数学_2014年河南省中原名校高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(含答案)

2014年河南省中原名校高考数学模拟试卷（文科）（5月份）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知复数z =
2+i 1−i
，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D 第四象限
2. 已知集合A ={x|x 2−2x −3>0}，则集合N ∩∁R A 中元素的个数为（ ） A 无数个 B 3 C 4 D 5
3. 执行图题实数的程序框图，如果输入a =2，b =2，那么输出的a 值为（ ）
A 44
B 16
C 256
D log 316
4. 设非零向量a →
，b →
，c →
，满足|a →
|=|b →
|=|c →
|，a →
+b →
=c →
，b →
与c →
的夹角为（ ） A 60∘ B 90∘ C 120∘ D 150∘
5. 已知正方形ABCD ，其中顶点A 、C 坐标分别是(2, 0)、(2, 4)，点P(x, y)在正方形内部（包括边界）上运动，则z =2x +y 的最大值是（ ） A 10 B 8 C 12 D 6
6. 设函数f(x)=cos(ωx +φ)−√3sin(ωx +φ)，(ω>0, |φ|<π
2)且其图象相邻的两条对称轴为x =0，x =π
2，则（ ）
A y =f(x)的最小正周期为2π，且在(0, π)上为增函数
B y =f(x)的最小正周期为π，且在 (0, π)上为减函数
C y =f(x)的最小正周期为π，且在(0, π
2)上为增函数 D y =f(x)的最小正周期为π，且在(0, π
2)上为减函数 7. 函数f(x)=2|log 2x|−|x −1
x |的大致图象为（ ）
A B C D
8. 下列命题正确的个数是（ ）
①命题“∃x 0∈R ，x 02
+1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1≤3x”；
②函数f(x)=cos 2ax −sin 2ax 的最小正周期为π”是“a =1”的必要不充分条件；
③x 2+2x ≥ax 在x ∈[1, 2]上恒成立⇔(x 2+2x)min ≥(ax)min 在x ∈[1, 2]上恒成立；
④“平面向量a →
与b →
的夹角是钝角”的充分必要条件是“a →⋅b →
<0”． A 1 B 2 C 3 D 4 9. 设双曲线
x 2a 2
−
y 2b 2
=1(a >0, b >0)，离心率e =√2，右焦点F(c, 0)．方程ax 2−bx −
c =0的两个实数根分别为x 1，x 2，则点P(x 1, x 2)与圆x 2+y 2=8的位置关系（ ） A 在圆外 B 在圆上 C 在圆内 D 不确定
10. 点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，AB ＝BC =√2，AC ＝2，若球的表面积为25π4
，则四
面体ABCD 体积最大值为（ ） A 1
4
B 1
2
C 2
3
D 2
11. 已知△ABC 外接圆O 的半径为1，且OA →⋅OB →
=−12
．∠C =π
3
，从圆O 内随机取一个点M ，
若点M 取自△ABC 内的概率恰为
3√3
4π
，则△ABC 的形状为的形状为（ ）
A 直角三角形
B 等边三角形
C 钝角三角形
D 等腰直角三角形
12. 已知奇函数f(x)和偶函数g(x)分别满足f(x)={2x −1(0≤x <1)
1
x
(x ≥1)
，g(x)=−x 2+4x −4(x ≥0)，若存在实数a ，使得f(a)<g(b)成立，则实数b 的取值范围是（ ） A (−1, 1) B (−13, 1
3) C (−3, −1)∪(1, 3) D (−∞, −3)∪(3, +∞)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置． 13. 设a 为实数，函数f(x)=x 3+ax 2+(a −3)x 的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y =f(x)在原点处的切线方程是________．
14. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为________．
15. 已知函数f(x)=
1x−m
，若存在α∈(0, π
2
)，使f(sinα)+f(cosα)=0，则实数m 的取值范
围是________．
16. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，己知F 1，F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2=60∘，则这 一对相关曲线中椭圆的离心率是________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 等比数列{a n}中，a n>0(n∈N∗)，且a1a3=4，a3+1是a2和a4的等差中项，若b n= log2a n+1
（1）求数列{b n}的通项公式；
（2）若数列{c n}满足c n=a n+1+1
，求数列{c n}的前n项和．
b2n−1⋅b2n+1
18. 某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人．（1）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？（2）4名成员随机分成两组，每组2人，一组负责收集成绩，另一组负责数据处理．求学生甲分到负责收集成绩组，学生乙分到负责数据处理组的概率．
．
附：K2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
19. 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G，H分别是CE和CF的中点．
（1）求证：AF // 平面BDGH：
（2）求V E−BFH．
20. 平面内动点P(x, y)与两定点A(−2, 0)，B(2, 0)连接的斜率之积等于−1
，若点P的轨迹
4
, 0)，直线l交曲线E于M，N两点．
为曲线E，过点Q(−6
5
（1）求曲线E的方程，并证明：∠MAN是一定值；
（2）若四边形AMBN的面积为S，求S的最大值．
21. 已知函数f(x)的定义域是(0, +∞)，f′(x)是f(x)的导函数，且xf′(x)−f(x)>0在(0, +∞)上恒成立．
（1）求函数F(x)=f(x)
的单调区间．
x
（2）若函数f(x)=lnx+ax2，求实数a的取值范围
<1．
（3）设x0是f(x)的零点，m，n∈(0, x0)，求证：f(m+n)
f(m)+f(n)
【选做题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】
22. 如图，圆O的直径AB＝10，P是AB延长线上一点，BP＝2，割线PCD交圆O于点C，D，
过点P 做AP 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ． （1）求证：∠PEC ＝∠PDF ； （2）求PE ⋅PF 的值．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23. 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为{x =1+tcosα
y =tsinα (t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程为
ρsin 2θ=4cosθ．
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求|AB|的最小值．
【选修4-5：不等式选讲】
24. 已知f(x)=|ax +1|，a ≠0，不等式f(x)≤3的解集是{x|−1≤x ≤2} （1）求a 的值； （2）若g(x)=f(x)+f(−x)
2
，g(x)<|k|存在实数解，求实数k 的取值范围．
2014年河南省中原名校高考数学模拟试卷（文科）（5月份）答案
1. D
2. C
3. C
4. A
5. A
6. D
7. D
8. B
9. C 10. C 11. B 12. C
13. 3x +y =0 14. 4π
3
15. (1
2,√2 2
]
16. √3
3
17. 解：（1）设等比数列{a n}的公比为q．
由a1a3=4可得a22=4
因为a n>0，所以a2=2
依题意有a2+a4=2(a3+1)，得2a3=a4=a3q 因为a3>0，所以，q=2
所以数列{a n}通项为a n=2n−1，
所以b n=log2a n+1=n；…
（2）设数列{c n}的前n项和为S n．
∵ c n=a n+1+1
b2n−1⋅b2n+1=2n+1
2
(1
2n−1
−1
2n+1
)…
∴ S n=2(1−2n)
1−2+1
2
(1−1
3
+1
3
−1
5
+ (1)
2n−1
−1
2n+1
)=2n+1−2+n
2n+1
…
18. 解：（1）由题意可得列联表：
因为K2=800(60×500−100×140)2
160×640×200×600
=16.667>10.828．
所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系．…
（2）设其他学生为丙和丁，4人分组的所有情况如下表
分组的情况总共有6种，学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据处理占2种，所以学生甲负
责收集成绩且学生乙负责数据处理的概率是P=2
6=1
3
．…
19. （1）证明：设AC∩BD=O，连接OH，在△ACF中，因为OA=OC，CH=HF，
所以OH // AF，
又因为OH⊂平面BDGH，AF⊄平面BDGH，所以OH // 平面BDGH．…
（2）解：因为四边形是正方形， 所以AC ⊥BD ．
又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ∩平面ABCD =BD ， 且AC ⊂平面ABCD ， 所以AC ⊥平面BDEF…
则H 到平面BDEF 的距离为CO 的一半
又因为AO =√2，三角形BEF 的面积1
2×3×2√2=3√2，
所以V E−BFH =V H−BEF =1
3×3√2×
√22
=1…
20. 解：（1）设动点P 坐标为(x, y)，当x ≠±2时， 由条件得：
y
x−2⋅y
x+2
=−1
4，化简得x 2
4+y 2=1，(x ≠±2)， ∴ 曲线E 的方程为：
x 24
+y 2=1，(x ≠±2)．…
（说明：不写x ≠±2的扣1分） 由题可设直线MN 的方程为x =ky −6
5， 联立方程组{x =ky −6
5x 2
4
+y 2=1
，化简得：(k 2+4)y 2−
125
ky −64
25=0，
设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则y 1y 2=−64
25(k 2+4)，y 1+y 2=12k
5(k 2+4)，…
又A(−2, 0)，则AM →
⋅AN →
=(x 1+2, y 1)•(x 2+2, y 2)=(k 2+1)y 1y 2+4
5
k(y 1+y 2)+
1625
=0，
∴ ∠MAN =90∘，∴ ∠MAN 的大小为定值90∘．… (II)S =1
2|AB|⋅|y 1−y 2|
=1
2|2+2|⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =2√(12k 5(k 2+4))2+4×6425(k 2+4) =8√
25k 2+64(k 2+4)2
．
令k 2+4=t ，(t ≥4)，∴ k 2=t −4， ∴ S =8√
25t−36t 2
，设f(t)=
25t−36t 2
， ∴ f ′(t)=
−25−2t(25t−36)
t 4
=
−25t+72
t 3
，
∵ t >4，∴ f′(t)<0，∴ y =f(t)在[4, +∞)上单调递减． ∴ f(t)≤f(4)=
100−3616
=4，
由t =4，得k =0，此时S 有最大值16．…
21. 解：（1）根据题意，对于x ∈(0, +∞)，F′(x)=
xf′(x)−f(x)
x 2
>0；
∴ F(x)在(0, +∞)上单调递增，(0, +∞)是F(x)的单调递增区间． （2）f′(x)=1
x +2ax ， ∴ x(1
x +2ax)−lnx −ax 2>0；
∴ ax 2−lnx +1>0； ∴ a >
lnx−1x 2
，
令g(x)=lnx−1x 2
，g′(x)=
3−2lnx x 3
，
令
3−2lnx x 3
=0得：x =e 3
2；
∴ x ∈(0, e 3
2)时，g′(x)>0；x ∈(e 3
2, +∞)时，g′(x)<0； ∴ x =e 3
2时，g(x)取到极大g(e 3
2)=1
2e −3
2，也是最大值； ∴ a 的取值范围是(1
2e −3
2, +∞)． （3）根据（1）知在(0, x 0)上，f(x)x
是增函数，
∴ x ∈(0, x 0)时，
f(x)x
<
f(x 0)x 0
=0，∴ f(x)<0；
∵ m +n >m ，m +n >n ∴
f(m+n)m+n
>
f(m)m
，
f(m+n)m+n
>
f(n)n
．
∴ f(m)<
mf(m+n)m+n
①f(n)<
nf(m+n)m+n
②． ∴ ①+②得：f(m)+f(n)<mf(m+n)m+n
+
nf(m+n)m+n
=f(m +n)．
∴ f(m+n)
f(m)+f(n)<1．
22. 证明：连结BC ，∵ AB 是圆O 的直径，∴ ∠ACB ＝∠APE ＝90∘， ∴ P 、B 、C 、E 四点共圆． ∴ ∠PEC ＝∠CBA ．
又∵ A 、B 、C 、D 四点共圆，∴ ∠CBA ＝∠PDF ， ∴ ∠PEC ＝∠PDF −−−−
∵ ∠PEC ＝∠PDF ，∴ F 、E 、C 、D 四点共圆． ∴ PE ⋅PF ＝PC ⋅PD ＝PA ⋅PB ＝2×12＝24．----
23. 解：（1）由ρsin 2θ=4cosθ，得(ρsinθ)2=4ρcosθ， ∴ 曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x ．
（2）将直线l 的参数方程代入y 2=4x ，得t 2sin 2α−4tcosα−4=0． 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2， 则t 1+t 2=
4cosαsin 2α
，t 1t 2=−
4sin 2α
，
∴ |AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√(4cosαsin 2α
)2
+
16sin 2α
=
4sin 2α
，
当α=π
2时，|AB|的最小值为4．
24. 解：（1）由|ax +1|≤3得：−4≤ax ≤2；
当a >0时，−4
a
≤x ≤2
a
，∵ 原不等式的解集是{x|−1≤x ≤2}，
∴ {−4
a =−12a
=2，该方程组无解；
当a <0时，2
a
≤x ≤−4
a
，原不等式的解集是{x|−1≤x ≤2}，
∴ {2a
=−1
−4a
=2
，解得a =−2．… （2）由题：g(x)=
f(x)+f(−x)
2
=
|−2x+1|+|2x+1|
2
=|x −12|+|x +1
2|，
因为g(x)<|k|存在实数解，只需|k|大于g(x)的最小值，
由绝对值的几何意义，g(x)=|x −1
2
|+|x +1
2
|≥|x −12
−(x +12
)|=1，所以|k|>1．
解得：k <−1或k >1…。