重点高中数学求函数值域的7类题型和16种办法

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求函数值域的 7 类题型和 16 种方法
一、函数值域基本知识
1．定义：在函数 y
f (x) 中，与自变量 x 的值对应的因变量 y 的值叫做函数值，函数值的集
合叫做函数的值域（或函数值的会集） 。

2．确定函数的值域的原则
①当函数
y
f ( x) 用表格给出时，函数的值域是指表格中实数
y 的会集；
②当函数
y
f ( x)
用图象给出时，函数的值域是指图象在
y 轴上的投影所覆盖的实数
y 的集
合；
③当函数 y f ( x) 用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法规唯一确定； ④当函数 y
f ( x) 由实责问题给出时，函数的值域由问题的实质意义确定。

二、常有函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。

函数的值域取决于定义域和对应法规，不论采用什么方法球函数的值域均应试虑其定义域。

一般地，常有函数的值域：
1.一次函数 y kx b k 0 的值域为 R.
二次函数 y ax 2 bx c a 0 ，当 a 0 时的值域为 4ac b 2 , ，当 a 0 时的值域为 2.
4a
, 4ac
b 2 .，
4a
3.反比率函数 y
k k 0 的值域为 y
R y
0 .
x
4.指数函数 y a x a 0且a 1 的值域为 y y 0 .
5.对数函数 y
log a x a 0且a 1 的值域为 R.
6.正，余弦函数的值域为 1,1 ，正，余切函数的值域为 R.
三、求解函数值域的 7 种题型
题型一：一次函数 y ax b a 0 的值域（最值）
1、一次函数： y
ax b a
0 当其定义域为 R ，其值域为 R ；
2、一次函数 y ax b a 0 在区间 m, n 上的最值，只需分别求出 f m , f n ，并比较它们的
大小即可。

若区间的形式为
, n 或 m, 等时，需结合函数图像来确定函数的值域。

题型二：二次函数 f (x)
ax 2
bx c(a 0) 的值域（最值）
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1、二次函数
2、二次函数
4ac b 2 0
y
a
f (x)
ax 2
bx c(a
0)
，当其定义域为 R 时，其值域为 4a b 2
4ac 0
y a
4a
f (x) ax 2 bx c(a 0) 在区间 m, n 上的值域 (最值 )
第一判断其对称轴 x
b
与区间 m, n 的地址关系
2a
（1）若 b
m, n ,则当 a 0 时， f (
b ) 是函数的最小值，最大值为 f (m), f (n) 中较大者；
2a
2a
当 a 0时， f (
b
) 是函数的最大值，最大值为 f (m), f ( n) 中较小者。

2a
（2）若 b
m,n ,只需比较 f (m), f (n) 的大小即可决定函数的最大（小）值。

2a
特别提示：
①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②若给定的区间形式是 a,
,
,b , a,
,
, b 等时，要结合图像来确函数的值域；
③当极点横坐标是字母时，则应依照其对应区间特别是区间两端点的地址关系进行谈论。

例 1：已知 f x 2 2x 的定义域为 3, ，则 f x 的定义域为
,1 。

例 2：已知 f x
1
x 2 1 ，且 x
3,4 ，则 f x 的值域为 1,17 。

题型三：一次分式函数的值域
1、反比率函数 y
k
(k
0) 的定义域为 x x
0 ，值域为 y y
x
2、形如： y
cx
d
的值域：
ax b
（1）若定义域为 x R x
b 时，其值域为 y R y c
a
a
（2）若 x
m, n 时，我们把原函数变形为 x d
by
，尔后利用 x
m, n （即 x 的有界性），
ay c
即可求出函数的值域。

例 3：函数 y
2x 3 的值域为 ,
1
3,
；若 x
1,2
时，其值域为 1 , 1 。

3 2x 1
3
5 11
例 4：当 x
3, 1 时，函数 y
1
3x
的值域 4,
3。

（ 2）已知 f x 1
x 3
，且 x 23, ，
2x
1
2
2 x
则 f x 的值域为
,
6 。

5
例 5：函数 y
2sin x 1
的值域为
, 1 3,
；若 x
, 3 ，其值域为 1 , 2 。

3sin x 2
5
2 2
2 3
题型四：二次分式函数 y dx
2
ex c
的值域
ax 2
bx c
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一般情况下，都能够用鉴识式法求其值域。

但要注意以下三个问题：①检验二次项系数为零时，方程可否有解，若无解或是函数没心义，都应从值域中去掉该值；②闭区间的界线值也要观察达到该值时的 x 可否存在；③分子、分母必定是既约分式。

例 6： y
x 2
x 1； 1, ,
2
x 2 x 6
7
例 7： y
x
2
x 2
； y R y 1
x 2 1
例 8： y
3x ； 3 , 3
x 2 4
4 4
例 9：求函数 y x 1
x 1,
的值域
x
2
2x 1
yx 2
解：由原函数变形、整理可得： 2y 1 x
y 1 0
求原函数在区间 1, 上的值域，即求使上述方程在 1,有实数解时系数 y 的取值范围
当 y 0 时，解得： x 1
1,
也就是说， y 0 是原函数值域中的一个值 ①
当 y
0 时，上述方程要在区间
1,
上有解，
1
②
即要满足 f
1
0 或 2y 1
1 解得： 0 y
2 y
8
综合①②得：原函数的值域为：
0, 1
8
题型五：形如 y ax b
cx d 的值域这类题型都能够经过换元转变为二次函数在某区间上求值
域问题，尔后求其值域。

例 10：求函数 y
2x
4 1 x 在 x 8,1 时的值域 4,4
题型六：分段函数的值域：
一般分别求出每一分段上函数的值域，尔后将各个分段上的值域进行合并即可。

若是各个分段上
的函数图像都能够在同一坐标系上画出，从图像上即可很简单地获取函数的值域。

例 11： y x 1 x 2 3,
例 12： y
x 2
4 x 1
,5
题型七：复合函数的值域
关于求复合函数的值域的方法是：第一求出该函数的定义域，尔后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。

x 1 x 1
0,2
例 13： y
1 2 x
例 14： yx 2
3x
4 0, 5
2
四、函数值域求解的十六种求法 （1）直接法（俗名解析察见解） ：
有的函数构造其实不复杂，能够经过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。

即从
自变量 x 的范围出发，推出 y
f ( x) 的取值范围。

或由函数的定义域结合图象，或直观察看，准
确判断函数值域的方法。

注意此法重点是定义域。

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例 1：已知函数 y x 1 2 1 ， x 1,0,1,2 ，求函数的值域。

1,0,3
例 2：求函数 y x 1的值域。

[1,
)
例 3：求函数 y x 1 x 1, x ≥ 1 的值域。

2, 例 4：求函数 y
x 2
6x 10 的值域。

1,
（2）配方法：
二次函数或可转变为二次函数的函数常用此方法来还求解， 但在转变的过程中要注意等价性，
特别是不能够改变定义域。

关于形如 y ax 2 bx c a 0 或 F x
a f x
2
bf x c a 0 类的
函数的值域问题，均可使用配方法。

例 1．求函数 y 2 x 2
3 的值域。

x
解析与解答：由于
2x x 2
3 0 ，即 3 x 1， y
(x 1) 2 4 ，于是：
0( x 1) 2
4 4 ， 0 y 2 。

例 2．求函数 y
x 2
2x
4
在区间 x [ 1
,4] 的值域。

x
4
x
2
2x 4
4
2
解析与解答：由 y
配方得： y
x
x
2
6 ，
x
2
x
x
当
1
x
2 时，函数 y
x 4 2 是单调减函数，所以 6 y 181
；
4
x
4 当 2 x 4 时，函数 y
x 4 2 是单调增函数，所以 6 y 7 。

x
所以函数在区间 x [ 1
,4] 的值域是 6 y 18 1 。

4
4
（3）最值法：
关于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的值域的方法。

例 1 求函数 y=3-2x-x2 的值域。

解：由 3-2x-x2≥0，解出定义域为［ -3，1］。

函数 y 在［ -3，1］内是连续的，在定义域内由
3-2x-x2 的最大值为 4，最小值为 0。

∴函数的值域是［ 0,2］
例 2：求函数 y 2x
， x
2,2 的值域。

1
, 4
4
例 3：求函数 y
2x 2
5x
6 的值域。

, 73
8
（4）反函数法（逆求或反求法） ：
利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，经过求反函数的定义域，获取原函数的
值域。

即经过反解，用 y 来表示 x ，再由 x 的取值范围，经过解不等式，得出 y 的取值范围。

对
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于形如 y
cx d
(a 0) 的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，经过求反函数的定义域从
ax b
而获取原函数的值域。

x
1
2
例 1：求函数 y
x 的值域。

x
解得 2x
1
y ， 解：由 y
1 2x
1 2 1 y ∵ 2x
0，∴
1
y 0 ，∴ 1 y 1
1 y
∴函数 y
1 2x 的值域为 y ( 1,1)。

1 2x
（5）分别常数法：
分子、分母是一次函数得有理函数，可用分别常数法，此类问题一般也能够利用反函数法。

小结：已知分式函数 y
ax b
( c 0) ，若是在其自然定义域（代数式自己对变量的要求）内，
cx d
值域为 y y
a
；若是是条件定义域（对自变量有附加条件）
，采用部分分式法将原函数化为
c
a b
ad
c (a
d bc) ，用复合函数法来求值域。

y
c
cx d
例 1：求函数 y
1 x
的值域。

2x 5
1 x
1
(2x 5) 7 1 7
解：∵ y
2
2
2 ，
2x 5
2x 5
2 2x 5
7
1
∵
2 0 ，∴ y ，
2 x 5 2
∴函数 y
1 x
的值域为 { y | y
1
} 。

2x 5
2
（6）换元法（代数 /三角）：
关于解析式中含有根式也许函数解析式较复杂的这类函数，能够考虑运用代数或三角代换，将所给函数 化成值域简单的熟悉的简单确定的基本函数，进而求得原函数的值域。

当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

对形如 y
1 的函数，令 f x t ；形如 y ax b cx d (a, b, c, d 均为常数 , ac
0) 的函
x f
数，令 cx d
t ；形如含 a 2
x 2 的构造的函数，可利用三角代换，令 x a cos ,
0, ，或
令 x asin , , .
2 2
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例 1：求函数 y 2x
1 2x 的值域。

解：令 t
1 2x （ t
0 ），则 x 1 t 2 ，
2 ∴ y
t 2 t 1
(t
1) 2 5
2 4
∵当 t
1
，即 x
3
时， y max
5
，无最小值。

2
8
4
5
∴函数 y 2x
1 2x 的值域为 (
, ] 。

4
例 2．求函数 y
(x 2
5x 12)( x 2
5 x
4) 21 的值域。

2
9 。

解析与解答：令 t
x
2
5x
4
x 5 9
，则 t
2
4 4
y t t 8
21 t 2
8t 21
t 4 2
5，
9
时， y min
9
2
8 1
，值域为
8 1
当 t
4
5 y | y
4
4
16
16
例 3．求函数 y x
10x
x 2 23 的值域。

解析与解答：由 y x
10 x x 2 23 = x
2 x
5 2 ，令 x 5
2 cos ，
由于 2 x 5 2 0
2 2 cos 2
1 cos
1 ，
[0, ]，则 2
x 5
2
= 2 sin ，
于是 y 2 sin 2 cos 5 2 sin
5，
5
，
4
4
[ ,
]
4
4
2
1，所以 5 2 y
7 。

sin
4
2
（7）鉴识式法：
把函数转变为关于 x 的二次方程 F ( x, y) 0 ；经过方程有实数根，鉴识式 0 ，进而求得原
函数的值域。

对形如 y
a 1 x 2
b 1 x
c 1 （ a 1 、 a 2 不同样时为零）的函数的值域，平时转变为关于 x
a 2 x 2
b 2 x
c 2
的二次方程，由于方程有实根，即 0 进而求得 y 的范围，即值域。

值得注意的是，要对方程的
二次项系数进行谈论。

注意：主要适用于定义在 R 上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行谈论。

例 1：求函数 y
x 2
x 3
的值域。

x 2 x 1
解：由 y
x 2
x 3
变形得 ( y 1)x 2 ( y 1)x y 3 0 ，
x 2 x 1
当 y 1 时，此方程无解；
当 y 1 时，∵ x R ，∴， ( y 1)2 4( y 1)( y 3) 0 解得 1 y
11
，又 y 1，∴ 1
y 11
3
3
∴函数 y
x 2 x 3 的值域为 { y |1 y
11 x 2 x 1 }
3
（8）函数单调性法：
确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。

比方，
f x ax b a 0, b 0 .当利用不等式法等号不能够建马上，可考虑利用函数的单调性解
题。

x
例 1：求函数 y
x
1 2x 的值域。

解：∵当 x 增大时， 1 2x 随 x 的增大而减少， 1 2x 随 x 的增大而增大，
∴函数 y
x
1 2 x 在定义域 (
, 1
] 上是增函数。

2
∴ y 1
1 2 1
1 ，
2
2 2
∴函数 y
x
1 2 x 的值域为 (
,1
]。

1
在区间 x
2
例 2．求函数 y
x
0,
上的值域。

x
解析与解答：任取 x 1 , x 2
0,
，且 x 1 x 2 ，则
f x 1
f x 2
x 1 x 2 x 1 x 21
，由于
x 1 x 2 ，所以： x 1 x 2 0, x 1x 2 0 ，
x 1 x 2
当 1 x 1 x 2 时， x 1 x 2 1 0 ，则 f x 1 f x 2 ；
当 0 x 1 x 2 1 时， x 1 x 2 1 0 ，则 f x 1
f x 2 ；而当 x 1时， y min 2
于是：函数 y x
1
在区间 x 0,
上的值域为 [2,
) 。

x
构造相关函数，利用函数的单调性求值域。

例 3：求函数 f x 1 x
1 x 的值域。

解析与解答：由于
1 x 0 1 x 1，而 1
x 与 1 x 在定义域内的单调性不一致。

现
1 x 0
构 造 相 关 函 数 g x 1 x
1 x ， 易 知 g(x) 在 定 义 域 内 单 调 增 。

g max g 1
2 ，
g
min
g 1
2 ， g x
2 ， 0 g 2 x
2 ，
又 f 2 x
g 2 x
4 ，所以： 2
f 2 x
4 ， 2 f x 2 。

（9）基本不等式法
利用基本不等式求函数值域 ,其题型特色解析式是和式时要求积为定值， 解析式是积时要求和
为定值。

利用基本不等式 a b 2 ab ，用此法求函数值域时，要注意条件 “一正，二定，三相等 ”如. 利用 a b 2 ab 求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件① a 0, b 0 ;② a b 或ab 为定
值；③取等号成立的条件 a
b .三个条件缺一不能。

其他，有时需要合理地添项和拆项和两边平
方等技巧 ,添项和拆项的原则是要使最后的乘积结果中不含自变量
,比方求函数
y x
k
x n (k 0, n N ) 的值域。

例 1 求函数 y
x 2
的值域 .
x 1
解: y
x 2 x
1
1 x 1
x 1
2
,当且仅当 x 1时 " "成立 .故函数的值域为 y [2, ) .
此法能够灵便运用 ,关于分母为一次多项式的二次分式 ,自然能够运用鉴识式法求得其值域 ,但
是若能变通地运用此法 ,能够省去鉴识式法中介二次不等式的过程 .
例 2：求函数的值域： y
2x 2 x 1 x 1 .
2x 1 2
2
x 2x 1 1
1
解： y
2x x 1
1
x
1
2
1
2x 1 x
1
2x 1
2x 2 1
2
x
2
1
1 1 2
2 时，即 x 时等号成立，
当且仅当 x
1 2
2
x
2
y
2
1
，所以元函数的值域为 1
2,
.
2
2
例 3.求函数
的值域。

解：原函数变形为：
当且仅当
即当
时
，等号成立
故原函数的值域为：
例 4.求函数 的值域。

解：
当且仅当，即当时，等号成立。

由可得：
故原函数的值域为：
（10）函数有界性法：
利用某些函数有界性求得原函数的值域。

关于对形如 y a sin x c
，由于正余弦函数都是有界
bcos x d 函数，值域为 [-1， 1]，利用这个性质可求得其值域。

例 1：求函数y x2 1
的值域。

x2 1
解：由函数的解析式能够知道，函数的定义域为R ，对函数进行变形可得( y 1)x2 ( y 1) ，
∵ y 1 ，∴ x2 y 1
（ x R ，y 1 ），
y 1
∴y 1
0，∴ 1 y 1 ，s y 1
∴函数 y x2 1
的值域为 { y | 1 y 1}
x2 1
形如 sin f ( y), x2 g( y),由于 sin 1, x 2 0可解出 Yr 范围 ,进而求出其值域或最值。

例 2．求函数y 2x 1
的值域
2x 1
解：由 y 2 x 1 得2x y 1
2 x 1 y 1
例 3：求函数y 2cos x 1
的值域。

,
1
3,
3cos x 2 5
例 4：求函数y 2 sin x
的值域。

1
,3
2 sin x 3
（11）数型结合法：
若是所给函数有较显然的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的
图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域，如由 y1 y2 可联想到两点x1, y1与
x2 x1
x2 , y2连线的斜率或距离。

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例 1：求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域。

解法1：将函数化为分段函数形式：
2x 1( x1)
y3( 1 x 2)，画出它的图象，由图象可知，函2x 1( x2)
y
3
数的值域是-1 O2x
{ y|y3} 。

解法 2（几何法或图象法）：∵函数 y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点 x 到两定点 -1，2 的距离之和，∴易见 y 的最小值是 3，∴函数的值域是 [3，+ ] 。

如图
x -1 O 1 2 -1 Ox 1 2 -1 O 12 x ）
例 2．求函数 y x2 4x 5 x2 4x 8 的值域。

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

解：原函数变形为 f ( x)( x 2) 21( x 2)222
作一个长为 4、宽为 3 的矩形 ABCD，再切割成 12 个单位正方形。

设HK= x ,则
EK=2x ,KF=2x ,AK= ( x 2) 222 ,
KC= (x 2)2 1 。

由三角形三边关系知， AK+KC ≥AC=5。

当 A、K、C 三点共线时取等号。

∴原函数的知域为｛ y|y≥5｝。

例 3．求函数y 1 x1 x 的值域。

解析：令 u 1 x ， v 1 x ，则 u 0, v 0， u 2 v2 2 ，u v y，原问题转变为：当直线 u v y 与圆u2 v 2 2 在直角坐标系 uov 的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。

由图 1 知：当 u v y 经过点(0, 2) 时， y m in 2 ；
当直线与圆相切时， 2 2 2
y max OD 2 。

OC 所以，值域为 2 y 2
V
D
B
2 C
E
O A U
2
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例 4.求函数 yx2 6x+13 x2 4x+5 的值域。

解：将函数变形为 y ( x 3)2 (0 2)2 ( x 2)2 (0 1)2
上式可看作定点A（3，2）到点 P（x，0）的距离与定点B( 2,1)到点P( x,0)的距离之差。

即
y AP BP
由图可知：（1）当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时，如点 P ，则构成ABP ，
依照三角形两边之差小于第三边，有AP BPAB(3 2) 2 (2 1)2 26
即26 y 26
（2）当点 P 恰好为直线AB 与 x 轴的交点时，有AP BP AB26 综上所述，可知函数的值域为 ( 26, 26]
注：求两距离之和时，平时需要将函数式变形，使 A、 B 两点在 x 轴
的两侧，而求两距离之差时，则要使A， B 两点在 x 轴的同侧。

（12）复合函数法：
对函数 y f (u), u g( x) ，先求 u g (x) 的值域充当 y f (u) 的定义域，进而求出 y f (u) 的
值域的方法。

例 1、求函数y 3x 的值域
3x 1
（复合函数法）设 3 x 1 t ，
则 y 3x 1 1 1
3x 1 1
1
t 1
3x 1 1 t
例 2：求函数 y log 1 ( 2x2 5x 3) 的值域。

49
,
2 8
（13）非负数法
依照函数解析式的构造特色，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。

例 1、(1)求函数 y 16 x2的值域。

(2)求函数y x2 3
的值域。

x2 1 解析： (1) 0 16 x2 16，0 16 x2 4
故所求函数的值域为 y 0，4 。

(2) x2 1 0 ，原函数可化为 y( x2 1) x 2 3 ，即 x2 (1 y) y 3 ，当 y 1时， x2y
3 ，1 y
精心整理
x2 0 ，y 3 0 ，解得 3 y 1
1 y
又 y 1，所以 3 y 1，
故所求函数的值域为 y [ 3，1）。

（不等式性质法）
例 2：求以下函数的值域：
（1）y= 6
2 ；（2）y=
2x
2
4x
10
；（3）y= 6
x 2 x2 2x 2 2sin x 1
（4）y=10- 16 x2 ；（2）y= 3( 1 )x 4( x 1) ；（3）y= log 2 ( x21 )( x 1 )
2 4 2 （14）导数法
若函数 f
在(a,b) 内可导能够利用导数求得 f 在 (a,b) 内的极值尔后再计算 f 在 a b 点的极限, , ,
值.进而求得f的值域 .
例 1：求函数 f ( x) x 3 3x在 ( 5,1) 内的值域.
解析 :显然f 在 ( 5,3) 可导，且 f ( x) 3x 2 3 .由 f ( x) 0 得 f 的极值点为 x 1, x 1.
f ( 1) 2, f (1 0) 2 . f ( 5 0) 140 .
所以 ,函数f 的值域为 ( 2,140) .
（15）“平方开方法”
求函数值域的方法有很多种，如：“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“鉴识式法”以及“平方开方法”等等 .每一种方法都适用于求某一类拥有共同特色的函数的值域 .本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特色以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题 .
1.适合函数特色
设 f (x)（x D ）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它平时拥有以下三个特色：（1） f (x) 的值总是非负，即关于任意的x D ， f (x) 0 恒成立；
（2） f (x) 拥有两个函数加和的形式，即 f (x) f1 ( x) f 2 (x) （ x D ）；
（3）f (x)的平方能够写成一个常数与一个新函数加和的形式，即
f 2 ( x) [ f
1 (x)
f 2 ( x)] 2 c
g (x) （ x D ，c为常数），
其中，新函数g (x) （ x D ）的值域比较简单求得.
2.运算步骤
精心整理
若函数 f ( x) （ x D ）具备了上述的三个特色，则能够将
f (x) 先平方、再开方，进而获取
f ( x)
（ x D ，
c 为常数） .尔后，利用 g( x) 的值域即可轻易地求出
f ( x) 的值域 .比方
c g( x)
g ( x) [ u , v]，则显然 f ( x) [ c u , c v] .
3.应用四例
能够应用 “平方开方法 ”求值域的函数不胜列举 ,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决详尽问题时的技巧 .
例 1 求函数 f (x)
b x x
a （ x [a,
b ] ， a b ）的值域 .
解：第一，当 x [ a, b] 时， f ( x) 0 ；
其次， f (x) 是函数 f 1 ( x)
b x
与 f 2 ( x) x a 的和；
最后， f 2 ( x) b a 2 (b x)( x a) b a
2 x 2
(a b) x ab 可 见， 函 数 f ( x) 满 足 了 采 用 “平 方 开 方 法 ”的 三 个 特 征 . 于 是 ， 对 f ( x) 平 方 、 开 方 得
f ( x) b 2
( a
b)
x （a bx [ a, b] ）.这里， g(x) 2 x 2 (a b) x ab （ x [a,b ] ）.对 g( x) 根
a 2x 号 下面 的二 次函 数采 用 “配 方 法 ”， 即可求 得 g( x) 的值域为 [ 0,
b a ]. 于是， f (x) 的 值域 为
[ b
a , 2 (
b .
a ) ]
例 2 求函数 f ( x)
b kx
kx
a （ x [ a , b
] ， a b ， k 0 ）的值域 .
k k
解：显然，该题就是例 1 的实行，且此题的 f (x) 也满足了采用 “平方开方法 ”的三个特色 .于是，
对 f ( x)
平 方 、 开 方 得 f ( x)
b a 2
k x
2 k (a b) x ab （ x [ a , b
] ） . 这 里 ，
2
k k
g(x) 2
k 2 x
2
k(a b) x ab （ x [ a , b
] ）.对 g( x) 根号下面的二次函数采用 “配方法 ”，即可求得 g ( x)
k k
的值域仍为 [0, b a] .于是， f ( x) 的值域也仍为 [
b a,
2( b a )] .
例 3 求函数 f ( x) |sin x |
| cos x | （ x R ）的值域 .
解：参照例 1 的考据步骤，显然，此题的 f ( x) 也满足了采用 “平方开方法 ”的三个特色 .于是，
对 f ( x) 平方、开方得 f (x)
1 | sin
2 x | （ x R ）.这里， g (x) | sin 2 x | （ x R ）.易知， g ( x) 的值域为 [0,1] .于是， f (x) 的值域为 [1,
2] .
例 4 求函数 f ( x) sin x cos x sin x cos x （ x R ）的值域 .
解：参照例 1 的考据步骤，显然，此题的 f ( x) 也满足了采用 “平方开方法 ”的三个特色 .于是，
精心整理
对 f ( x) 平方、开方得 f (x)
2 2 | cos2x | （ x R ）.这里， g( x)
2| cos2 x |（ x R ） .易知， g (x) 的值
域为 [0,2] .于是， f (x) 的值域为 [
2,2] .
例 5 求函数 yx 3
5 x 的值域
解：（平方法）函数定义域为： x
3,5
平方法）函数定义域为： x 3,5
（16）一一照射法
原理：由于 y ax b (c 0) 在定义域上 x 与 y 是一一对应的。

故两个变量中， 若知道一个变量
cx d
范围，就可以求另一个变量范围。

例 1.求函数 y 1
3x
的值域。

2x 1
解：∵定义域为
x | x
1
或 x
1
2
2
由 y 1
3x
得 x
1 y
2y 3
2x 1
故 x
1 y 1
或 x
1 y 1
2y 3
2
2y 3 2
解得 y
3
或
y 3
2
2
故函数的值域为
,
3
3
2
,
2
（17）其他方法
其实，求解函数值域的方法，只但是是从解题过程中，对重点环节或典型步骤的一种称呼。

实质上，其解法也远非上面总结的 16 种方法，还有倒数法等。

其他我们还要理解：多种方法的配合使用，以及一题采用多种方法，在不断积累过程中，领悟不同样方法的长短，和练就依照实责问题选择较为简捷方法的能力。

例 1.求函数 y
x
2
的值域。

x 3
解：令 t
x 2 (t
0) ，则
x 3 t 2 1
y t 1 1 1 （ 1）当 t
0 时， t 2
1
1 2 ，当且仅当 t=1，即 x
1时取等号，所以 0 y
t
2
t
（ 2）当 t=0 时， y=0。

综上所述，函数的值域为：
0,
1
2
注：先换元，后用不等式法
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例 2.求函数 y 1 x
2x 2 x 3 x 4 的值域。

1 2x
2 x 4
1 2x
2
x
4
x x 3
1 x
2
2
x
解： y
x 4 1 2x 2
x 4
1 x
2 1 x 2
1 2x 2
，则
1
x 2 2
令
x tan
cos 2
2
1 x 2
∴当
sin
1
时，
y max
17
4
16
当 sin 1时，
y min
2
此时
tan 都存在，故函数的值域为
2,
17
2
16
注：此题先用换元法，后用配方法，尔后再运用 sin 的有界性。

例 3.求函数 y
2x (x 0) 的值域
解：（图象法）如图，值域为 0,1
1 x
2
2x
例 4.求函数 y
的值域
3
1 t
解（复合函数法）：令 t
x 2
2x
( x 1)2 1 ，则 y
(t 1)
3
1
由指数函数的单调性知，原函数的值域为
,
例 5.求函数 y x 1 x 2 的值域
解（三角代换法）： 1 x 1
设 x cos
0,
小结：
（1）若题目中含有 a
1，则可设
（2）若题目中含有 a 2 b 2 1
则可设 a cos , b sin
，其中 0 2
（3）若题目中含有 1 x 2 ，则可设 x cos ，其中 0
（4）若题目中含有 1 x 2 ，则可设 x
tan ，其中
2 2
（ 5）若题目中含有 x y r ( x
0, y 0,r
0) ，则可设 x
r cos 2 , yr sin 2。

其中
0 ,
2
2
x 1
例 6、求函数y的值域
解法一：（逆求法）x2 1 y 0 1 y 1
1 y
解法二：（复合函数法）设 x 2 1 t ，
则 y 1
2 2
(t 1)
1
t
x2 1
解法三：（鉴识式法）原函数可化为 ( y 1) x 2 0 x y 1 0
1）y 1时不成立
2）y 1时，0 0 4( y 1)( y 1) 0 1 y 1
综合 1）、 2）值域{ y | 1 y 1}
解法四：（三角代换法）x R 设 x tan , ，则
2 2
原函数的值域为 { y | 1 y 1}
小结：
已知分式函数 y ax 2 bx c
(a2 d 2 0) ，若是在其自然定义域内可采用鉴识式法求值
dx 2 ex f
域；若是是条件定义域，用鉴识式法求出的值域要注意弃取，也许能够化为
二次式
(或 y 一次式
y ) 的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最一次式二次式
小值；若是不满足用基本不等式的条件，转变为利用函数y x a
(x 0) 的单调性去解。

x
注：此题先用换元法，后用配方法，尔后再运用sin 的有界性。

总之，在详尽求某个函数的值域时，第一要仔细、仔细观察其题型特色，尔后再选择适合的
方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，尔后才考虑用其他各种特别方法。

五、与函数值域相关的综合题
例 1 设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留 8 cm 的空白，左右各留 5 cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？
2 3
若是要求λ∈［,］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
2 设纸张面积为 2
解设画面高为 xcm,宽为λx cm,则λx
Scm ,
=4840,
2
则 S=(x+16)(λx +10)=λx +(16λ+10)x+160,
将 x=
22 10 代入上式得 S=5000+44 10 (8 + 5
),
8cm
当 8 = 5
,即 λ= 5( 5
<1)时 S 获取最小值
8 8
4840
5 5cm
5cm
此时高 x=
×88=55 cm
=88 cm,
宽 λx =
8
8cm
若是 λ∈［ 2
, 3 ］，可设 2
≤λ1<λ2≤3
,
3 4
3 4 则由 S 的表达式得
又 12≥
2
5
,故 8－ 5
>0,
3 8
1
2
∴S(λ1 － S( λ2 ∴ λ在区间［ 2 , 3
］内单调递加
) )<0, S( )
3 4
进而关于 λ∈［ 2 , 3
］,当 λ= 2
时， S(λ)获取最小值
3 4
3
答画面高为 88 cm,宽为 55 cm 时，所用纸张面积最小若是要求 λ∈［ 2 , 3
］,当 λ= 2
时，所用
3 4 3
纸张面积最小
例 2 已知函数 f(x)= x
2
2x a
,x ∈［ 1,+ ∞)
x
(1)当 a= 1
时，求函数 f(x)的最小值
2
(2)若对任意 x ∈［ 1,+ ∞) ,f(x)>0 恒成立，试求实数 a 的取值范围
解(1)当 a= 1 时， f(x)=x+ 1
+2
2
2x
∵f(x)在区间［ 1，+∞) 上为增函数，
∴f(x)在区间［ 1，+∞) 上的最小值为 f(1)=
7
2
(2)解法一在区间［ 1，+∞) 上，
f(x)= x 2 2x a
>0 恒成立
2
恒成立
x +2x+a>0 x
设 y=x 2+2x+a,x ∈［ 1,+ ∞)
∵ y =x 2+2x+a=(x+1)2+a －1 递加，
∴当 x=1 时， y min =3+a,当且仅当 y min =3+a>0 时，函数 f(x)>0 恒成立，
故 a>－3
解法二 f(x)=x+ a
+2,x ∈［ 1,+ ∞)
x
当 a ≥0时，函数 f(x)的值恒为正；
当 a<0 时，函数 f(x)递加，故当 x=1 时， f(x)min =3+a,
精心整理
当且仅当 f(x)min =3+a>0 时，函数 f(x)>0 恒成立，故 a>－ 3
例 3 设 m 是实数，记 M={ m|m>1}, f(x)=log 3(x 2－ 4mx+4m 2
+m+
1
)
m 1
(1)证明当 m ∈ M 时，f(x)对所有实数都有意义；反之， 若 f(x)对所有实数 x 都有意义，则 m ∈ M (2)当 m ∈M 时，求函数 f(x)的最小值
(3)求证对每个 m ∈M,函数 f(x)的最小值都不小于 1
(1)证明先将 f(x)变形 f(x)=log 3［(x － 2m)2
+m+
1
］,
m
1
当 m ∈ M 时， m>1,∴ (x －m)2
+m+
1 m
1
故 f(x)的定义域为 R
>0 恒成立，
反之，若 f(x)对所有实数 x 都有意义，则只须
x 2
－ 4mx+4m 2
+m+
1
>0,令
＜0,即 16m 2－
m 1
4(4m 2+m+ 1
m 1
)＜0,解得 m>1,故 m ∈M
(2)解设 u=x 2
－4mx+4m 2
+m+
1
,
m 1
∵y=log 3u 是增函数，∴当 u 最小时， f(x)最小
而 u=(x －2m)2
+m+ 1
,
m 1
显然，当 x=m 时， u 取最小值为 m+
1 , m
1
此时 f(2m)=log 3(m+
1
)为最小值
m
1
(3)证明当 m ∈ M 时， m+ 1
=(m －1)+
1
+1≥ 3,
m 1
m 1
当且仅当 m=2 时等号成立 ∴ l og 3(m+ 1
) ≥ log 33=1
m 1。