北京市高三数学一模分类汇编5 立体几何 文

2012北京市高三一模数学文分类汇编：立体几何
【2012年北京市西城区高三一模文】5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ，其三
视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）
（A ）2（B ）2（C ）28cm （D ）24cm 【答案】A
【解析】正六棱柱的左视图是一个以AB 长为宽，高为2的矩形，32=AB
所以左视图的面积为34232=⨯，选A.
【2012北京市门头沟区一模文】己知某几何体的三视图如右图所示，则其体积为
(A)
【答案】A
【2012北京市海淀区一模文】（12已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那
么此三棱锥的体积是 ，左视图的面积是
. 俯视图
【答案】
3
2
【2012北京市房山区一模文】3．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为
( )
【答案】A
【2012北京市东城区一模文】（9）已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是
.
【答案】
4
3
【2012北京市朝阳区一模文】10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .
（A ）
3
2 （B ）2 （C ）4
（D ）5
【答案】
32
【2012北京市朝阳区一模文】5. 关于两条不同的直线m ,n 与两个不同的平面α,β，下列命题正确的是 A ．βα//,//n m 且βα//，则n m // B ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则m //n C ．βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥
D ．βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //
【答案】C
【2012北京市丰台区一模文】4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
（ ）
A ．202π-
B ．2203π-
C ．2403
π-
D ．4
403
π-
【答案】B
【2012北京市石景山区一模文】4.设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下
列命题正确的是（ ）
A ．αα//,//,//n m n m 则若
B ．βαγβγα//,,则若⊥⊥
C ．n m n m //,//,//则若αα
D ．n m n m ⊥⊥则若,//,αα
【答案】D
【解析】根据线面垂直的性质可知选项D 正确。

【2012北京市石景山区一模文】7．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
A ．8+
B ．8+．8 D ．323
【答案】A
【解析】由三视图可知，该组合体下面是边长为2的正方体，上面是底边边长为2，侧高为2
的四棱锥。

四棱锥的高为3，四棱锥的体积为
3
3
23231=⨯⨯，所以组合体的体积为3
3
28+
，答案选 A. 【2012北京市石景山区一模文】8．如图，已知平面l αβ=，A 、B 是l 上的两个点，C 、
D 在平面β内，且,,DA CB αα⊥⊥ 4AD =，6,8AB BC ==，在平面α上有一个动点P ，
使得APD BPC ∠=∠，则PAB ∆面积的最大值是（ ）
A ．
2
3
9 B ．
5
36 C ．12 D ．24
【答案】C
【2012年北京市西城区高三一模文】17．（本小题满分14分）
如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．
（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值．
A
B
C
D
E
F
【答案】（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF ，EFDC 都是矩形， 所以 MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==． 所以 四边形MNCD 是平行四边形，……………2分 所以 NC ∥MD ， ………………3分 因为 NC ⊄平面MFD ，
所以 NC ∥平面MFD ． ………4分
（Ⅱ）证明：连接ED ，设ED
FC O =．
因为平面⊥MNEF 平面ECDF ，且EF NE ⊥，
所以 ⊥NE 平面ECDF ， ………5分
所以 FC NE ⊥． ………………6分
又 EC CD =， 所以四边形ECDF 为正方形，所以 FC ED ⊥． …………7分
所以 ⊥FC 平面NED ， …………8分
所以 FC ND ⊥． ……9分 （Ⅲ）解：设x NE =，则x EC -=4，其中04x <<．
由（Ⅰ）得⊥NE 平面FEC ， 所以四面体NFEC 的体积为11
(4)32
NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-． ……11分 所以 2
1(4)[]222
NFEC x x V +-≤
=． ………13分 当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大． ………14分 【2012北京市门头沟区一模文】17. （本小题满分13分）
已知边长为2的正方形ABCD 所在平面外有一点P ，⊥PA 平面ABCD ，且2=PA ，E 是PC 上的一点．
（I ）求证：AB //平面PCD ；
（II ）求证：平面⊥BDE 平面PAC ； （III ）线段PE 为多长时，⊥PC 平面BDE ？
【答案】解：（I ）证明：正方形ABCD 中， AB //DC ，又AB ⊄平面PCD ，⊂DC 平面PCD
所以AB //平面PCD ……3分 （II ）证明：正方形ABCD 中，BD AC ⊥， ⊥PA 平面ABCD ，⊂BD 平面ABCD ，BD PA ⊥∴， ……5分
又A AC PA = ，所以⊥BD 平面PAC ，
……6分
D
⊂BD 平面BDE ，∴平面⊥BDE 平面PAC ……8分
（III ）由（II ）可知⊥BD PC ，所以只需PC BE ⊥可证⊥PC 平面BDE ，
在PBC Rt ∆中，可求2=BC ，22=PB ，32=PC ，
3
3
42=
=PC PB PE
……13分
【2012北京市石景山区一模文】17 ．（本小题满分13分）
如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，
E 是棱1DD 的中点． （Ⅰ）证明：平面11ADC B ⊥平面1A BE ；
（Ⅱ）在棱11D C 上是否存在一点F ， 使F B 1//平面BE A 1？证明你的结论．
【答案】解： （Ⅰ）证明:
因为多面体1111D C B A ABCD -为正方体， 所以1111BC A ⊥面ABB ；
因为111A B A ⊂面ABB ，所以111B C A ⊥B ．
…………2分
又因为11A AB ⊥B ，1111B C AB B ⋂=，所以111DC A A B ⊥B 面.…………4分 因为11A A ⊂B 面BE ,所以平面11ADC B ⊥平面1A BE . …………6分 （Ⅱ）当点F 为11D C 中点时，可使F B 1//平面BE A 1. …………7分 以下证明之： 易知：EF //
112C D ，且EF 11
=2
C D ， …………9分 设11AB A B O ⋂=，则1BO //
112C D 且1BO 11
=2
C D , 所以EF //1BO 且EF 1=B O ，
所以四边形1BOEF 为平行四边形. 所以1B F //OE . …………11分 又因为11B F A BE ⊄面，1OE A
BE ⊂面． E A
B
C
D
B 1
A 1
D 1 C 1
所以F B 1//面BE A 1 …………13分 【2012北京市海淀区一模文】(17)（本小题满分14分）
已知菱形ABCD 中，AB =4， 60BAD ∠=（如图1所示），将菱形ABCD 沿对角线BD 翻折，使点C 翻折到点1C 的位置（如图2所示），点E ，F ，M 分别是AB ，DC 1，BC 1的中点． （Ⅰ）证明：BD //平面EMF ； （Ⅱ）证明：1AC BD ⊥；
（Ⅲ）当EF AB ⊥时，求线段AC 1 的长．
【答案】证明：（Ⅰ）因为点,F M 分别是11,C D C B 的中点，
所以//FM BD ． ………………………………………2分
又FM ⊂平面EM F ，BD ⊄平面EM F ,
所以//BD 平面EM F ． ………………………………………4分
（Ⅱ）在菱形ABCD 中，设O 为,AC BD 的交点,
则AC BD ⊥． ………………………………………5分 所以 在三棱锥1C ABD -中，
1,C O BD AO BD ⊥⊥.
又 1,C O
AO O =
所以 BD ⊥平面1AOC ． ………………………………………7分
又 1AC ⊂平面1AOC ，
所以 BD ⊥1AC ． ………………………………………9分
（Ⅲ）连结1,DE C E ．在菱形ABCD 中，,60DA AB BAD =∠=，
所以 ABD ∆是等边三角形.
所以 DA DB =． ………………………………………10分
因为 E 为AB 中点，所以 DE AB ⊥．
又 EF AB ⊥，EF DE E =．
所以 AB ⊥平面DEF ，即AB ⊥平面1DEC ．
………………………………………12分
又 1C E ⊂平面1DEC ，
A
B
C
D
图1 M F
E
A
B
C 1
D
图2
M F
E
A
B
C 1
D
O M F
E
A
B
C 1D
所以 AB ⊥1C E ．
因为 ,4AE EB AB ==，1BC AB =，
所以 114AC BC ==． ………………………………………14分 【2012北京市房山区一模文】17.（本小题共14分）
在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC BC =，BC AB ⊥.点N M ,分别是1CC ，C B 1的中
点，G 是棱AB 上的动点.
（Ⅰ）求证：⊥C B 1平面BNG ； （Ⅱ）若CG //平面M AB 1，试确定G 点的位置，并给出证明.
【答案】(I) 证明：∵在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC BC =，点N 是C B 1的中点，
∴C B BN 1⊥ …………………………1分
BC AB ⊥,1BB AB ⊥,B BC BB = 1
∴AB ⊥平面11BCC B ………………………3分
⊂C B 1平面11BCC B
∴AB C B ⊥1，即GB C B ⊥1 …………………5分 又B BG BN =
∴⊥C B 1平面BNG …………………………………6分
（II ）当G 是棱AB 的中点时，CG //平面M AB 1.……………………………7分 证明如下:
连结1AB ,取1AB 的中点H ，连接GC HM HG ,,, 则HG 为B AB 1∆的中位线 ∴GH ∥1BB ，12
1
BB GH =
…………………8分 ∵由已知条件，11BCC B 为正方形 ∴1CC ∥1BB ，11BB CC = ∵M 为1CC 的中点，
∴12
1
CC CM =
…………………………………11分 ∴MC ∥GH ，且GH MC = ∴四边形HGCM 为平行四边形
∴GC ∥HM …………………………………12分
又∵M AB M ，，H AB GC 11平面平面⊂⊄
∴CG //平面M AB 1 ………………………………………14分 【2012北京市东城区一模文】（17）（本小题共14分）
如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且满足1AE FC CP ===.将△AEF 沿EF 折起到△1A EF 的位置，使平面1A EF ⊥平面
EFB ，连结1A B ，1A P .（如图2）
（Ⅰ）若Q 为1A B 中点，求证：PQ ∥平面
1A EF ； （Ⅱ）求证：1A E ⊥EP .
P
图1 图2
【答案】证明：（Ⅰ）取1A E 中点
M ，连结,QM MF ． 在△1A BE 中，,Q M 分别为11,A B A E 的中点， 所以QM ∥BE ，且1
2
QM BE =
． 因为
1
2
CF CP FA PB ==， 所以PF ∥BE ,且1
2
PF BE =
， 所以QM ∥PF ，且QM PF =． 所以四边形PQMF 为平行四边形．
所以PQ ∥FM ． …………5分
又因为FM ⊂平面1A EF ，且PQ ⊄平面1A EF ， 所以PQ ∥平面1A EF ． …………7分
（Ⅱ） 取BE 中点D ，连结DF .
因为1AE CF ==，1DE =，
所以2AF AD ==，而60A ∠=，即△ADF 是正三角形. 又因为1AE ED ==, 所以EF AD ⊥.
所以在图2中有1A E EF ⊥. …………9分
因为平面1A EF ⊥平面
EFB ，平面1A EF 平面EFB EF =，
所以1A E ⊥平面BEF . …………12分 又EP ⊂平面BEF ，
所以1A E ⊥EP . …………14分
【2012北京市朝阳区一模文】17. （本题满分13分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒， EB ⊥平面ABCD ，
EF//AB ，2AB=，=1EF ，BC ，且M 是BD 的中点.
（Ⅰ）求证：//EM 平面ADF ；
（Ⅱ）在EB 上是否存在一点P ，使得CPD ∠最大？ 若存在，请求出CPD ∠的正切值；若不存在， 请说明理由. 【答案】 （Ⅰ）证明：取AD 的中点N ，连接,MN NF .
在DAB ∆中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，
所以
MN//AB,MN 1
2
=
AB . ……………2分
又因为EF//AB,EF 1
2
=AB ，
所以MN//EF 且MN =EF .
所以四边形MNFE 为平行四边形，
所以EM//FN . ………………4分 又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ，
故EM//平面ADF . ……………………6分 （Ⅱ）解：假设在EB 上存在一点P ，使得CPD ∠最大.
因为EB ⊥平面ABD ，所以EB CD ⊥.
又因为CD BD ⊥，所以CD ⊥平面EBD . ………………………8分 在Rt CPD ∆中，tan =
CD
CPD DP
∠. 因为CD 为定值，且CPD ∠为锐角，则要使CPD ∠最大，只要DP 最小即可. 显然，当DP EB ⊥时，DP 最小.
因为DB EB ⊥，所以当点P 在点B 处时，使得CPD ∠最大. …………11分 易得tan CD CPD=
DB ∠=2
3
. C
A
F E
B
M
D N
C
A F E
B M
D
所以CPD ∠的正切值为
2
3
. ……………………13分 【2012北京市丰台区一模文】17．（本小题共14分）
如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA= PD ，60BAD ∠=︒，E 是AD 的中点，
点Q 在侧棱PC 上．
（I ）求证：AD ⊥平面PBE ；
（Ⅱ）若Q 是PC 的中点，求证：PA ∥平面BDQ;
（Ⅲ）若2P BCDE Q ABCD V V --=，试求
CP
CQ
的值．
【答案】。