2022届人教版中考数学复习解题指导：第2讲 实数的运算与实数的大小比较

＝
x2－1 x
＝
（x＋1）（x－1） x
<0,
∴x<x1， ∴x2<x<1x.
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第2讲┃ 归类示例
变式题 如图2－1，若A是实数a在数轴上对 应的点，则关于a、－a、1的大小关系表示正确的是
(A )
图2－1
A．a＜1＜－a B．a＜－a＜1 C．1＜－a＜a D．－a＜a＜1
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第2讲┃ 归类示例
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：a5＝____9_×_1_1_1＝ ___12_×__19_－__11_1______；
(2)用含n的代数式表示第n个等式：an＝ （_2n_－__1_）__×1_（__2_n_＋_1_）__＝_12_×__2_n_1－__1－__2_n_1＋_1___(n为正整数)；
顺 若没有括号，在同一级运算中，要
符号后运算
序
从左至右依次进行运算
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第2讲┃ 考点聚焦 考点2 实数的大小比较
代数比较 规则
正数__大__于____零，负数_小__于___零，正 数__大__于____一切负数；两个正数，绝 对值大的较大；两个负数，绝对值大
的反而__小______
绝对值比较 设a, b是两负实数，则|a|>|b|⇔a<b；|a|＝
法
|b|⇔a＝b；|a|<|b|⇔a>b
其他方法
除此之外，还有平方法、倒数法等方法
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第2讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 实数的运算 命题角度： 1．实数的加减乘除乘方开方运算；
2．实数的运算在实际生活中的应用．
(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．
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第2讲┃ 归类示例
(3) a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100 ＝12×1－13＋12×13－15＋12×15－17＋12×17－19＋…＋12× 1199－2101 ＝12×1－13＋13－15＋15－17＋17－19 ＋ …＋1199－2101 ＝12×1－13＋13－15＋15－17＋71－19＋…＋1199－2101 ＝12×1－2101＝12×220010＝120001.
开奇次方，不能开偶次方
(1)零指数、负整数指
数的意义，防止以下
错误：①3－2＝ ；
②2a－2＝
(2)遇
运算性质
有理数的一切运算性质的运算律都 适用于实数运算
到绝对值一般要先去 掉绝对值符号，再进
运 先算乘方、开方，再算乘除，最后 行计算；(3)无论何种
算 算加减，有括号的要先算括号内的， 运算，都要注意先定
或“>”)．
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几何比较 在数轴上表示的两个实数，__右__边____
规则
的数总是大于__左__边____的数
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第2讲┃ 考点聚焦
考点3 比较实数大小的常用方法
差值比较法
设a, b是任意两实数，则a－b>0⇔a>b；a－ b<0⇔a<b；a－b＝0⇔a＝b
商值比较法
设a, b是两正实数，则 a/b >1⇔a>b； a/b ＝ 1⇔a＝b； a/b <1⇔a<b
(2)绝对值相等的数所表示的点到原点的距离相等； (3)实数与数轴上的点一一对应，故而常将实数及表示实数的 字母在数轴上表示出来，然后结合相反数、绝对值及数轴上数的 符号特征等相关知识来解决实数的有关问题．
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第2讲┃ 归类示例
► 类型之四 探索实数中的规律
命题角度：
第2讲┃实数的运算与实数的大小比较
第2讲 实数的运算与实数
的大小比较
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第2讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 实数的运算
内容
提醒
运 算 法 则
在实数范围内，加、减、乘、除(除 数不为零)、乘方都可以进行，但开 方运算不一定能进行，正实数和零 总能进行开方运算，而负实数只能
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第2讲┃ 归类示例
关于数式规律性问题的一般解题思路：(1)先对给出 的特殊数式进行观察、比较；(2)根据观察猜想、归纳出 一般规律；(3)用得到的规律去解决其他问题． 对数式进行观察的角度及方法：(1)横向观察：看等号左右 两边什么不变，什么在变，以及变化的数字或式子间的关 系；(2)纵向观察：将连续的几个式子上下对齐，观察上下 对应位置的式子什么不变，什么在变，以及变化的数字或 式子间的关系．
A．1＋√3 B．2＋√3 C．2√3－1 D．2√3＋1
图2－2
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第2讲┃ 归类示例
[解析] 设点 C 所对应的实数是x，
则有x－√3＝√3－(－1)，解得x＝2√3＋1.
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第2讲┃ 归类示例
(1)互为相反数所表示的点关于原点对称；
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第2讲┃ 归类示例
[解析] 解法一：采用“特殊值法”来解，令 x
＝12，则 x2＝14， x1＝2，∴1x>x>x2.
解法二：可用“差值比较法”来解，∵当 0<x<1
时，1－x>0, x－1<0, x＋1>0, ∴x－x2＝x(1－x)>0,
∴x>x2.
又
x
－
1 x
1. 探究实数运算规律； 2. 实数运算中阅读理解问题．
第 1 个等式：a1＝1×1 3＝12×1－13；
例 例 式44：
[[22001122··广广东东]]
观观察察下下列列等等式ຫໍສະໝຸດ ：2第3个等式：a2＝3×1 5＝12×13－51； 个等式：a3＝5×1 7＝12×15－71；
第 4 个等式：a4＝7×1 9＝12×17－91； …
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第2讲┃ 归类示例
► 类型之三 实数与数轴
命题角度：
1．实数与数轴上的点一一对应关系；
2．数轴与相反数、倒数、绝对值等概念结合； 3．数轴与实数大小比较、实数运算结合； 4．利用数轴进行代数式的化简．
例3 [2012·聊城]在如图2－2所示的数轴上，点B与点 C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是√3和－1，则 点C所对应的实数是( D)
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第2讲┃ 回归教材
回归教材
硬币在数轴上滚动得到的启示 教材母题 人教版八上P87T6 比较下列各组数的大小：
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第2讲┃ 回归教材
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第2讲┃ 回归教材
[点析] 实数大小比较的常用方法有二次根式被开方数 大小比较法，如(1) ；求近似值法，如(3)；平方法，如 (4)．
(2)要注意零指数幂和负指数幂的意义．负指数
幂的运算：
(a≠0，且p是正整数)，零指数幂的
运算： ＝1(a≠0)．
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第2讲┃ 归类示例
► 类型之二 实数的大小比较 命题角度：
1．利用实数的比较大小法则比较大小；
2．实数的大小比较常用方法．
例 2 当 0<x<1 时，x2，x，1x的大小顺序是( C ) A.1x<x<x2 B.x1<x2<x C．x2<x<1x D．x<x2<1x
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第2讲┃ 回归教材
中考变式
1．[2011·威海] 在实数0、－√3、√2、－2中，最小
的数是( ) A
A．－2 B．－√3 C．0 D.√2
2．[2010·嘉兴] 比较大小：2√2____<____π(填 “＞”“＜”或“＝”)．
3．[2010·郴州] 比较大小：√7______>__3(填写“<”
例1 [2012·丽水] 计算：
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第2讲┃ 归类示例
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第2讲┃ 归类示例
(1)在进行实数的混合运算时，首先要明确与实数有
关的概念、性质、运算法则和运算律，要弄清按怎样的运
算顺序进行．中考中常常把绝对值、锐角三角函数、二次
根式结合在一起考查．
[解析] 互为相反数所表示的点关于原点对称，所以a，－
a 所表示的点关于原点对称，故a＜1＜－a.
第十页，编辑于星期六：点 五十七分。
第2讲┃ 归类示例
两个实数的大小比较方法有：(1)正数大于零， 负数小于零；(2)利用数轴；(3)差值比较法；(4)商值 比较法；(5)倒数法；(6)取特殊值法，(7)计算器比较 法等．