概率论与数理统计第七章课后习题及参考答案

1 2
2
n
(ln xi
i 1
)2}，
ln L(, 2 ) n ln 2
2
n 2
ln
2
ln(
x1x2
xn
)
1 2
2
n
(ln xi
i 1
)2 ，
令
ln L
ln L
2
2 2 2
n
(ln xi ) 0
i 1
n 2
ln
2
n 2
ln
2
1 2
1 ( 2 )2
n
(ln xi
i 1
)2
x c x( 1)d x c
c
c
x
d
x
c 1
，
令
E(X
)
X
，即
X
c 1
，得
的矩估计量为
1
ˆ X ． X c
从而 的矩估计量值为 4．设总体 X 的概率密度为
ˆ x ． x c
f
(x)
6x(
3
x)
,
x
c,
0, 其他．
X1 ， X 2 ，…， X n 是来自总体 X 的一个样本． (1) 求 的矩估计量ˆ ；
解： E(X )
xf (x, )d x
1 0
x(
1)x d x
1 2
，
令
E(X
)
X
，即
X
1 2
，解得
的矩估计量为
ˆ 2X 1 ． 1 X
似然函数为 L(x1, x2 ,, xn , ) ( 1)n (x1x2 xn ) ， 0 xi 1， 1，
对数似然函数为 ln L n ln( 1) ln(x1x2 xn ) ，
(2) 试证明均匀分布
f
(x,
)
1
,0
x
,
0, 其他.
中未知参数 的最大似然估计量不是无偏的．
证：(1) 由题可知， E(ˆ) ， D(ˆ) E(ˆ2 ) [E(ˆ)]2 0 ，
所以
E(ˆ2 ) D(ˆ) [E(ˆ)]2 2 D(ˆ) ，
故 (ˆ)2 不是 2 的无偏估计．
(2)
n
xi
L(x1, x2 ,,
xn , )
x1!
i1 x2!
xn
!
e
n
，
对数似然函数为
n
ln L ln xi ln(x1!x2! xn!) n ， i 1
令
d ln L
d
1
n i 1
xi
n0，
解得 则 的极大似然估计量为
1 n
n i 1
xi
，
ˆ
1 n
n i 1
Xi
X
．
8．设总体 X 的概率密度为
d ln L d
5n
0
，所以
ln
L(
)
是
的单调增函数，
又因为 xi ，i 1,2,, n ，故当 m1iinn{xi} 时 ln L( ) 达到最大值．由此得
的极大似然估计值为
ˆ
m1iinn{xi
}
，则其极大似然估计量为
ˆ
min{
1in
X
i
}
．
9．设总体 X 服从对数正态分布，其概率密度为
f
ˆ1 X1 ；
ˆ2
1 2
(X1
X2)
；
ˆ3
1 3
(X1
2X2
X3)
；
ˆ4
1 3
(X1
X2
X3)
．
(1) 这 4 个估计中，哪些是 的无偏估计？
(2) 试比较这些估计方差．
解：由题可知 X ～ E(1 ) ，则 E( X ) ， D( X ) 2 ，从而有
E (ˆ1 )
，
E(ˆ2 )
，
E(ˆ3 )
dL
d
n exp{
n i 1
( xi
)}
0，
所以 L( ) 是 的单调增函数，从而对满足条件 xi 的任意 ，有
n
n
L( ) exp{ i1 (xi )} exp{ i1 (xi m1iinn{xi})} ，
即 L( ) 在 m1iinn{xi} 时取最大值， 故 的极大似然估计值为ˆ m1iinn{xi} ． 7．(1) 设总体 X 具有分布律
(2) ˆ 是 的无偏估计吗？ (3) 求 的方(x, )d x
0
6x2 ( 3
x)
dx
2
，
(1) 令 E( X ) X ，即 X ，由此得 的矩估计量为ˆ 2X ． 2
(2) E(ˆ) E(2X ) 2E( X ) 2E( X ) 2 ， 2
i 1
6．设 x1 ， x2 ，…， xn 是总体 X 的一组样本观测值．设 X 的概率密度为
f
(
x,
)
e( x 0,
)
,
x x
, .
其中， 未知．证明： 的极大似然估计值为ˆ m1iinn{xi} ．
证：似然函数为
3
n
L(x1, x2 ,, xn , ) exp{ (xi )} ， xi ， i 1
，
故均值 ，方差 2 的矩估计值分别为
ˆ
x
1 8
8 i 1
xi
53.002
，
ˆ 2
1 8
8 i 1
( xi
x)2
0.000006 ，
可知零件长度 X ～ N (53.002,0.000006) ，故
P( X 53.004) (53.004 53.002) (0.82) 0.7939 ． 0.000006
令
d ln L
d
n 1
n i 1
ln
xi
0，
解得
ˆ n n 1，
ln xi
i 1
从而 的极大似然估计量为
ˆ n n 1 ．
ln X i
i 1
代入观测值，得到 的矩估计值和极大似然估计值分别为
ˆ 2x 1 4 ，ˆ
1 x 13
n
n 1 1.2112 1 0.2112 ． ln xi
X
1
2
3
P
2
2 (1 )
(1 )2
其中， ( 0 1 )为未知数．已知取得了样本值 x1 1， x2 2 ， x3 1 ，求 的矩估计值和最大似然估计值．
(2) 设 X1 ， X 2 ，…， X n 是来自参数为 的泊松分布总体的一个样本，试求
的矩估计量和极大似然估计量．
解：(1) 因为 E( X ) 1 2 2 2 (1 ) 3(1 )2 3 2 ，
4 3
，
E(ˆ4 )
，
D(ˆ1 )
2
，
D(ˆ2 )
1 2
2
，
D(ˆ3 )
2 3
2
，
D(ˆ4 )
1 3
2
．
(1) 由上可知ˆ1 ，ˆ2 ，ˆ4 是 的无偏估计，ˆ3 不是 的无偏估计．
(2) 由上可知 D(ˆ4 ) D(ˆ2 ) D(ˆ3 ) D(ˆ1) ．
11．(1) 设ˆ 是参数 的无偏估计，且有 D(ˆ) 0 ，试证 (ˆ)2 不是 2 的无偏估计．
令 X 3 2 ，解得ˆ 1 (3 X ) ， 2
从而 的矩估计值为ˆ 1 (3 4) 5 ． 2 36
样本的似然函数为
令 解得 又因为
L(x1, x2 , x3, ) 2 2 (1 ) 2 2 5 (1 ) ，
dL d
2 4 (5 6 )
0
，
5， 6
d2L d 2
5
20 3 (2 3 ) 5 6
3．设总体 X 的概率密度为
f
(x)
c
x
(
1)
,
x
c,
0, 其他．
其中 c 0 为已知， 1， 为未知参数， X1 ， X 2 ，…， X n 为总体的一个样
本， x1 ， x2 ，…， xn 为一组相应的样本观测值，求未知参数 的矩估计量和估
计值．
解： E(X )
xf
(x,
)d x
n
[E(
X
) 2
i 1
E(
X
2 i
)
2E
(
X
i
)E(
X
i 1 )]
i 1
n
( 2 2 2 2 2 2 ) 2(n 1) 2 ， i 1
取
c
1 2(n 1)
，可使
c
n1 i 1
( X i1
Xi
)2
为
2
的无偏估计．
(2) 令 2 E( X 2 cS 2 ) E( X 2 ) cE(S 2 ) D( X ) [E( X )]2 c 2
Y a X1 bX 2 都是 的无偏估计，并确定常数 a ， b 使 D(Y ) 达到最小．
证：因为 E( X ) ，所以 E( X1) ， E( X 2 ) ，有
E(Y ) aE( X1) bE( X 2 ) (a b) ，
即对于任意常数 a ， b ( a b 1)，Y a X1 bX 2 都是 的无偏估计．
0
解得 ， 2 的极大似然估计值为
ˆ
1 n
n i 1
ln xi
，ˆ 2
1 n
n i 1
(ln xi
ˆ )2
，
则其极大似然估计值量为
ˆ
1 n
n i 1
ln
Xi
，ˆ 2
1 n
n i 1
(ln
Xi
ˆ )2
．
10．设总体 X 的概率密度为
f
(
x,
)
1
x
e
,
x
0,
0, x 0.
6
从该总体中抽取样本 X1 ， X 2 ， X 3 ，考虑 的如下 4 中估计：
易得ˆ
max
1in
X
i
，ˆ
的密度函数为
p(x)
n(x
) n 1
1
,0
x
,
0, 其他.
7
则 E(ˆ)
xp(x)d x
0
xn
x
n1 n1
1
dx
n n 1
，
可知 的最大似然估计量不是无偏的．
12．设从均值为 ，方差为 2 0 的总体中，分别抽取容量为 n1 ，n2 的两独立样
本．X1 和 X 2 分别是两样本的样本均值．试证对于任意常数 a ，b ( a b 1)，
53.001， 53.003 ， 53.001， 53.005 ， 53.000 ， 52.998 ， 53.002 ， 53.006 设零件长度测定值服从正态分布．求均值 ，方差 2 的矩估计值，并用矩估
计法估计零件长度小于 53.004 的概率．
解：由于
ˆ
X
，ˆ 2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
又
D(Y
)
a 2 D( X1)
b2 D( X
2)
2 n1
a2
2 n2
b2
，
记 f (a,b) D(Y ) ，构造拉格朗日函数
L(a, b, ) 2 ( a2 b2 ) (a b 1) ， n1 n2
L
a
2 2 n1
a
0
令
L
b
2 2 n2
b
0
L a b 1 0
解得
a n1 ， b n2 ，
(
x,
,
2
)
1
1
1
e 2 2
(ln x )2
,
x
0,
2 x
0,
x 0.
其中 ， 0 为未知参数， X1 ， X 2 ，…， X n 是取自该总体的一
个样本，求参数 ， 2 的极大似然估计．
解： xi 时，似然函数为
L(, 2 )
(
1 2 )n
1 x1x2 xn
exp{
概率论与数理统计第七章课后习题及参考答案 1．设 X 服从两点分布 B(1, p) ， X1 ， X 2 ，…， X n 是来自该总体的一个样本，求
未知参数 p 的矩估计量．
解： X E( X ) p ，即未知参数 p 的矩估计量为 pˆ X ． 2．在一批零件中随机抽取 8 个，测得长度如下(单位：mm)
5．设总体 X 的概率密度为
f
(x,
)
(
1) x
,0
x
1,
0, 其他．
其中 1是未知参数， X1 ， X 2 ，…， X n 是来自 X 的一个样本．试求参数
2
的矩估计和极大似然估计．现有样本观测值 0.1 ，0.2 ，0.9 ，0.8 ，0.7 及 0.7 ，
求参数 的矩估计值和极大似然估计值．
故ˆ 是 的无偏估计．
(3)
E(X 2)
x2 f (x, )dx
0
6x3
( 3
x)
d
x
3 10
2
，
从而
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 1 2 ． 20
由此得 D(ˆ) D(2 X ) 4D( X ) 4 D( X ) 4 1 2 2 ．
n
n 20 5n
n1 n2
n1 n2
即当 a n1 ， b n2 时， D(Y ) 最小．
n1 n2
n1 n2
13．设 X1 ， X 2 ，…， X n 是来自 X 的一个样本， E( X ) ， D( X ) 2 ．
n1
(1) 确定常数 c ，使 c ( X i1 X i )2 为 2 的无偏估计； i 1
f
(
x,
)
5e5( x 0,
)
,
x x
, .
X1 ， X 2 ，…， X n 是取自总体 X 的样本，试求参数 的极大似然估计．
解： xi 时，样本的似然函数为
n
L( ) 5n exp{5 (xi )} ， i 1
n
ln L( ) n ln 5 5 (xi ) ， i 1
5
因为
635 108
0，
6
4
故 5 是 L( ) 的极大值点，也是最大值点， 6
则 的极大似然估计值为ˆ 5 ． 6
(2) 参数为 的泊松分布的分布律为 f (x, ) x e ， x 0,1,2, ， x!
E( X ) ，令 X ，解得 的矩估计量为 ˆ X ．
样本的似然函数为
1 2 2 c 2 2 ( 1 c) 2 ，
n
n
取 c 1 即可． n
14．设总体 X 的均值为 ，方差为 2 ，从总体中抽取样本 X1 ， X 2 ， X 3 ，证明
8
(2) 确定常数 c ，使 X 2 cS 2 是 2 的无偏估计( X ，S 2 是样本均值和样本方差)．
解：(1)
由题可知
E(
X
i
)
，
D(
X
i
)
2
，
E
(
X
2 i
)
2
2
，
i
1,2,,
n
，