 3132+=
B.b a PS 3231+=
C.b a PS 5154+=
D. b a PS 5
451+= 111ABC A B C -M 是线段11A C 的中点,那么直线BM 与侧面11ABB A 所成角的正切值等于 〔 〕
A.
4
B. 5
C. 5
D. 2
8.过点〔1，1〕的直线与圆9)3()2(2
2
=-+-y x 相交于A ，B 两点，那么|AB|的最小值为〔 〕 A ．32
B ．4
C ．52
D ．5
9.有5张音乐专辑,其中周杰伦的3张(一样), 郁可唯和曾轶可的各1张.从中选出3张送给3个同学(每人1张).不同送法的种数有( )
A. 120
B.60 C
ABCD 的外接球球心在CD 上，且2CD =，3=AB ，在外接球面上B A 、两点间的球面间隔 是
〔 〕 Ａ．
π
6
Ｂ．
π3
Ｃ．
2π3
Ｄ．
5π6
()f x (1)f x +是奇函数，(1)f x -是偶函数，那么( )
(A) )3(-x f 是偶函数 (B) )4(-x f 是偶函数
(C) )4()(+=x f x f (D) )5(+x f 是奇函数 12.如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD .
的周长最大
假设双曲线1C 以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点，那么当梯形时，双曲线的离心率为〔 〕.
1+C .2 D.
2+
绝密★启用前
2021届高三年级五校第二次联考试卷
第二卷
〔本卷一共10小题，一共90分〕
考前须知
1．考生不能将答案直接答在试卷上，必须答在答题卡上。

2．在答题之前认真阅读答题卡上的“考前须知“。

二、填空题：本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分．把答案填写上在题中横线上．
sin y x x =-的最大值是 .
14.6
2x ⎫⎪⎭展开式中，常数项是__________.
y x 、满足约束条件为常数）k k y x y x x (020
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤++≥-≥时，y x z 3+=有最大值12，那么实数k 的值是 .
D C B
A
F 和直线l 分别是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点和右准线．过点F 作斜率为2的直线，该直
线与l 交于点A ,与椭圆的一个交点是B ，且FB AF 2=.那么椭圆的离心率=e .
三、解答题：本大题一一共6个小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 17．〔本小题满分是10分〕
在⊿ABC 中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且.cos cos 3cos B c B a C b -= (Ⅰ)求B cos 的值；
(Ⅱ)假设2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和的值.
18．〔本小题满分是12分〕
质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1，2，3，4。

将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上。

(Ⅰ)设ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求ξ的分布列及期望E ξ； (Ⅱ)求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积能被4整除的概率。

19．〔本小题满分是12分〕
如图，在三棱锥BCD A -中，面⊥ABC 面BCD ，ABC ∆是正三
角形，︒=∠90BCD ． 〔Ⅰ〕求证：CD AB ⊥；
〔Ⅱ〕假设异面直线AC BD 、
面角
C AB
D --的大小；
20．(本小题满分是12分)
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，0>n b
A
C
B
D
)(5,,1),(23533211b T S a b a b a N n +==+==∈+．
〔Ⅰ〕求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； 〔Ⅱ〕求和：1
322211++++n n n T T b T T b
T T b ．
21．(本小题满分是12分)
定点(0,1)A ，直线1:1l y =-交y 轴于点B ，记过点A 且与直线1
l 相切的圆的圆心为点C ． (I)求动点C 的轨迹E 的方程；
(Ⅱ)设倾斜角为α的直线2l 过点A ，交轨迹E 于两点 Q P 、，交直线1l 于点R .假设⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈4,6ππα，求QR PR ⋅的最小值．
22．〔此题满分是12分〕 函数x
a
x x f ln )(-=
，其中a 为实数． (Ⅰ)当2=a 时，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程； (Ⅱ)是否存在实数a ，使得对任意),1()1,0(+∞∈ x ，x x f >
)(恒成立?假设不存在，请说明理由，
假设存在，求出a 的值并加以证明．
2021届高三年级五校第四次联考试卷
理科数学参考答案与评分HY
13．2； 14．60；
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
D
A
C
A
A
B
B
D
C
D
B
15．9-； 16．3
3．
17.解：(Ⅰ)解：由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，
,
0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,
cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则 因此.3
1
cos =
B ………5分 (Ⅱ)解：由2cos ,2==⋅B ac B
C BA 可得，
,
,0)(,12,cos 2,6,3
1
cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又 所以.6==c a ………10分
18.解：(Ⅰ)ξξ),4,3,2,1,0()2
1()(4
4===k C k P k
的分布列为
ξ服从二项分布.
221
4),2
1,4(=⨯
=ξE B 则
………6分 (Ⅱ)不能被4整除的有两种情影： ①4个数均为奇数，概率为.16
1)2
1
(4
1=
=P ②4个数中有3个奇数，另一个为2，概率为.8
141)2
1(3
3
42=⋅=C P 故所求的概率为P .
1613
811611=--
= ………12分
19.解：〔Ⅰ〕证明：∵ 面ABC ⊥面BCD ，︒=∠90BCD ，且面ABC 面BCD BC =，
∴ ⊥CD 面ABC ． 又∵ ⊂AB 面ABC ，
∴ AB DC ⊥． ………6分
〔Ⅱ〕取BC 的中点O ，连接AO ,那么AO BC ⊥,有
AO BCD ⊥平面,以O 为原点建立坐标系如下图.
设2AB =,m CD =,那么有
(0,1,3),(,2,0)AC BD m =-=,根据
34AC BD AC BD
⋅=
⋅,即223
424
m =
+,解得233m = 根据2
(0,1,3),(
3,2,0)3
BA BD ==, 可得平面DAB 的法向量(3,3,1)m =-， 而平面CAB 的法向量(1,0,0)n =，于是
33cos ,131313
m n m n m n
⋅<>=
=
=⋅ 因此，二面角D AB C --的大小为3
arccos 1313
. ………12分
20.解：〔Ⅰ〕由332a b a =+，得233a a b -=，得d q =2．①
又)(552335b T a S +==，所以233b T a +=，即22121q q d ++=+．② 由①②得022=-q q ，解得2=q ，4=d ．
所以34-=n a n ，12-=n n b ． ………6分 〔Ⅱ〕因为)1
1(211
11111++++++-=-==n n n n n n n n n n n n T T T qT T T T qT b T T b ，
所以1
322211++
++n n n T T b T T b T T b )1
11111(2113221+-++-+-=n n T T T T T T )11(2111+-=
n T T )1
21
1(211--=+n ． ………12分
21.解法一：(Ⅰ)连CA ，过C 作CD ⊥l 1，垂足为D ，由可得|CA |=|CD |， ∴点C 的轨迹是以A 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴轨迹E 的方程为2
4x y = ………6分 (Ⅱ)设直线l 2的方程为1y kx =+，与抛物线方程联立消去y 得x 2
-4kx -4=0．
记P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么12124,4x x k x x +==-. 因为直线PA 的斜率k ≠O ，易得点R 的坐标为2,1k ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
. |PR |·|QR |=RP ·RQ ＝〔x 1+2k ，y 1+1〕·〔x 2+2
k
，y 2+1〕 =〔x 1+
2k 〕〔x 2+2
k
〕+〔kx 1+2 〕〔kx 2+ 2〕 =(1+k 2
) x 1 x 2+(2k +2 k )( x 1+x 2)+ 24k +4
= -4(1+k 2
)+4k (2k +2k )+ 24k
+4
=4(k 2
+21k )+8，
∵k 2+21k
≥2，当且仅当k 2
=1时取到等号．
又α∈[
6π,4
π
],k ∈[33,1],∴上述不等式中等号能取到．
从而|PR |·|QR |的最小值为16. ………12分
解法二：(I)同解法一．
(Ⅱ)设直线l 2的方程为y=kx+1，
把直线方程与抛物线方程联立消去y 得 x 2
-4kx -4=0.
记P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么12124,4x x k x x +==-.
PR |·|QR |=21k +|x 1-x R |·21k +|x 2-x R |
=(1+k 2
)·(x 1+2k )(x 2+2
k
)， 下同解法一．
22.解：〔Ⅰ〕2=a 时，x
x x f ln 2
)(-=
， x
x x x x x f 2ln 2ln )(+-='，2ln 1
)2(='f ，
又0)2(=f 所以切线方程为)2(2ln 1
-=
x y
………6分
〔Ⅱ〕1°当10<<x 时，0ln <x ，那么x x
a
x >-ln x x x a ln ->⇔
令x x x x g ln )(-
=，x x
x x g 2ln 22)(--=
'，
再令x x x h ln 22)(--=，01
11)(<-=-=
'x
x x
x x h 当10<<x 时0)(<'x h ，∴)(x h 在)1,0(上递减， ∴当10<<x 时，0)1()(=>h x h ， ∴02)()(>=
'x
x h x g ，所以)(x g 在)1,0(上递增，1)1()(=<g x g ，
所以1≥a
2°1>x 时，0ln >x ，那么
x x
a
x >-ln x x x a ln -<⇔)(x g a <⇔ 由1°知当1>x 时0)(>'x h ，)(x h 在),1(+∞上递增 当1>x 时，0)1()(=>h x h ，02)()(>=
'x
x h x g
所以)(x g 在),1(+∞上递增，∴1)1()(=>g x g ∴1≤a ；
由1°及2°得：1=a ………12分
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。