2012年高考数学解析分类汇编(2)---导数与积分 理

2012年高考真题理科数学解析汇编：导数与积分
一、选择题
1 ．（2012年高考（新课标理））已知函数1
()ln(1)f x x x
=
+-;则()y f x =的图像大致
为
2 ．（2012年高考（某某理））设a >0,b >0.
（ ）
A ．若2223a b a b +=+,则a >b
B ．若2223a b a b +=+,则a <b
C ．若2223a b a b -=-,则a >b
D ．若2223a b a b -=-,则a <b
3 ．（2012年高考（某某理））设函数()f x 在R 上可导,其导函数为()f x ',
且函数(1)()y x f x '=-的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是
（ ）
A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f
B ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f
C ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -
D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f 4 ．（2012年高考（某某理））设函数()x
f x xe =,则
（ ）
A ．1x =为()f x 的极大值点
B ．1x =为()f x 的极小值点
C ．1x =-为()f x 的极大值点
D ．1x =-为()f x 的极小值点
5 ．（2012年高考（某某理））设0a >且1a ≠,则“函数()x
f x a =在R 上是减函数 ”,
是“函数3
()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6 ．（2012年高考（某某理））已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图
形的面积为
（ ）
A ．2π5
B ．
43
C ．
32
D ．
π2
7 ．（2012年高考（某某理））如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一
点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ）
A ．
14
B ．
15
C ．
16
D ．
17
8 ．（2012年高考（大纲理））已知函数3
3y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点,则c = （ ）
A ．2-或2
B ．9-或3
C ．1-或1
D ．3-或1
二、填空题
9 ．（2012年高考（某某理））已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ,若中
A (0,0),
B (21,5),
C (1,0).
函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ . 10．（2012年高考（某某理））设0a >.若曲线y x =
与直线,0x a y ==所围成封闭图
形的面积为2
a ,则a =______.
11．（2012年高考（某某理））计算定积分
1
21
(sin )x x dx -+=⎰
___________.
12．（2012年高考（某某理））曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为
___________________. 三、解答题
13．（2012年高考（某某理））已知函数()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a .
(Ⅰ)求a 的值;
1-y x
O
第3题图
1
1
(Ⅱ)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2
()f x kx ≤成立,某某数k 的最小值; (Ⅲ)证明=12
ln (2+1)<221
n
i n i --∑*()n N ∈.
14．（2012年高考（新课标理））已知函数()f x 满足满足1
21
()(1)(0)2
x f x f e
f x x -'=-+;
(1)求()f x 的解析式及单调区间; (2)若2
1()2
f x x ax b ≥++,求(1)a b +的最大值.
15．（2012年高考（某某理））已知a >0,b ∈R,函数
()342f x ax bx a b =--+.
(Ⅰ)证明:当0≤x ≤1时,
(ⅰ)函数()f x 的最大值为|2a -b |﹢a ; (ⅱ) ()f x +|2a -b |﹢a ≥0;
(Ⅱ) 若﹣1≤()f x ≤1对x ∈[0,1]恒成立,求a +b 的取值X 围.
16．（2012年高考（某某理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分.)
设13
()ln 1,22
f x a x x x =+++其中a R ∈,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. (Ⅰ) 求a 的值;
(Ⅱ) 求函数()f x 的极值.
F
G
17．（2012年高考（某某理））设函数()(,,)n
n f x x bx c
n N b c R +=++∈∈
(1)设2n ≥,1,
1b c ==-,证明:()n f x 在区间1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内存在唯一的零点;
(2)设2n =,若对任意12,x x [1,1]∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值X 围; (3)在(1)的条件下,设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内的零点,判断数列23,,,n
x x x 的增减
性.
18．（2012年高考（某某理））已知函数ln ()x
x k
f x e +=
(k 为常数, 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数),曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值;
(Ⅱ)求()f x 的单调区间;
(Ⅲ)设2
()()'()g x x x f x =+,其中'()f x 为()f x 的导函数.证明:对任意
20,()1x g x e -><+.
19．（2012年高考（某某理））设()ln(1)(,,,)f x x ax b a b R a b =++
+∈为常数,
曲线()y f x =与 直线3
2
y x =
在(0,0)点相切. (Ⅰ)求,a b 的值.
(Ⅱ)证明:当02x <<时,9()6
x
f x x <+.
20．（2012年高考（某某））若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值,则称0x 为
函数)(x f y =的极值点.
已知a b ，是实数,1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点.
(1)求a 和b 的值;
(2)设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+,求()g x 的极值点;
(3)设()(())h x f f x c =-,其中[22]c ∈-，,求函数()y h x =的零点个数.
21．（2012年高考（某某理））已知函数()f x =ax
e x =-,其中a ≠0.
(1) 若对一切x∈R,()f x ≥1恒成立,求a 的取值集合.
(2)在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ,22(,())B x f x 12()x x <,记直线AB 的斜率为K,问:是否存在x 0∈(x 1,x 2),使0()f x k '>成立?若存在,求0x 的取值X 围;若不存在,请说明理由. 22．（2012年高考（某某理））(Ⅰ)已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->,其中r 为有理数,
且01r <<. 求()f x 的 最小值;
(Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题:
设120,0a a ≥≥,12,b b 为正有理数. 若121b b +=,则12121122b b a a a b a b ≤+; (Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题. 注:当α为正有理数时,有求导公式1()x x ααα-'=.
23．（2012年高考（某某理））(不等式、导数)设1a <,集合
{}0A x R x =∈>,(){}
223160B x R x a x a =∈-++>,D A B =.
(Ⅰ)求集合D (用区间表示);
(Ⅱ)求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点.
24．（2012年高考（某某理））已知函数2
()()x
f x e ax ex a R =+-∈.
(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)试确定a 的取值X 围,使得曲线()y f x =上存在唯一的点P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .
25．（2012年高考（大纲理））(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
) 设函数()cos ,[0,]f x ax x x π=+∈. (1)讨论()f x 的单调性;
(2)设()1sin f x x ≤+,求a 的取值X 围.
26．（2012年高考（理））已知函数2
()1f x ax =+(0a >),3
()g x x bx =+.
(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;
(2)当2
4a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.
27．（2012年高考（某某理））(本小题满分13分)设1
()(0)x
x f x ae b a ae
=+
+> (I)求()f x 在[0,)+∞上的最小值;
(II)设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为3
2
y x =;求,a b 的值.
2012年高考真题理科数学解析汇编：导数参考答案
一、选择题
1.【解析】选B
()ln(1)()1()010,()00()(0)0x
g x x x g x x
g x x g x x g x g '=+-⇒=-
+''⇒>⇔-<<<⇔>⇒<= 得:0x >或10x -<<均有()0f x < 排除,,A C D 2. 【答案】A
【解析】若2223a b a b +=+,必有2222a b a b +>+.构造函数:()22x f x x =+,则
()2ln 220x f x '=⋅+>恒成立,故有函数()22x f x x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.
其余选项用同样方法排除.
3.【答案】D
【解析】2,10x x <-->,由(1)()0()0x f x f x ''->⇒>,函数()f x 为增;
21,10x x -<<->,由(1)()0()0x f x f x ''-<⇒<,函数()f x 为减; 12,10x x <<-<,由(1)()0()0x f x f x ''->⇒<,函数()f x 为减; 2,10x x >-<,由(1)()0()0x f x f x ''-<⇒>,函数()f x 为增.
【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号,当导函数大于0,则函数为增,当导函数小于0则函数递减.
4. 解析:()(1)x
f x x e '=+,令()0,f x '=得1x =-,1x
时,()0f x '<,()x f x xe =为
减函数;1x 时,()0f x '>,()x f x xe =为增函数,所以1x =-为()f x 的极小值点,
选D.
5. 【解析】若函数x a x f =)(在R 上为减函数,则有10<<a .函数3
)2()(x a x g -=为增
函数,则有02>-a ,所以2<a ,所以“函数x
a x f =)(在R 上为减函数”是“函数
3)2()(x a x g -=为增函数”的充分不必要条件,选A.
6. 考点分析:本题考察利用定积分求面积.
解析:根据图像可得: 2()1y f x x ==-+,再由定积分的几何意义,可求得面积为
1
2311114
(1)()33
S x dx x x --=-+=-+=⎰. 7. 【答案】C
【解析】
31
22
01211)()1326
0S x dx x x S ==-==⎰正阴影
,故16P =,答案C 【考点定位】本题主要考查几何概型的概率和定积分,考查推理能力、计算求解能力.
8. 答案A
【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用.要是函数图像与x 轴有两个不同的交点,则需要满足极佳中一个为零即可. 【解析】因为三次函数的图像与x 轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大值或
者极小值为零即可满足要求.而2
()333()(1)f x x x x '=-=-+,当1x =±时取得极值
由(1)0f =或(1)0f -=可得20c -=或20c +=,即2c =±. 二、填空题
9.[解析]如图1,⎩⎨⎧≤<-≤≤=1
,10100,10)(21
2
1x x x x x f , 所以⎩⎨⎧≤<+-≤≤==1
,10100,10)(21
22
1
2x x x x x x xf y , 易知,y =xf (x )的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MNO 与OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP 的面积
S=45
2521=⨯.
[评注]对于曲边图形,某某现行教材中不出微积分,能用微积分求此面积的考生恐是极少的,而对于极大部分考生,等积变换是唯一的出路. 10. 【解析】由已知得2230230
32|32a a x x S a a
====⎰
,所以3221
=a ,所以9
4=a .
11.
2
3
【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用. 31
2
111
11112
(sin )cos |cos1cos1333333x x x dx x --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=-=---=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎰. 【点评】这里,许多学生容易把原函数写成3
cos 3
x x +,主要是把三角函数的导数公式记混而引起的.体现考纲中要求了解定积分的概念.来年需要注意定积分的几何意义求曲面面积等.
12.解析:210x y -+=.21|3112x y ='=⨯-=,所以切线方程为()321y x -=-,即
210x y -+=.
三、解答题
13. 【命题意图】本试题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础
知识,考查函数思想、分类讨论思想、考查综合分析和解决问题的能力.
图1
图2
(1)()f x 的定义域为(,)a -+∞
()ln()f x x x a =-+11
()101x a f x x a a x a x a
+-'⇒=-
==⇔=->-++ ()01,()01f x x a f x a x a ''>⇔>-<⇔-<<-
得：1x a =-时，min ()(1)101f x f a a a =-⇔-=⇔= （2）设2
2
()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++≥ 则()0g x ≥在[0,+)x ∈∞上恒成立min ()0(0)g x g ⇔≥=（*）
(1)1ln 200g k k =-+≥⇒>
1(221)
()2111x kx k g x kx x x +-'=-+
=
++ ①当1210()2k k -<<时，0012()00()(0)02k
g x x x g x g k -'≤⇔≤≤=⇒<=与
（*）矛盾
②当1
2
k ≥时，min ()0()(0)0g x g x g '≥⇒==符合（*） 得：实数k 的最小值为1
2
(lfxlby)
（3）由（2）得：2
1ln(1)2
x x x -+<对任意的0x >值恒成立
取2
(1,2,3,,)21
x i n i =
=-：
2
22[ln(21)ln(21)]21(21)
i i i i -+--<-- 当1n =时，2ln32-< 得：
=12
ln (2+1)<221
n
i n i --∑（lb ylfx ） 当2i ≥时，
2211
(21)2321
i i i <----
得：
1
21[
ln(21)ln(21)]2ln 3122121
n
i i i i n =-++-<-+-<--∑ 【点评】试题分为三问,题面比较简单,给出的函数比较常规,因此入手对于同学们来说
没有难度,第二问中,解含参数的不等式时,要注意题中参数的讨论所有的限制条件,从而做到不重不漏;第三问中,证明不等式,应借助于导数证不等式的方法进行. 14.【解析】(1)1
211
()(1)(0)()(1)(0)2
x x f x f e
f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+
令1x =得:(0)1f =
1211
()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+⇒==⇔=
得:21()()()12
x x
f x e x x
g x f x e x '=-+⇒==-+
()10()x g x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增
()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=⇔><=⇔<
得:()f x 的解析式为21()2
x
f x e x x =-+
且单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞ (2)2
1()()(1)02
x f x x ax b h x e a x b ≥
++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时,()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增
x →-∞时,()h x →-∞与()0h x ≥矛盾
②当10a +>时,()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+ 得:当ln(1)x a =+时,min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥
22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++>
令2
2
()ln (0)F x x x x x =->;则()(12ln )F x x x '=-
()00()0F x x F x x ''>⇔<<<⇔>
当x =,max ()2
e F x =
当1,a b =
=,(1)a b +的最大值为
2
e 15. 【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力.
(Ⅰ)
(ⅰ)()2122f x ax b '=-.
当b ≤0时,()2122f x ax b '=->0在0≤x ≤1上恒成立,
此时()f x 的最大值为:()1423f a b a b a b =--+=-=|2a -b |﹢a ; 当b >0时,()2122f x ax b '=-在0≤x ≤1上的正负性不能判断, 此时()f x 的最大值为:
()max 2max{(0)1}max{()3}32b a b a
f x f f b a a b a b b a ->⎧==--=⎨
-<⎩
，，（），()，=|2a -b |﹢a ; 综上所述:函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a -b |﹢a ; (ⅱ) 要证()f x +|2a -b |﹢a ≥0,即证()g x =﹣()f x ≤|2a -b |﹢a . 亦即证()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a -b |﹢a , ∵()342g x ax bx a b =-++-,∴令(
)21220g x ax b x '=-+=⇒=当b ≤0时,()2122g x ax b '=-+<0在0≤x ≤1上恒成立, 此时()g x 的最大值为:()03g a b a b =-<-=|2a -b |﹢a ; 当b <0时,()2122g x ax b '=-+在0≤x ≤1上的正负性不能判断, (
)max max{1}g x g g =，（）
4max{2}
346362a b b a b a a b b a b a =--⎧≤-⎪=⎨>⎪-⎩
，，，
≤|2a -b |﹢a ;
综上所述:函数()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a -b |﹢a . 即()f x +|2a -b |﹢a ≥0在0≤x ≤1上恒成立.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a -b |﹢a , 且函数()f x 在0≤x ≤1上的最小值比﹣(|2a -b |﹢a )要大. ∵﹣1≤()f x ≤1对x ∈[0,1]恒成立, ∴|2a -b |﹢a ≤1.
取b 为纵轴,a 为横轴. 则可行域为:21b a b a ≥⎧⎨
-≤⎩和231b a
a b <⎧⎨-≤⎩
,目标函数为z =a +b .
作图如下:
由图易得:当目标函数为z =a +b 过P (1,2)时,有max 3z =,min 1z =-.
∴所求a +b 的取值X 围为:[]13-，
.
【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) []13-，
. 16. 【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何
意义,两条直线平行的判定等基础知识,考查运算求解能力.
解:(1)因()13ln 122f x a x x x =+
++,故()21322
a f x x x '=-+ 由于曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线垂直于y 轴,故该切线斜率为0,即
()10f '=,
从而13
022
a -
+=,解得1a =- (2)由(1)知()()13
ln 1022
f x x x x x =-+++>,
()222
113321
222x x f x x x x --'=--+=
()2
(31)(1)
2x x f x x +-'∴=
令()0f x '=,解得1211,3
x x ==-
(因21
3x =-不在定义域内,舍去),
当()0,1x ∈时,()0f x '<,故()f x 在()0,1上为减函数; 当()1,x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在()1,+∞上为增函数; 故()f x 在1x =处取得极小值()13f =.
17.解析:(1)1,1b c ==-,2n ≥时,()1n
n f x x x =+-
∵111()(1)(
)102
22n n n
f f =-⨯<,∴()n f x 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内存在零点. 又当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时,1
()10n n f x nx -'=+>
∴ ()n f x 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭上是单调递增的,所以()n f x 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内存在唯一零点. (2)当2n =时,2
2()f x x bx c =++
对任意12,[1,1]x x ∈-都有2122|()()|4f x f x -≤等价于2()f x 在[1,1]-上最大值与最小值之差4M ≤,据此分类讨论如下:(ⅰ)当|
|12
b
>,即||2b >时, 22|(1)(1)|2||4M f f b =--=>,与题设矛盾
(ⅱ)当102
b
-≤-
<,即02b <≤时, 222(1)()(1)422
b b
M f f =---=+≤恒成立
(ⅲ)当012
b
≤≤,即20b -≤≤时,
222(1)()(1)422
b b
M f f =---=-≤恒成立.
综上可知,22b -≤≤
注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下: 用max{,}a b 表示,a b 中的较大者.当112
b
-≤
≤,即22b -≤≤时, 222max{(1),(1)}()2
b
M f f f =---
22222(1)(1)|(1)(1)|()222
f f f f b f -+--=+--
2
1||()4
b c b c =++--+
2
||(1)42
b =+
≤恒成立 (3)证法一 设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内的唯一零点(2)n ≥ ()1n n n n n f x x x =+-,1
1111()10n n n n n f x x x +++++=+-=,11,12n x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
于是有11111111()0()11()n n
n n n n n n n n n n f x f x x x x x f x ++++++++===+-<+-=
又由(1)知()n f x 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭上是递增的,故1(2)n n x x n +<≥, 所以,数列23,,
,n
x x x 是递增数列.
证法二 设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内的唯一零点 1
111()(1)(1)(111)n n n n n n n f x f x x ++++=+-+- 1110n n n n n n x x x x +=+-<+-=
则1()n f x +的零点1n x +在(,1)n x 内,故1(2)n n x x n +<≥, 所以,数列23,,
,n
x x x 是递增数列.
18.解析:由f(x) = x e k x +ln 可得=')(x f x
e x
k x ln 1
--,而0
)1(='f ,即01=-e k ,解得1=k ;
(Ⅱ)=')(x f x
e
x x ln 11
--,令0)(='x f 可得1=x , 当10<<x 时,0ln 11)(>--='x x x f ;当1>x 时,0ln 11
)(<--='x x
x f .
于是)(x f 在区间)1,0(内为增函数;在),1(+∞内为减函数.
(Ⅲ)x
x e
x x x x e x
x x x x g ln )(1ln 11
)()(222+--=--+=, (1)当1≥x 时, 0,0,0ln ,012
2
>>+≥≤-x
e x x x x ,2
10)(-+<≤e
x g .
(2)当10<<x 时,要证221ln 11
)()(-+<--+=e e
x
x x x x g x
. 只需证)ln 1(1112
x x e e
x x +-+<+-即可
设函数)1,0(),ln 1(1)(,1
)(∈+-=+=x x x x q e x x p e
. 则)1,0(,ln 2)(,0)(∈--='<-=
'x x x q e
x
x p x ,
则当10<<x 时1)0(1
)(=<+=
p e x x p e
, 令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2
∈=-e
x ,
当),0(2
-∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2
-∈e x 时0)(<'x q ,
则当10<<x 时2
2
1)()ln 1(1)(--+=≤+-=e e q x x x q ,且0)(>x q ,
则≥+-+-)ln 1(112x x e 1112
2
=++--e e ,于是可知当10<<x 时)ln 1(1112x x e e
x x +-+<+-成立 综合(1)(2)可知对任意x>0,2
1)(-+<e x g 恒成立.
另证1:设函数)1,0(,1)(∈+=
x e x x p e ,则0)(<-='x e x
x p ,
则当10<<x 时1)0(1
)(=<+=p e
x x p x ,
于是当10<<x 时,要证221)ln 11(ln 11
)()(-+<--<--+=e x x x e
x
x x x x g x
, 只需证2
1)ln 11(-+<--e x x
x 即可,
设)1,0(),ln 1(1)(∈+-=x x x x q ,)ln 1(1)(x x x q +-=', 令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2
∈=-e
x ,
当),0(2
-∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2
-∈e x 时0)(<'x q , 则当10<<x 时2
2
1)()ln 1(1)(--+=≤+-=e e q x x x q ,
于是可知当10<<x 时221ln 11
)(-+<--+e e
x
x x x x
成立 综合(1)(2)可知对任意x>0,2
1)(-+<e x g 恒成立.
另证2:根据重要不等式当10<<x 时x x <+)1ln(,即x
e x <+1,
于是不等式221)ln 11(ln 11
)()(-+<--<--+=e x x x e
x
x x x x g x
, 设)1,0(),ln 1(1)(∈+-=x x x x q ,)ln 1(1)(x x x q +-=', 令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2
∈=-e
x ,
当),0(2-∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2
-∈e x 时0)(<'x q , 则当10<<x 时2
2
1)()ln 1(1)(--+=≤+-=e e q x x x q ,
于是可知当10<<x 时221ln 11
)(-+<--+e e
x
x x x x
成立. 19. 【答案及解析】
【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用.
本题容易忽略函数)(x f 的定义域,根据条件曲线()y f x =与直线3
2y x =
在(0,0)点相切,求出,a b 的值,然后,利用函数的单调性或者均值不等式证明9()6
x
f x x <+即可.
从近几年的高考命题趋势看,此类型题目几乎年年都有涉及,因此,在平时要加强训练.本题属于中档题.
20.【答案】解:(1)由32()f x x ax bx =++,得2()32f'x x ax b =++.
∵1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点,
∴ (1)32=0f'a b =++,(1)32=0f'a b -=-+,解得==3a b -0，. (2)∵ 由(1)得,3()3f x x x =- ,
∴()()2
3()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+,解得123==1=2x x x -，. ∵当2x <-时,()0g x <';当21<x <-时,()0g x >', ∴=2x -是()g x 的极值点.
∵当21<x <-或1x >时,()0g x >',∴ =1x 不是()g x 的极值点. ∴()g x 的极值点是-2.
(3)令()=f x t ,则()()h x f t c =-.
先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况:[]2, 2d ∈-
当=2d 时,由(2 )可知,()=2f x -的两个不同的根为I 和一 2 ,注意到()f x 是奇函数,∴()=2f x 的两个不同的根为一和2.
当2d <时,∵(1)=(2)=20f d f d d >----,(1)=(2)=20f d f d d <----- , ∴一2 , -1,1 ,2 都不是()=f x d 的根. 由(1)知()()()=311f'x x x +-.
① 当()2x ∈+∞，
时,()0f'x > ,于是()f x 是单调增函数,从而()(2)=2f x >f . 此时()=f x d 在()2+∞，
无实根. ② 当()1 2
x ∈，时.()0f'x >,于是()f x 是单调增函数. 又∵(1)0f d <-,(2)0f d >-,=()y f x d -的图象不间断,
∴()=f x d 在(1 , 2 )内有唯一实根.
同理,()=f x d 在(一2 ,一I )内有唯一实根.
③ 当()1
1x ∈-，时,()0f'x <,于是()f x 是单调减两数. 又∵(1)0f d >--, (1)0f d <-,=()y f x d -的图象不间断,
∴()=f x d 在(一1,1 )内有唯一实根.
因此,当=2d 时,()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，;当2d < 时 ()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，,满足2 =3, 4, 5i x <i ，
. 现考虑函数()y h x =的零点:
( i )当=2c 时,()=f t c 有两个根12t t ，,满足12==2t t 1，
.
而1()=f x t 有三个不同的根,2()=f x t 有两个不同的根,故()y h x =有5 个零点.
( 11 )当2c <时,()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，,满足2 =3, 4, 5i t <i ，
. 而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根,故()y h x =有9 个零点.
综上所述,当=2c 时,函数()y h x =有 5 个零点;当2c <时,函数()y h x =有9 个零点.
【考点】函数的概念和性质,导数的应用.
【解析】(1)求出)(x f y =的导数,根据1和1-是函数)(x f y =的两个极值点代入列方程组求解即可.
(2)由(1)得,3()3f x x x =-,求出()g x ',令()=0g x ',求解讨论即可.
(3)比较复杂,先分=2d 和2d <讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况;再考虑函数
()y h x =的零点.
21. 【解析】(Ⅰ)若0a <,则对一切0x >,()f x 1ax
e x =-<,这与题设矛盾,又0a ≠,
故0a >.
而()1,ax
f x ae '=-令11()0,ln .f x x a a
'==
得 当11ln x a a <
时,()0,()f x f x '<单调递减;当11
ln x a a >时,()0,()f x f x '>单调递增,故当11ln x a a =时,()f x 取最小值11111
(ln )ln .f a a a a a
=-
于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立,当且仅当
111
ln 1a a a
-≥. ① 令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-
当01t <<时,()0,()g t g t '>单调递增;当1t >时,()0,()g t g t '<单调递减. 故当1t =时,()g t 取最大值(1)1g =.因此,当且仅当1
1a
=即1a =时,①式成立. 综上所述,a 的取值集合为{}1.
(Ⅱ)由题意知,21
212121()() 1.ax ax f x f x e e k x x x x --==---
令21
21
()(),ax ax ax
e e x
f x k ae x x ϕ-'=-=--则
121()
12121()()1,ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 212()21221
()()1.ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1t
F t e t =--,则()1t
F t e '=-.
当0t <时,()0,()F t F t '<单调递减;当0t >时,()0,()F t F t '>单调递增. 故当0t =,()(0)0,F t F >=即10.t
e t --> 从
而
21()21()10
a x x e a x x ---->,
12()12()10,
a x x e a x x ---->又
1210,ax e x x >-2
21
0,ax e x x >-
所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>
因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在
012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=2()0,()ax x a e x ϕϕ'=>单调递增,故这样的c 是唯一的,且
21211ln ()ax ax e e c a a x x -=-.故当且仅当21
2211(ln ,)()
ax ax e e x x a a x x -∈-时, 0()f x k '>.
综上所述,存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立.且0x 的取值X 围为
21
2211(ln ,)()
ax ax e e x a a x x --. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值11111
(ln )ln .f a a a a a
=
-对一切x∈R,f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥,从而得出a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.
22.考点分析:本题主要考察利用导数求函数的最值,并结合推理,考察数学归纳法,对考生的
归纳推理能力有较高要求.
解析:(Ⅰ)11()(1)r r f x r rx r x --'=-=-,令()0f x '=,解得1x =. 当01x <<时,()0f x '<,所以()f x 在(0,1)内是减函数;
当 1x > 时,()0f x '>,所以()f x 在(1,)+∞内是增函数.
故函数()f x 在1x =处取得最小值(1)0f =. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当(0,)x ∈+∞时,有()(1)0f x f ≥=,即(1)r x rx r ≤+- ① 若1a ,2a 中有一个为0,则12121122b b a a a b a b ≤+成立; 若1a ,2a 均不为0,又121b b +=,可得211b b =-,于是 在①中令12a x a =
,1r b =,可得1111122
()(1)b a a
b b a a ≤⋅+-, 即111121121(1)b b a a a b a b -≤+-,亦即12121122b b a a a b a b ≤+.
综上,对120,0a a ≥≥,1b ,2b 为正有理数且121b b +=,总有12121122b b a a a b a b ≤+. ② (Ⅲ)(Ⅱ)中命题的推广形式为: 设12,,,n a a a 为非负实数,12,,
,n b b b 为正有理数.
若121n b b b ++
+=,则1212
1122n b b b n n n a a a a b a b a b ≤++
+. ③
用数学归纳法证明如下:
(1)当1n =时,11b =,有11a a ≤,③成立. (2)假设当n k =时,③成立,即若12,,,k a a a 为非负实数,12,,,k b b b 为正有理数,
且121k b b b ++
+=,则12
12
1122k b b b k k k a a a a b a b a b ≤++
+.
当1n k =+时,已知121,,,,k k a a a a +为非负实数,121,,,,k k b b b b +为正有理数,
且1211k k b b b b +++++=,此时101k b +<<,即110k b +->,于是
111
2121
2
1
12
1
()k k k k b b b b b b b b k
k k k a a
a a
a a
a a
++++==121111111111
2
1()
k
k k k k k b b b b b b b b k
k a
a
a
a +++++----+.
因
12
11
1
1111k
k k k b b b b b b +++++
+
=---,由归纳假设可得
1
21111111
2
k k k k b b b b b b k
a
a
a
+++---≤12
1211
1
111k k k k k b b b a a a b b b +++⋅
+⋅+
+⋅
---1122
11k k
k a b a b a b b ++++=-, 从而11212
1
k k b b b b k k a a
a a
++≤1
1
11122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫+++ ⎪
-⎝⎭
.
又因11(1)1k k b b ++-+=,由②得
1
1
11122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫
+++ ⎪
-⎝⎭
11221111
(1)1k k
k k k k a b a b a b b a b b +++++++≤
⋅-+-
112211k k k k a b a b a b a b ++=++
++,
从而112
12
1k k b b b b k k a a a a ++112211k k k k a b a b a b a b ++≤++
++.
故当1n k =+时,③成立.
由(1)(2)可知,对一切正整数n ,所推广的命题成立.
说明:(Ⅲ)中如果推广形式中指出③式对2n ≥成立,则后续证明中不需讨论1n =的情况.
23.解析:(Ⅰ)考虑不等式()223160x a x a -++>的解.
因为()()()2
314263331a a a a ∆=⎡-+⎤-⨯⨯=--⎣⎦,且1a <,所以可分以下三种情况: ①当1
13
a <<时,0∆<,此时B =R ,()0,D A ==+∞.
②当1
3a =
时,0∆=,此时{}1B x x =≠,()()0,11,D =+∞. ③当1
3
a <时,0∆>,此时()223160x a x a -++=有两根,设为1x 、2x ,且12x x <,则
1x =
2x =
,于是
{}12B x x x x x =<>或.
当1
03
a <<
时,()123102x x a +=+>,1230x x a =>,所以210x x >>,此时
()()120,,D x x =+∞;当0a ≤时,1230x x a =≤,所以10x ≤,20x >,此时()2,D x =+∞.
综上所述,当113a <<时,()0,D A ==+∞;当1
3
a =时,()()0,11,D =+∞;当1
03
a <<
时
,
()()
120,,D x x =+∞;当0a ≤时,
()
2,D x =+∞.
其
中
1x =
2x =
.
(Ⅱ)()()26616f x x a x a '=-++,令()0f x '=可得()()10x a x --=.因为1a <,所以
()0f x '=有两根1m a =和21m =,且12m m <.
①当
1
13
a <<时,()0,D A ==+∞,此时()0f x '=在D 内有两根1m a =和21m =,列表可得
所以()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a . ②当1
a =
时,()()0,11,D =+∞,此时()0f x '=在D 内只有一根11
m a ==
,列表可得
所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点. ③当1
03
a <<
时,()()120,,D x x =+∞,此时1201a x x <<<<(可用分析法证明),于是
()0f x '=在D 内只有一根1m a =,列表可得
所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.
④当0a ≤时,()2,D x =+∞,此时21x >,于是()f x '在D 内恒大于0,()f x 在D 内没有极值点.
综上所述,当113a <<时,()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a ;当1
03
a <≤
时,()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.当0a ≤时,()f x 在D 内没有极值点.
24. 【考点定位】本题主要考查函数的导数、导数的应用、二次函数的性质、函数的零点等
基础知识,考查运算求解能力、抽象与概括的能力、推理与论证的能力,考查数形结合的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想、有限与无限的思想.
解:(1)
()2x f x e ax e '=+-,(1)200k f a a '===⇒=,故()x f x e e '=-
1x ∴>时,()0f x '>,1x <时,()0f x '<,所以函数()f x 的增区间为(1,)+∞,减区间
为(,1)-∞
(2)设切点00(,)P x y ,则切线000()()()y f x x x f x '=-+
令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---,因为只有一个切点,所以函数()g x 就只有一个零点,因为0()0g x =
000()()()2()x x g x f x f x e e a x x '''=-=-+-,若0,()0a g x '≥>
0()()0g x g x >=,因此有唯一零点,由P 的任意性知0a ≥不合题意
若0a <,令00()2()x
x
h x e e a x x =-+-,则0()0h x =
()2x h x e a '=+,存在一个零点(ln(2),(ln 2))P a f a --,使曲线在该点处的切线与曲线
只有一个公共点.故a 的取值X 围为0a <.
25.【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一就是函数中有三角函数,要利
用三角函数的有界性,求解单调区间.另外就是运用导数证明不等式问题的构造函数思想的运用.
解:()sin f x a x '=-.
(Ⅰ)因为[0,]x π∈,所以0sin 1x ≤≤.
当1a ≥时,()0f x '≥,()f x 在[0,]x π∈上为单调递增函数; 当0a ≤时,()0f x '≤,()f x 在[0,]x π∈上为单调递减函数;
当01a <<时,由()0f x '=得sin x a =,
由()0f x '>得0arcsin x a ≤<或arcsin a x ππ-<≤; 由()0f x '<得arcsin arcsin a x a π<<-.
所以当01a <<时()f x 在[0,arcsin ]a 和[arcsin ,]a ππ-上为为单调递增函数;在
[arcsin ,arcsin ]a a π-上为单调递减函数.
(Ⅱ)因为()1sin cos 1sin 1sin cos f x x ax x x ax x x ≤+⇔+≤+⇔≤+- 当0x =时,01sin0cos00≤+-=恒成立 当
0x π
<≤时,min 1sin cos 1sin cos 1sin cos []x x x x
ax x x a a x x
+-+-≤+-⇔≤
⇔≤
令1sin cos ()(0)x x
g x x x
π+-=
<≤,则
22
(cos sin )1sin cos (1)cos (1)sin 1
()x x x x x x x x x g x x x
+--+++--'== 又令()(1)cos (1)sin 1c x x x x x =++--,则
()cos (1)sin sin (1)cos (sin cos )c x x x x x x x x x x '=-+++-=-+
则当3(0,)4
x π
∈时,sin cos 0x x +>,故()0c x '<,()c x 单调递减 当3(
,]4
x π
π∈时,sin cos 0x x +<,故()0c x '≥,()c x 单调递增 所以()c x 在(0,]x π∈
时有最小值3()14
c π
=,而
0lim ()(10)cos0(01)sin 010x c x +
→=++--=,lim ()()(1)10x c x c π
ππ-→==-+-<
综上可知(0,]x π∈时,()0()0c x g x '<⇒<,故()g x 在区间(0,]π单调递 所以min 2
[()]()g x g ππ
==
故所求a 的取值X 围为2
a π
≤
.
另解:由()1sin f x x ≤+恒成立可得
2
()111f a a πππ≤⇔-≤⇔≤
令
2
()sin (0)2g x x x x π
π
=-
≤≤
,则
2
()cos g x x π'=-
当2
(0,arcsin
)x π
∈时,()0g x '>,当2(arcsin
,)2
x π
π∈时,()0g x '< 又(0)()02g g π
==,所以()0g x ≥,即
2
sin (0)2
x x x π
π
≤≤≤
故当2
a π
≤
时,有2
()cos f x x x π
≤
+
①当02
x π
≤≤时,
2
sin x x π
≤,cos 1x ≤,所以()1sin f x x ≤+
②当
2
x ππ≤≤时,2
2()cos 1()sin()1sin 22
f x x x x x x ππ
π
π≤
+=+
---≤+ 综上可知故所求a 的取值X 围为2
a π
≤
.
【点评】试题分为两问,题词面比较简单,给出的函数比较新颖,因为里面还有三角函数,
这一点对于同学们来说有点难度,不同于平时的练习题,相对来说做得比较少.但是解决的关键还是要看导数的符号,求解单调区间.第二问中,运用构造函数的思想,证明不等式,一直以来是个难点,那么这类问题的关键是找到合适的函数,运用导数证明最值大于
或者小于零的问题得到解决.
26.【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考查的切线、单调性、极值
以及最值的问题都是课本中要求的重点内容,也是学生掌握比较好的知识点.
解:(1)由()1c ，为公共切点可得:2()1(0)f x ax a =+>,则()2f x ax '=,12k a =, 3()g x x bx =+,则2()=3g x x b '+,23k b =+,∴23a b =+①
又(1)1f a =+,(1)1g b =+,∴11a b +=+,即a b =,代入①式可得:3
3a b =⎧⎨=⎩
.
(2)
24a b =,∴设3221()()()14
h x f x g x x ax a x =+=+++
则221()324h x x ax a '=++,令()0h x '=,解得:12a x =-,26a
x =-;
0a >,∴
26
a a
-<-,
∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭
，单调递增,在2
6a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，单调递减,在6
a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
，上单调递增
①若12
a
--≤,即2a ≤时,最大值为2
(1)4a h a =-;
②若126a a -<-<-,即26a <<时,最大值为12a h ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
③若16a --
≥时,即6a ≥时,最大值为12a h ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
. 综上所述:当(]02a ∈，时,最大值为2
(1)4
a h a =-;当()2,a ∈+∞时,最大值为
12a h ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
. 27.【解析】(I)设(1)x
t e t =≥;则2222
111a t y at b y a at at at -'=++⇒=-= ①当1a ≥时,0y '>⇒1
y at b at
=+
+在1t ≥上是增函数 得:当1(0)t x ==时,()f x 的最小值为1
a b a
++
②当01a <<时,1
2y at b b at =++≥+ 当且仅当11(,ln )x
at t e x a a ====-时,()f x 的最小值为2b +
(II)11()()x x
x x f x ae b f x ae ae ae
'=++⇒=-
由题意得:
2
22
2
2
12
(2)33
3
131
(2)
2
22 f ae b a
ae e
f
ae b
ae
⎧⎧
=++==⎧⎪⎪
⎪⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨⎨'=
⎪⎪⎪
-==⎩⎪
⎪⎩
⎩。