高一人教A版高中数学必修第二册《6.4.3 余弦定理、正弦定理(二)》正弦定理课件
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高一人教A版高中数学必修第二册课件
6.4.3 余弦定理、正弦定理（二） 正弦定理
学习目标：
1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握 正弦定理. 2.能用向量方法发现和证明正弦定理. 3.会用正弦定理求解已知两边和其中一条边的对角、已知 两角和夹边等解三角形问题.
情境引入
知识回顾：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接 解三角形的公式．
2
因为 AC CB AB , 所以 j ( AC CB) j AB ,
由分配律 , 得 j AC j CB j AB ,
即 | j | | AC | cos | j | | CB | cos( C) | j | | AB | cos( A ) ,
2
2
2
也即 a sin C c sin A , 所以 a c . sin A sin C
例如：在 ABC 中 , 已知 A , B , c , 则：
(1)由 C ( A B) , 求出 C ；
(2)由 a c , 得 a c sin A ；
sin A sin C
sin C
(3)由 b c , 得 b c sin B .
sin B sin C
sin C
知识深化
问题：利用正弦定理可以解决三角形的哪类问题？
又因为 sin C sin 90 1 ，上式可以写成边与它的对角的
正弦的比相等的形式，即 a b c . sin A sin B sin C
A
b
c
Ca B
探究新知
在直角三角形中，有 abc .
sin A sin B sin C 对锐角三角形和钝角三角形，以上关系是否仍然成立？
因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法来研究.
j
j
由分配律 , 得 j AC j CB j AB ,
即
A
C
| j | | AC | cos | j | | CB | cos( C) | j | | AB | cos( A) ,
2
2
2
也即 a sin C c sin A , 所以 a c .
B
sin A sin C
同理 , 过C点作与 CB 垂直的单位向量பைடு நூலகம்m , 可得 c b . j c
这个公式表达形式的统 一性、对称性，不仅使结果 更和谐优美，而且更突显了 三角形边角关系的本质.
正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间 的一个定量关系.
知识深化
问题：利用正弦定理可以解决三角形的哪类问题？
a b c. sin A sin B sin C 第一类：已知两角和一边，解三角形.
同理 , 过C点作与 CB 垂直的单位向量 m , 可得 c b . sin C sin B
所以在钝角三角形中 , 同样有： a b c . sin A sin B sin C
探究新知
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即
a b c. sin A sin B sin C
a2 b2 c2 2bc cos A
cos A b2 c2 a2 2bc
探究问题 ：如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？
情境引入
探究问题 ：如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？
在△ABC中，设A的对边为a，B的对边为b， 求A，B，a，b之间的定量关系.
2 把边与角的余弦关系转化为正弦关系 .
B
下面先研究锐角三角形的情形.
如图 , 在锐角ABC 中 , 过点A 作与AC 垂 j
j
直的单位向量
j
,
则
j
与AB
的夹角为
(
A)
,
j 与 CB 的夹角为 ( C) .
2
A
C
2
探究新知
B
因为 AC CB AB , 所以 j ( AC CB) j AB ,
如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决 “在△ABC中，已知A，B，a，求b”的问题.
情境引入
我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手.
根据锐角三角函数，在 Rt△ABC中（如图），有
sin A a , sin B b ，
c
c
这两个式子有共同元素 c ，利用它把两个式子联系起来，
可得 a b c. sin A sin B
我们希望获得△ABC中的边a，b，c与它们所对角A，B，C的正弦之间 的关系式．在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启 示我们可以用向量的数量积来探究．
探究新知
思考：向量的数量积运算中出现的是角的余弦,而我们需要的是角的正弦，
如何实现转化？ 由诱导公式 cos( ) sin 可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，
a b c. sin A sin B sin C
第二类：已知两边和其中一边的对角，解三角形.
例如：在 ABC 中 , 已知 b , c , B , 则：
(1)由 b c , 得sin C c sin B , 求出C ；
sin B sin C
b
(2)由 A (B C) , 求出 A ；
(3)由 a b , 得 a b sin A .
由正弦定理，得 a c sin A (3 3) sin15
sin C
sin 120
又 sin15 sin(45 30 ) sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 2 3 2 1 6 2 , 2 2 22 4
(3 所以 a
sin C sin B
a
m
所以在锐角三角形中有： a b c . sin A sin B sin C
A
b
C
探究新知
当ABC是钝角三角形时 , 不妨设 A 为钝角（如图）.
过点A 作与AC 垂直的单位向量 j , 则 j 与AB 的夹角为( A ) , j 与CB 的夹角为 ( C) .
2
sin A sin B
sin B
知识应用
例7 在ABC 中 , 已知 A 15 , B 45 , c 3 3 , 解这个三角形 .
已知两角和一边,求其他的两边和一角.
知识应用
例7 在ABC 中 , 已知 A 15 , B 45 , c 3 3 , 解这个三角形 .
解：由三角形内角和定理，得C 180 ( A B) 180 (15 45 ) 120 .
6.4.3 余弦定理、正弦定理（二） 正弦定理
学习目标：
1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握 正弦定理. 2.能用向量方法发现和证明正弦定理. 3.会用正弦定理求解已知两边和其中一条边的对角、已知 两角和夹边等解三角形问题.
情境引入
知识回顾：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接 解三角形的公式．
2
因为 AC CB AB , 所以 j ( AC CB) j AB ,
由分配律 , 得 j AC j CB j AB ,
即 | j | | AC | cos | j | | CB | cos( C) | j | | AB | cos( A ) ,
2
2
2
也即 a sin C c sin A , 所以 a c . sin A sin C
例如：在 ABC 中 , 已知 A , B , c , 则：
(1)由 C ( A B) , 求出 C ；
(2)由 a c , 得 a c sin A ；
sin A sin C
sin C
(3)由 b c , 得 b c sin B .
sin B sin C
sin C
知识深化
问题：利用正弦定理可以解决三角形的哪类问题？
又因为 sin C sin 90 1 ，上式可以写成边与它的对角的
正弦的比相等的形式，即 a b c . sin A sin B sin C
A
b
c
Ca B
探究新知
在直角三角形中，有 abc .
sin A sin B sin C 对锐角三角形和钝角三角形，以上关系是否仍然成立？
因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法来研究.
j
j
由分配律 , 得 j AC j CB j AB ,
即
A
C
| j | | AC | cos | j | | CB | cos( C) | j | | AB | cos( A) ,
2
2
2
也即 a sin C c sin A , 所以 a c .
B
sin A sin C
同理 , 过C点作与 CB 垂直的单位向量பைடு நூலகம்m , 可得 c b . j c
这个公式表达形式的统 一性、对称性，不仅使结果 更和谐优美，而且更突显了 三角形边角关系的本质.
正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间 的一个定量关系.
知识深化
问题：利用正弦定理可以解决三角形的哪类问题？
a b c. sin A sin B sin C 第一类：已知两角和一边，解三角形.
同理 , 过C点作与 CB 垂直的单位向量 m , 可得 c b . sin C sin B
所以在钝角三角形中 , 同样有： a b c . sin A sin B sin C
探究新知
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即
a b c. sin A sin B sin C
a2 b2 c2 2bc cos A
cos A b2 c2 a2 2bc
探究问题 ：如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？
情境引入
探究问题 ：如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？
在△ABC中，设A的对边为a，B的对边为b， 求A，B，a，b之间的定量关系.
2 把边与角的余弦关系转化为正弦关系 .
B
下面先研究锐角三角形的情形.
如图 , 在锐角ABC 中 , 过点A 作与AC 垂 j
j
直的单位向量
j
,
则
j
与AB
的夹角为
(
A)
,
j 与 CB 的夹角为 ( C) .
2
A
C
2
探究新知
B
因为 AC CB AB , 所以 j ( AC CB) j AB ,
如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决 “在△ABC中，已知A，B，a，求b”的问题.
情境引入
我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手.
根据锐角三角函数，在 Rt△ABC中（如图），有
sin A a , sin B b ，
c
c
这两个式子有共同元素 c ，利用它把两个式子联系起来，
可得 a b c. sin A sin B
我们希望获得△ABC中的边a，b，c与它们所对角A，B，C的正弦之间 的关系式．在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启 示我们可以用向量的数量积来探究．
探究新知
思考：向量的数量积运算中出现的是角的余弦,而我们需要的是角的正弦，
如何实现转化？ 由诱导公式 cos( ) sin 可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，
a b c. sin A sin B sin C
第二类：已知两边和其中一边的对角，解三角形.
例如：在 ABC 中 , 已知 b , c , B , 则：
(1)由 b c , 得sin C c sin B , 求出C ；
sin B sin C
b
(2)由 A (B C) , 求出 A ；
(3)由 a b , 得 a b sin A .
由正弦定理，得 a c sin A (3 3) sin15
sin C
sin 120
又 sin15 sin(45 30 ) sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 2 3 2 1 6 2 , 2 2 22 4
(3 所以 a
sin C sin B
a
m
所以在锐角三角形中有： a b c . sin A sin B sin C
A
b
C
探究新知
当ABC是钝角三角形时 , 不妨设 A 为钝角（如图）.
过点A 作与AC 垂直的单位向量 j , 则 j 与AB 的夹角为( A ) , j 与CB 的夹角为 ( C) .
2
sin A sin B
sin B
知识应用
例7 在ABC 中 , 已知 A 15 , B 45 , c 3 3 , 解这个三角形 .
已知两角和一边,求其他的两边和一角.
知识应用
例7 在ABC 中 , 已知 A 15 , B 45 , c 3 3 , 解这个三角形 .
解：由三角形内角和定理，得C 180 ( A B) 180 (15 45 ) 120 .