关于实函数零点的若干判别法

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高等数学是本科生的公共基础课程,既为后续课程的学习打
下基础,也有助于培养学生分析问题与解决问题的能力、逻辑推理能力。

为了提高学习高等数学的效率,教师需要在以后的教学中启发学生独立思考,培养学生学习数学的积极性与主观能动性,开阔学生的思维与视野。

下面用一些例子来说明一点这方面的体会。

在学习高等数学中,我们知道大家经常利用介值定理判断实函数在某些区间有没有实根,但是通常比较难以确定根的个数。

该文根据函数的性质及实函数与解析函数的关系,结合自己的长期的教学经验,给出三种简单实用的方法来确定解的个数或方程根的个数。

1 利用函数的单调性判断函数零点的个数
定理1:如果函数)(x f 在闭区间],[b a 连续单调且0)()(<b f a f ,则)(x f 在],[b a 内有且仅有一个零点。

证明(略)。

例1:判断函数2)(--=x e x f x 在开区间)2 ,1(内是否有零点？如果有零点,它有几个零点？
解:由于2)(--=x e x f x 在]2,1[连续可导且
.0)4)(3()2()1(2<--=e e f f 又在)2,1(上01)(>-='x e x f ,则)(x f 在]2,1[上单调递增,由定理1知)(x f 在)2,1(有且仅有一个零点。

例2:求方程155=+x x 在闭区间]1 ,0[内根的个数。

解:令15)(5-+=x x x f ,则)(x f 在]1 ,0[上连续且在)1 ,0(内可导。

又05)5)(1()1()0(<-=-=f f 与055)(4>+='x x f ,
由定理1知)(x f 在)2,1(有且仅有一个零点。

所以方程155=+x x 在闭区间]1 ,0[内根的个数为1。

2 利用微分中值定理与函数的次数判断函数零点的个数
定理2:如果函数)(x f 在闭区间],[b a 连续,在).(b a 内可导且
)()(b f a f =,则)(x f '在).(b a 内至少有一个零点。

证明 (见[1,2,3])。

定理3,如果函数0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ在闭区间],[1i i n i b a =Y 满足n),1,2,(i ,0)()(K =<i i b f a f ,则)(x f 在每个区间内恰有一个零点。

例3:设)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x x f 函数,判断函数
)(x f '有几个零点？
解:因为0)4()3()2()1()0(=====f f f f f ,下面我们分四种情形来考察:
(A)在]1,0[上,由于函数)(x f 满足)1()0(f f =,则由定理2知在
)1,0(中至少存在一点1ξ使得0)(1='ξf ;
(B)在]2,1[上,由于函数)(x f 满足)2()1(f f =,则由定理2知在)2,1(中至少存在一点2ξ使得0)(2='ξf ;
(C)在]3,2[上,由于函数)(x f 满足)3()2(f f =,则由定理 2知在)3,2(中至少存在一点3ξ使得0)(3='ξf ;
(D)在]4,3[上,由于函数)(x f 满足)4()3(f f =,则由定理 2知在)4,3(中至少存在一点4ξ使得0)(4='ξf ,
根据上述讨论得知)(x f '至少有四个零点,由于)(x f 是五次多项式,则)(x f '是四次多项式,因此)(x f '最多有四个零点,于是
DOI:10.16661/ki.1672-3791.2016.01.112
关于实函数零点的若干判别法
王有明
(湖南农业大学理学院应用数学系 湖南长沙 410128)
摘 要:主要利用函数的单调性、函数微分中值定理与次数以及结合解析函数的儒歇定理讨论实函数在某区间根的个数。

该文给出这三种解题方法,来说明如何在高等数学的教学中培养学生的类推与归纳总结能力,谨仅供教学参考。

关键词:单调性 次数 儒歇定理中图分类号:O174.5
文献标识码:A
文章编号:1672-3791(2016)01(a)-0112-02
On the Zeros of Real Functionthree Discriminant Method
Wang Youming
(Department of Applied Mathematics, College of Science,Hunan Agricultural University, ChangSha Hu’nan,410128, China)Abstact :In this paper, we mainly use the monotonicity of function, function of differential mean value theorem of analytic function with the degree of polynomial, and use Rouche theorem by relation from real functions and analytic functions. This paper gives the three methods, we only use teaching reference.Key Words :Monotonicity;Degree;Rouche theorem
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科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION 由定理3知)(x f '有且仅有四个零。

3 利用儒歇定理判断函数零点的个数
定理3：假设。

(1))(z f 与)(z g 在简单闭围道C 上及其内部均是解析的;(2)在围道C 上每点均有)()()(z f z g z f <-,
则函数)(z f 与)(z g 在围道C 内的零点个数相同(零点按重数计)。

证明(见[4,5,6])。

由儒歇定理可知, 利用一些简单的解析函数可以判断比较复杂的解析函数在某区域的零点个数。

例4：求方程0255=-+z z 在单位圆内根的个数。

解 令z z f 5)(-=,25)(5
-+=z z z g 。

在圆周1=z 上有25
z g f -=-≤)(553z f z =-=<。

由儒歇定理,)(z f 与)(z g 在1=z 内的零点个数是相同的。

由于)(z f 在单位圆内显然有一个零点,所以)(z g 在单位圆内也有一个零点。

因此原方程有一个根。

我们根据实函数与解析函数的关系与性质，也可以利用儒歇定理来考虑某些实函数根的个数问题。

例5:判断函数415sin )(2
5
+-+=x x x x f 在)1,1(-内的零点的情况。

解：利用介值定理判断。

,
0141sin 4151sin 1)1(<-=+-+-=-f ,
04400sin 0)0(>=+-+=f .
0101sin 4151sin 1)1(<-=+-+=f 由于,0)0()1(<-f f ,0)1()1(<f f 则函数48)(4+-=x x x f 在)1,1(-内至少有两个实零点。

再利用儒歇定理判断。

将原函数放在复平面上考虑.作代换x z
=,原函数变为
415sin )(25+-+=z z z z f ,1<z 。

利用儒歇定理,令4sin )(5++=z z z f ,215)(z z g -=,当1=z 时,4sin 5z z g f ++=-≤)(151552z g z e =-=<+。

由儒歇定理,)(z f 与)(z g 在1=z 内部的零点个数是相同的。

由于)(z g 在单位圆内内按重数计算有2 个零点,所以)(z f 在单位圆内也有两个零点。

因此415sin )(25+-+=x x x x f 在)1,1(-内有且仅有两个零点。

说明: 对于某些实变函数, 由介值定理可判断在给定的区间根的最少个数. 再结合函数的单调性、微分中值定理与系数以及复变函数中的儒歇定理, 可以确定在给定区间根的具体个数。

每一门学科都有规律,这种规律需要总结与归纳。

找到这些规律与学习方法,发挥主观能动性,学好高等数学就不难了。

参考文献
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2007.
[2]陈纪修,淤崇华,金路.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出
版社,1999.
[3]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].4版.北京:高等教育出版
社,2003.
[4]谭小江,伍胜健.复变函数简明教程[M].北京:北京大学出版
社,2006.
[5]张锦豪,邱维元.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2001.[6]龚晟.简明复分析[M].北京:北京大学出版社,1996.写作模块是英语教育中最重要的部分，写文章需要一定的语言积累和实践经验，必须掌握必要的基本语法，了解一定的写作背景，它是对英语学习者学习水平的检测和评估，表达要合理得体，符合英语的表达习惯，需要丰富的想象力和创造力;那么，如何将移动化的学习模式应用于高职英语教育写作模块中，让英语写作不再成为学生的负担，通过以下案例进行分析。

案例:以研究《如何制定自己的英语学习计划》为主题，写一篇500字左右的小短文。

第一步，首先需要教师去引导学生做好写作之前的准备工作。

在网络上搜集大量有关写作的精彩段落或句子，整理在自己的手抄本上，也可以将自己收集的网站推荐给同学，通过不断的学习模仿，将精彩的句子变成自己可以信手拈来的资源，充分利用互联网的便利性，随时随地的进行英语知识积累，建立自己的资料库。

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第三步，通过网络上的英语视频教学，将自己想要表达的句子转换成倒装、强调、从句的形式，让自己表达的句子成为文章的亮点。

最后，教师可挑选出精彩的文章作为范本，引导学生将自己的文章做成PPT的形式，给大家分析及分享经验，在课后建立自己班级的交流学习网站，上传优秀作品，供学生和家长欣赏，有利于学
生充分发挥自己的想象力，达到师生和家长之间的良好互动，让学生对英语写作不再盲目。

3 结语
综上所述，为了彻底的改变当今学生英语学习现状，教育部门及全体教育工作者应该扛起这面大旗，研究出科学高效的学习方法及智能化的教学模式[5]，
并不断的完善和补充，弥补学生在英语学习中的缺陷及不足，积极的投入到英语教学的队伍中来，使高职英语教学出现翻天覆地的变化，让全时空移动学习成为未来学习模式的主力军。

参考文献
[1]伍洪梅.高中英语移动学习模式研究[D].西南大学,2013.[2]张明勇.移动学习模式在高职英语学习中的应用研究[J].现代
企业教育,2014(18):137.
[3]王新瑜,刘玉婷.英语信息化教学模式探究——英语全时空移
动学习[J].中国信息技术教育,2014(21):140-141.
[4]孙迎月.对高职英语教学改革的思考[J].中国成人教育,2009
(14):156-157.
[5]李蕾,杨登新,孔娟.关于高职英语教学改革的思考[J].疯狂英
语:教师版,2007(3):33-35,38.
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