2015数学大纲解析五：极限计算
高等数学1.5极限运算法则
二、求极限方法举例
2x3 3x2 5 . 例4 求 lim 3 2 x 7 x 4 x 1
分子分母的极限都是无穷大 解 x 时， 先用
( 型) xຫໍສະໝຸດ 3再求极限 分出无穷小， 去除分子分母，
3 2 2 x3 3 x2 5 x lim 3 lim x 7 x 4 x 2 1 x 4 7 x
例如 ,当x 0时,
1 x sin , x
1 x arctan x
2
都是无穷小
推论1 常数与无穷小的乘积是 无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积 也是无穷小.
§5. 极限运算法则
极限运算法则 定理3
设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g( x )] A B;
( 2) lim[ f ( x ) g( x )] A B;
f ( x) A ( 3) lim , 其中 B 0. g( x ) B
定理3 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g( x )] A B; 分析： 要证 ( f ( x ) g ( x )) ( A B ) 0 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B . 证
有
u
取 min{ 1 , 2 }, 当 0 x x0 2 时有 M u M , M
当 x x0 时
u
是无穷小.
1、无穷小的运算性质: 定理1. 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
2015北京大学考研数学高数复习计算极限题型常用运算方法
2015北京大学考研数学高数复习计算极限题型常用运算方法之前，我们已经在“2015年考研数学高数复习极限篇之极限概述”中详细说明了考研数学中极限这部分内容的考试要求、在考研中的地位以及常见题型，但是大多同学最关心的还是极限的计算到底有哪些常用的方法。
下面就这个问题，将极限的常用计算方法总结归纳如下。
计算极限的常用方法(一)四则运算法则四则运算法则在极限中最直接的应用就是分解，即将复杂的函数分解为若干个相对简单的函数和、积和商，各自求出极限即可得到要求的极限。
但是在分解的时候要注意：(1)分解的各部分各自的极限都要存在;(2)满足相应四则运算法则，(分母不能为0)。
四则运算的另外一个应用就是“抓大头”。
如果极限式中有几项均是无穷大，就从无穷大中选取起主要作用的那一项，选取的标准是选趋近于无穷最快的那一项，对数函数趋于无穷的速度远远小于幂函数，幂函数趋于无穷的速度远远小于指数函数。
(二)洛必达法则(结合等价无穷小替换、变限积分求导)洛必达法则解决的是“零比零“或“无穷比无穷”型的未定式的形式，所以只要是这两种形式的未定式都可以考虑用洛必达法则。
当然，在用洛必达的时候需要注意(1)它的三个条件都要满足，尤其要注意第二三个条件，当三个条件都满足的时候才能用洛必达法则;(2)用洛必达法则之前一定要先化简，把要求极限的式子化成“干净”的式子，否则会遇到越求导越麻烦的情况，有的甚至求不出来，所以一定要先化简。
化简常用的方法就是等价无穷小替换，有时也会用到四则运算。
考生一定要熟记常用的等价无穷小，以及替换原则(乘除因子可以替换，加减不要替换)。
考研中，除了也常常会把变限积分和洛必达相结合进行考查，这种类型的题目，首先要考虑洛必达，但是我们也要掌握变限积分求导。
另外，考试中有时候不直接考查“零比零“或“无穷比无穷”型，会出“零乘以无穷”，“无穷减无穷”这种形式，我们用的方法就是把他们变成“零比零“或“无穷比无穷”型。
大学数学微积分中的极限概念与计算方法
大学数学微积分中的极限概念与计算方法微积分是数学的一门重要分支，涉及到很多概念和计算方法。
其中，极限概念是微积分理论的核心之一。
本文将深入探讨大学数学微积分中的极限概念及其计算方法，旨在帮助读者更好地理解和应用微积分知识。
一、极限的概念在微积分中，极限是指函数或数列随着自变量无限接近某个确定值时的稳定趋势。
具体来说，当自变量趋于某个特定值，函数值将无限接近于一个确定的常数，这个常数即为极限值。
在符号表示上，我们通常用lim来表示极限，例如lim(x→a)f(x)=L，表示当自变量x趋于a时，函数f(x)的极限值为L。
其中，x→a表示x趋近于a的过程。
二、极限的计算方法在计算极限时，我们需要掌握一些常用的计算方法。
下面将介绍几种常见的极限计算方法。
1. 函数极限的计算方法函数极限的计算方法根据具体的函数特性和极限性质来确定。
以下是常见的几种计算方法：（1）代入法：当函数在某一点处连续时，可以直接将自变量代入函数中计算得到极限值。
（2）基本极限法则：利用常用函数的基本极限性质，可以通过将复杂函数拆分成基本函数来计算极限值。
（3）夹逼定理：当无法直接计算函数极限时，可以通过夹逼定理来确定极限值。
夹逼定理的核心思想是用一个比该函数的极限更小的函数和一个比该函数的极限更大的函数夹住该函数，从而确定其极限。
2. 数列极限的计算方法数列极限是数列中各项值随着项数的增加而趋于某个确定的常数。
计算数列极限时，我们可以运用以下方法：（1）通项公式法：当数列具有明确的通项公式时，可以直接将项数代入通项公式计算极限。
（2）比值法、比根法：当数列的通项公式较为复杂时，可以通过比值法或比根法来判断极限的存在性。
具体计算方法是将相邻两项的比值或者开方之后进行计算，若其极限存在，则数列也存在极限。
三、极限的应用极限在微积分中有着广泛的应用。
以下是极限在微积分中的几个典型应用场景：1. 函数的连续性通过处理函数的极限，我们可以判断函数在某个点上的连续性。
2015考研数学(三)真题解析：求函数的极限
2015考研数学（三）真题解析：求函数的极限函数极限是研究生入学考试的一个高频考点，无论是大题还是小题，都有可能出现。
2015年数三试题考察函数极限时，小题第1题以选择题的形式考察（分值4分），考察极限的敛散性的判定，小题第9题以填空题的形式考察（分值4分），考察利用等价无穷小求极限，解答题15题通过求解函数极限确定未知参数（分值为10分），考察利用泰勒公式求极限，总分18分，占12%。
老师提醒考生，在复习时，一定要熟练掌握求函数的极限。
一、回顾知识点求函数极限的常规方法有以下几种：利用等价无穷小求极限；利用洛必达法则求极限；利用泰勒公式；利用单调有界存在准则求极限；利用夾逼存在准则求极限；利用中值定理求极限二、真题解析（1）设是数列.下列命题中不正确的是{}n x （A ）若x n =a ，则x 2n =x 2n +1= a. lim n →∞lim n →∞lim n →∞（B ）若x 2n =x 2n +1= a ，则x n = a. lim n →∞lim n →∞lim n →∞（C ）若x n =a ，则x 3n =x 2n +1= a. lim n →∞lim n →∞lim n →∞（D ）若x 3n =x 3n +1=a ，则x n = a. lim n →∞lim n →∞lim n →∞【解析】选择（D ）方法：举反例：，， 131,31133+-=+=+n a x n a x n n 231223++=+n a x n 显然，但。
a x a x x n n n n n n 2lim ,lim lim 23133===+∞→+∞→∞→a x n n ≠∞→lim 本题主要考察数列收敛的条件，属于基础题型。
（9）= .2ln(cos )lim x x x →∞【解析】 211cos lim )]1(cos 1ln[lim )ln(cos lim 202020-=-=-+=→→→x x x x x x x x x 本题主要考察利用等价无穷小求极限，必须掌握常见的等价无穷小量，属于基础题型。
极限计算方法
极限计算方法极限计算方法是微积分中的重要内容，它在求解函数的极限、导数和积分等方面起着至关重要的作用。
在实际应用中，我们经常需要利用极限计算方法来解决各种问题，因此对极限计算方法的掌握至关重要。
本文将对极限计算方法进行介绍和讨论，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
首先，我们来介绍一下极限的概念。
在数学中，极限是指当自变量趋于某个数值时，函数的取值趋于某个确定的数。
通俗地讲，就是函数在某一点附近的取值情况。
极限的计算方法有很多种，比如利用代数运算、夹逼定理、洛必达法则等。
在实际应用中，我们需要根据具体的情况选择合适的方法来计算极限，以便更准确地求解问题。
接下来，我们来讨论一下极限的计算技巧。
在计算极限时，我们需要注意以下几点，首先，要注意分式的化简，有时候可以通过分子有理化或者通分等方法来简化计算；其次，要注意利用夹逼定理，这是一种非常重要的极限计算方法，特别适用于求解一些复杂的极限；最后，要注意灵活运用洛必达法则，这是求解不定型极限时常用的方法，可以大大简化计算过程。
除了上述方法外，还有一些其他的极限计算技巧，比如利用无穷小量、泰勒展开等方法来计算极限。
这些方法在不同的情况下都能发挥重要的作用，我们需要根据具体的问题选择合适的方法来计算极限，以便更准确地求解问题。
在实际应用中，极限计算方法经常与导数和积分等概念联系在一起。
导数和积分是微积分中的两个重要内容，它们与极限有着密切的联系。
通过极限计算方法，我们可以求解函数的导数和不定积分，从而更好地理解函数的性质和变化规律。
因此，对极限计算方法的掌握对于学习导数和积分等内容至关重要。
总之，极限计算方法是微积分中的重要内容，它在数学理论和实际应用中都具有重要的作用。
通过对极限计算方法的学习和掌握，我们可以更好地理解和应用微积分的相关知识，从而更好地解决实际问题。
希望本文对读者能够有所帮助，让大家能够更好地理解和应用极限计算方法。
1.5 极限运算法则
第五节 极限运算法则
第一章 函数与极限
提问： 定理中的有限改为无限, 结论还成立吗？
答案
不一定成立. 例如:
1. lim
→∞
3. lim
→∞
1
1
1
+ + ⋯⋯+ 2
2 2
个
1
1
1
+ 2 + ⋯⋯+ 2
2
3 个
=?
0
=?
∞
2. lim
→∞
（2） lim[ () ⋅ g ()] = lim () ⋅ lim g () = ⋅ .
() lim ()
= .
=
（3）若又有 ≠ 0, 则 lim
g () lim ()
注
(1)和(2)的结论均可推广到有限多项的情形.
例如: lim[ () + g() − ℎ()] = lim () + lim g () − lim ℎ ()
又
∵ lim = 0, lim = 0, lim = 0,
为无穷小
想想为什么？
∴ lim( + + ) = 0,
∴ lim[ ⋅ g ()] = ⋅ = lim () ⋅ lim g (). 得证.
• 极限存在必有界
• 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小
→∞
类似地，还有
1
lim sin = 0 , lim arctan = 0等.
→0
→0
第五节 极限运算法则
第一章 函数与极限
极限计算方法总结
极限计算方法总结极限计算方法是微积分中非常重要的一部分，它在函数的性质、导数、积分、级数等方面起着关键的作用。
下面将对常见的极限计算方法进行总结。
1.代数基本极限法则：- 常数项：lim(a) = a，其中a为任意常数；- 幂函数项：lim(x^n) = a^n，其中a为常数，n为正整数；- 指数函数项：lim(a^x) = a^c，其中a为正常数，c为实数；- 对数函数项：lim(logax) = logax，其中a为正常数；- 三角函数项：lim(sin x) = sin a、lim(cos x) = cos a、lim(tan x) = tan a，其中a为任意实数；- 反三角函数项：lim(arcsin x) = arcsin a、lim(arccos x) = arccos a、lim(arctan x) = arctan a，其中a为任意实数；- 双曲函数项：lim(sinh x) = sinh a、lim(cosh x) = cosh a、lim(tanh x) = tanh a，其中a为任意实数；- 反双曲函数项：lim(arcsinh x) = arcsinh a、lim(arccosh x) = arccosh a、lim(arctanh x) = arctanh a，其中a为任意实数。
2. 加减法则：对于两个极限，lim(f(x) + g(x)) = lim(f(x)) +lim(g(x))，lim(f(x) - g(x)) = lim(f(x)) - lim(g(x))。
该法则适用于两个函数极限的和或差的情况。
3. 乘法法则：对于两个函数极限的乘积，lim(f(x) * g(x)) =lim(f(x)) * lim(g(x))。
该法则适用于两个函数极限的乘积的情况。
4. 除法法则：对于两个函数极限的商，lim(f(x) / g(x)) =lim(f(x)) / lim(g(x))，其中lim(g(x)) ≠ 0。
求极限的方法总结
极限是数学分析中的重要概念，也是微积分的基础。
求极限的方法有很多种，下面将对常用的几种方法进行总结和解析。
1. 直接代入法直接代入法是最基本的求极限方法，适用于函数单调、连续，且直接代入可知极限值的情况。
具体步骤如下：（1）将极限表达式中的变量替换为具体的数值。
（2）根据函数的定义和性质，计算替换后的表达式。
（3）得出极限值。
2. 因式分解法因式分解法适用于有理函数的极限求解，通过分解函数，消除分子、分母中的共同因子，简化极限表达式。
具体步骤如下：（1）对有理函数进行因式分解。
（2）对分解后的表达式进行约分，消除共同因子。
（3）根据约分后的表达式求极限。
3. 泰勒公式法泰勒公式法是利用泰勒公式将函数展开，近似表示函数在某一点附近的值，从而求解极限。
具体步骤如下：（1）确定函数在某一点附近的泰勒展开式。
（2）根据泰勒展开式求极限。
4. 洛必达法则洛必达法则（L’Hôpital’s Rule）适用于求解“0/0”或“∞/∞”形式的极限。
该法则通过对分子、分母同时求导，将极限问题转化为导数的极限问题。
具体步骤如下：（1）判断极限形式是否为“0/0”或“∞/∞”。
（2）对分子、分母分别求导。
（3）将求导后的表达式代入原极限表达式。
（4）求解新的极限表达式。
5. 夹逼定理夹逼定理（Squeeze Theorem）适用于求解形如“f(x) = (g(x))/(h(x))”，且当x趋向于某一点时，g(x)和h(x)分别趋向于a和b（a ≠ b）的极限。
具体步骤如下：（1）找到两个函数p(x)和q(x)，使得p(x) ≤ f(x) ≤ q(x)。
（2）证明当x趋向于某一点时，p(x)和q(x)分别趋向于a和b。
（3）根据夹逼定理，得出f(x)趋向于a。
6. 有界函数法有界函数法适用于求解形如“f(x) = g(x)/h(x)”，且当x趋向于某一点时，g(x)趋向于0，h(x)趋向于无穷大的极限。
具体步骤如下：（1）证明g(x)在x趋向于某一点时趋向于0。
极限的四则运算全部公式
极限的四则运算全部公式好的，以下是为您生成的文章：咱们来聊聊极限的四则运算全部公式，这玩意儿在数学里可重要啦！先说说加法，极限的加法公式就像是搭积木。
如果有两个函数的极限分别存在，比如说函数 f(x) 的极限是 A，函数 g(x) 我给它设定个极限是 B，那它们相加 f(x) + g(x) 的极限就是 A + B 。
这就好比你有一堆红色积木，数量极限是 A 个，还有一堆蓝色积木，数量极限是 B 个，把它们合在一起，总的积木数量极限不就是 A + B 嘛。
再看减法，其实和加法差不多，就是把加变成减呗。
还是刚才那两个函数 f(x) 和 g(x) ，极限分别是 A 和 B ，那 f(x) - g(x) 的极限就是 A - B 。
这就好像从那堆总数极限是 A 的红色积木里，拿走总数极限是 B的蓝色积木，剩下的不就是 A - B 嘛。
然后是乘法，这个有点意思。
如果 f(x) 的极限是 A ， g(x) 的极限是 B ，那么 f(x)×g(x) 的极限就是 A×B 。
想象一下，一个正方形的边长函数极限是 A ，另一个正方形的边长函数极限是 B ，那它们的面积函数相乘，极限不就是两个正方形面积极限的乘积嘛。
最后是除法，得注意点儿，分母的极限不能为 0 。
如果 f(x) 的极限是 A ， g(x) 的极限是 B ，而且 B 不等于 0 ，那 f(x)÷g(x) 的极限就是A÷B 。
这就好比你有 A 个苹果要分给 B 个人，只要 B 个人不是 0 ，那每个人能分到的苹果数的极限就是 A÷B 。
我记得之前有一次给学生讲这个知识点的时候，有个学生特别迷糊，怎么都搞不明白。
我就给他举了个特别简单的例子，说咱们学校运动会，跑步比赛，甲同学每秒跑的距离函数极限是 5 米，乙同学每秒跑的距离函数极限是 3 米，那甲同学比乙同学每秒多跑的距离函数极限不就是 5 - 3 = 2 米嘛。
极限的求解方法总结
极限的求解方法总结
极限是数学中重要的概念之一，它在微积分、数学分析以及工程学等领域中都有广泛的应用。
求解极限问题是数学学习的基础，也是解决实际问题的关键步骤之一。
下面将总结几种常见的极限求解方法。
1. 代入法：这是最简单的一种极限求解方法，即将自变量的值直接代入函数中计算。
这种方法适用于求解一些简单的极限，特别是当自变量趋于某个特定值时。
2. 利用基本极限定理：基本极限定理是极限求解过程中常用的工具，包括极限的四则运算法则、极限的乘法法则、极限的除法法则以及极限的复合函数法则等。
利用这些定理，我们可以将复杂的极限问题转化为更简单的形式，从而求解出极限的值。
3. 极限的夹逼定理：夹逼定理是解决一类特殊极限问题的重要方法。
它的核心思想是通过构造一个上下夹逼函数，将待求的极限转化为夹逼函数的极限，从而求解出原极限的值。
4. 利用无穷小量的性质：在一些特殊的极限问题中，我们可以利用无穷小量的性质进行求解。
例如，当自变量趋于无穷大或无穷小时，我们可以将函数进行等价无穷小的替换，从而将复杂的极限问题简化为求解无穷小量的极限。
5. 利用洛必达法则：洛必达法则是一种常用的求解不定型极限的方法。
该法则
基于导数的定义，通过求取函数的导数来求解极限。
特别是当极限问题存在某种不定型形式（如0/0或∞/∞）时，洛必达法则可以提供一种有效的求解途径。
以上是几种常见的极限求解方法，当然还有其他更高级的方法，如泰勒展开法、积分法等。
掌握这些方法，并善于运用，将有助于我们解决各种复杂的极限问题，提高数学分析能力。
D1_4无穷小无穷大D1_5极限运算法则
高等数学（上）
Pn ( x) a0 x n a1 x n 1 ... an 1 x an是一个无穷大量. 且当 Pn ( x)有意义时， Pn ( x)也是一个无穷大量.
m m
如 : x ,3 x 2 2 x 1是无穷大量. x , 3 x 2 x 1也是无穷大量.
高等数学（上）
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第五节 极限运算法则
一、极限的四则运算法则
二、复合函数的极限运算法则
三、极限的计算方法
高等数学（上）
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定理1 设某一变化过程中,变量u, v分别以A, B为极限, 即lim u A,lim v B, 则在同一变换过程中,有
(1) lim(u v) lim u lim v A B;
高等数学（上）
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4.局部保号性
若 lim f ( x) A, 且A 0(或A 0), 则 0, 使得当
x x0
0 | x x0 | 时, 有f ( x) 0(或f ( x) 0).
推论 若 lim f ( x) A, 且在x0的某空心邻域内f ( x) 0
当
时为无穷小;
时为无穷小.
说明 (1)除0以外任何很小的常数都不是无穷小. (2)变量是否为无穷小与变化过程有关.
高等数学（上）
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x x0
lim f ( x) A f ( x) A ( x), 其中(x)为
定理1 (无穷小与函数极限的关系) (以x x0为例)
x
则称常数
lim f ( x) A
( X 定义)
高等数学（上）
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几何解释
1.5极限运算法则
第五节 极限运算法则本节讨论极限的求法，主要介绍极限的四则运算法则和复合函数极限的运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限．在下面的讨论中，记号“lim ”表示定理对0x x →及x →∞都是成立的． 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小．定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小． 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小． 推论2有限个无穷小的乘积是无穷小．定理3 如果lim (),lim ()f x A g x B ==，那么lim[()()]f x g x ±存在，且lim[()()]lim ()lim ()f x g x f x g x A B ±=±=±． （1－５）证 因lim (),lim ()f x A g x B ==，由1.4定理1 有(),()f x A g x B αβ=+=+，其中,αβ为无穷小．于是()()()()()()f x g x A B A B αβαβ±=+±+=±+±由定理1知αβ±为无穷小，再由定理３知lim[()()]lim ()lim ()f x g x A B f x g x ±=±=±定理７可推广到有限个函数的情形．例如，如果lim (),lim (),lim ()f x g x h x 都存在，则有lim[()()()]lim ()lim ()lim ()f x g x h x f x g x h x +-=+-．如果lim (),lim ()f x A g x B ==，那么lim[()()]f x g x ⋅存在，且lim[()()]lim ()lim ()f x g x f x g x A B ⋅=⋅=⋅．（1－6）推论1 如果lim ()f x 存在，C 为常数，则lim ()lim ()Cf x C f x =． 推论2 如果lim ()f x 存在，n 为正整数，则lim[()][lim ()]n n f x f x =． 定理4 如果lim (),lim ()f x A g x B ==，且0B ≠，则()lim()f xg x 存在，且 ()lim ()lim()lim ()f x f x Ag x g x B==．（1－7） 以上定理和推论对于数列也是成立的．定理5 如果()()x x ϕφ≥，而lim (),lim ()x x ϕφ都存在，那么lim ()lim ()x x ϕφ≥． 例1 求1lim(21)x x →-．解 1111lim(21)lim2lim12lim 12111x x x x x x x →→→→-=-=-=⨯-=．事实上，设多项式101()n n n P x a x a x a -=+++ ，则110100100lim ()lim[]()n n n n n n x x x x P x a x a x a a x a x a P x --→→=+++=+++=例2 求3221lim 53x x x x →--+．解 因222lim(53)210330x x x →-+=-+=-≠所以 33322222lim(1)1217lim 3353lim(53)x x x x x x x x x →→→---===---+-+． 如果()()()P x F x Q x =，其中(),()P x Q x 都是多项式，如果0()0Q x ≠，则 000000lim ()()()lim ()lim ()lim ()()x x x x x x x x P x P x P x F x Q x Q x Q x →→→→===． 但必须注意，如果0()0Q x =，则关于商的运算法则不能应用，需要特别考虑．例3 求2416lim 4x x x →--．解 当4x →时，分子分母的极限都是零，所以不能运尖用商的运算法则．但4x →时，4,40x x ≠-≠，所以24416lim lim(4)84x x x x x →→-=+=-．例4 求2121lim 21x x x x →+-+．解 因为21lim(21)0x x x →-+=，不能商的运算法则．但2121lim021x x x x →-+=+， 故由定理4得2121lim 21x x x x →+=∞-+．例5 求3232342lim 753x x x x x →∞+++-．解 32324233423lim lim5377537x x x x x x x x x x→∞→∞++++==+-+-． 例6 求23321lim 252x x x x x →∞+--+．解 223323321321lim lim 02522x x x x x xx x x x x→∞→∞+-+-==-++-． 例7 求32252lim 321x x x x x →∞-++-．解 因为23321lim 0252x x x x x →∞+-=-+，所以32252lim 321x x x x x →∞-+=∞+-． 更一般地，当000,0a b ≠≠，m 和n 为非负整数时，有101101,,lim 0,,,n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m--→∞⎧=⎪⎪+++⎪=>⎨+++⎪∞<⎪⎪⎩当当当 例8 求sin limx xx→∞．解 当x →∞时，分子分母的极限都不存在，不能应用商的运算法则．但sin 1sin x x x x =⋅，而1x 是x →∞时的无穷小，sin x 是有界函数，所以根据定理6，有sin lim0x xx →∞=．前面已经看到，对于有理函数()f x （有理整函数或有理分式函数），只要()f x 在点0x 处有定义，那么0x x →时()f x 的极限必定存在且等于()f x 在点0x 的函数值．一般地，如果函数具有上述性质，即00lim ()()x x f x f x →=，就称函数()f x 在点0x 连续．因此有理函数在其定义域内的每一点处都是连续的．我们指出：一切基本初等函数在其定义域内的每一点处都是连续的．因此，如果()f x 为基本初等函数，其定义域为D ，而0x D ∈，则有0lim ()()x x f x f x →=．例如，()f x 是基本初等函数，它在点3x =处有定义，所以x →=．下面介绍一个半球复合函数求极限的定理．定理6 设函数()u g x =当0x x →时的极限存在且等于0u ，即00l i m ()x x gx u →=，而函数()y f u =在点0u u =连续，那么复合函数[()]y f g x =当0x x →时的极限存在．且lim [()]()x x f g x f u A →==．（1－8）证明从略．因为0lim ()x x x a ϕ→=，所以公式（1－8）又可写成0lim [()][lim ()]x x x x f x f x ϕϕ→→=例9 求sin 0lim x x e →．解 0limsin sin 00lim 1x xx x e e e →→===．例10求lim x →+∞．解111lim limlim2x x x →+∞-===． 作业 P45 1、（1）（3）（5）（7）（9）（11）（13），2，3 小结与思考：本节讨论了极限的求法，主要介绍极限的四则运算法则和复合函数极限的运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限．1. 求sin 0lim x x e →．解 0limsin sin 00lim 1x xx x e e e →→===．2.求lim x →+∞．解111lim limlim2x x x →+∞-===。
极限的计算方法
极限的计算方法
极限是微积分的基础概念之一，它在数学和物理学中都有着重要的应用。
在学
习极限的计算方法时，我们需要掌握一些基本的技巧和原则，以便能够准确地求解各种类型的极限问题。
首先，我们需要了解极限的定义。
在数学上，当自变量趋于某个特定值时，函
数的取值趋于某个确定的值，这个确定的值就是函数的极限。
根据这个定义，我们可以利用一些基本的计算方法来求解各种类型的极限。
一种常见的极限计算方法是利用极限的性质和基本的极限公式。
例如，当我们
需要计算一个函数在某个点的极限时，可以利用极限的四则运算法则、复合函数的极限法则、三角函数的极限法则等来简化计算过程，从而得到极限的准确值。
另外，我们还可以利用极限的夹逼定理来求解一些复杂的极限问题。
夹逼定理
是极限理论中的一个重要定理，它可以帮助我们确定某些函数在特定点的极限值。
通过夹逼定理，我们可以将复杂的极限问题转化为一些简单的极限计算，从而得到准确的极限值。
除了上述方法外，我们还可以利用泰勒展开式来计算一些复杂函数的极限。
泰
勒展开式是一种将函数在某个点附近用无穷多个多项式逼近的方法，通过泰勒展开式，我们可以将复杂的函数转化为多项式函数，从而简化极限的计算过程。
总之，极限的计算方法是微积分学习中的重要内容，它涉及到多种技巧和原则。
在实际的学习和工作中，我们需要灵活运用各种极限计算方法，以便能够准确地求解各种类型的极限问题。
通过不断的练习和积累，我们可以逐渐掌握极限的计算方法，提高自己的数学水平和解题能力。
高等数学的教学课件1-5极限的运算法则
x2 lim
x1 x 2 x 1
(消去零因子法)
1
例10 求 lim x[ x2 2x 3 ( x 1)] ( 0 型 ) x
解 x 时, 两个因子的极限分别是 0、.
通过分子有理化，先将极限式变成分式， 然后再求极限。
原式 lim x[( x2 2x 3)2 ( x 1)2 ] x [ x2 2x 3 ( x 1)]
lim
lim
x 1 x1
x1
( x 1)
lim( xn1 xn2 1) x1
(消去零因子法)
n (典型极限，当n是任何实数时均成立)
例5
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
( 型 未定式)
解 x 时, 分子,分母的极限都是无穷大.
先用x 3去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.
则有： lim x x0
f (x)
f ( x0 )
2.极限求法;
b.消去零因子法; c.无穷小因子分出法; d.利用无穷小运算性质; e.利用左右极限求分段函数极限.
小结: 1. 设 f ( x) a0 x n a1 x n1 an ,则有
lim
x x0
f
(
x)
a0
(
lim
x x0
x)n
二、求极限方法举例
一个结论：
如果f (x)是基本初等函数, x0为定义区间内点，
则：lim x x0
f (x)
f ( x0 )
f (x) x x0
综合上述定理，就可以求一些简单的极限.
例1
求
lim
x2
x
2
极限计算公式解析与应用
极限计算公式解析与应用极限是微积分中非常重要的概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在实际问题中，往往需要通过极限来求解各种复杂的情况。
因此，深入理解极限的计算公式以及其应用是非常重要的。
本文将从极限的定义开始，逐步解析极限的计算公式，并通过一些实际例子来说明极限的应用。
首先，我们来回顾一下极限的定义。
在数学中，当自变量趋于某个数值时，函数的取值趋于一个确定的数值，这个确定的数值就是极限。
通常用符号“lim”表示极限，其数学表达式为：lim (x→a) f(x) = L。
其中，x表示自变量，a表示自变量趋近的数值，f(x)表示函数，L表示极限的值。
这个定义表明当x趋近于a时，f(x)的取值趋近于L。
在实际计算中，我们经常会遇到一些常见的极限计算公式，这些公式可以帮助我们更方便地计算各种函数的极限。
下面我们就来逐个解析这些常见的极限计算公式。
1. 常数函数的极限计算公式。
对于常数函数f(x) = c，其中c为常数，则其极限为：lim (x→a) c = c。
这个公式非常简单，它表明常数函数的极限就是该常数本身。
2. 多项式函数的极限计算公式。
对于多项式函数f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0，其中a_n,a_{n-1}, ..., a_1, a_0为常数，则其极限为：lim (x→a) f(x) = f(a) = a_n a^n + a_{n-1} a^{n-1} + ... + a_1 a + a_0。
这个公式表明多项式函数在某一点的极限就是该点的函数值。
3. 正弦函数和余弦函数的极限计算公式。
对于正弦函数f(x) = sin(x)和余弦函数g(x) = cos(x)，它们的极限计算公式为：lim (x→0) sin(x)/x = 1。
lim (x→0) (cos(x) 1)/x = 0。
这两个公式是非常重要的，它们表明了当自变量趋近于0时，正弦函数和余弦函数的极限分别为1和0。
高等数学-极限的运算法则
说明: 定理3和4均可推广到有限个函数的情形 . 推论 1 . lim[ C f ( x)] C lim f ( x) ( C 为常数 ) 推论 2 . lim[ f ( x)]n [ lim f ( x) ] n ( n 为正整数 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例. 设 n 次多项式 试证 lim Pn ( x) Pn ( x0 ).
n n
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
n
(3) 当 yn 0 且 B 0时, lim
xn yn
n
A B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .
机动
lim
x 1 x3
x 3
x = 3 时分母为 0 !
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例.求
解: x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
lim x 5x 4 2x 3
2
x 1
1 5 1 4 2 1 3
2
0
机动
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结束
例.求
解:
( 如P47 例5 )
( 如P47 例6 ) ( 如P47 例7 )
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结束
三、 复合函数的极限运算法则( 分步求极限！) 定理7. 设
( x) a , 又
x x0
且 x 满足 则有
lim f [ ( x) ]
时,
说明: 若定理中 lim ( x) , 则类似可得
2015考研数学 高等数学重难点题型精讲讲义
考
f ( x) x ) 求. f (0), f (0), f (0), lim(1 x 0 x
研
1
f ( x) x ) e3 ， x
1
3
考研论坛----考研人的精神家园
【例 10】 f ( x)
x2 2x 3 x e 的渐近线有 x2 1
f ( x) 2 h 2
11
论 坛
x x
【例 8】设 x a 时， f ( x) 可导，且 lim f ( x) 存在， lim f ( x) k (常数)，
(0 1) ，又 f ( x) 连续， f ( x) 0 .
(0 1)
0 x 1
考
12
证明： f (0) f (1) 1 .
论 坛
1 ， f ( x) 1 ， 4
考研论坛----考研人的精神家园
【题型】不等式的证明 【例 1】当 x 0 时，证明 x
1 2 x l在 [0,1] 上连续， (0,1) 内可导， f (0) 0,0 f ( x) 1 . 证明：
【例 2】已知 f ( x)
考
3 f ( x) ( x 1) 2 ( x 1) ，计算定积分 I dx 3 1 1 f ( x ) x ( x 2)
研
14
x
1 sin x dx 1 cos x
论 坛
考研论坛----考研人的精神家园
【例 3】已知 f ( x) 在 [0,1] 上可导， f (1) 2
1 2 0
xf ( x)dx
证明：存在 (0,1) ，使得 f ( ) f ( ) 0 .
极限计算方法总结
极限计算方法总结《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。
求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。
下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。
一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的 极限严格定义证明，例如：)0,(0lim≠=∞→a b a an bn 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；⎩⎨⎧≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q nn ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[（2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim（3）)0(,)()(lim成立此时需≠=B BAx g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
3．两个重要极限 （1） 1sin lim0=→xxx（2） e x xx =+→1)1(lim ； e x x x =+∞→)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。
例如：133sin lim0=→xxx ，e x xx =--→210)21(lim ，exxx =+∞→3)31(lim ；等等。
4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
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2015数学大纲解析五：极限计算
向喆-数学教研室大家好，我是跨考教育集团数学教研室的向喆老师。
在2014-9-13日，2015年考研数学大纲正式发布。
众所周知，考研大纲是学生复习的依据。
所以，我将对考纲涉及的重要考点进行深度的分析，希望对广大考生的后期备考有帮助。
首先说下我对大纲解析的整体安排。
由于每年数学考纲比较稳定：题型分布，知识点分布大致相同。
所以我重点来解析下考纲要求的重要考点的复习方法，我分7次来说明。
第一次说明极限计算的学习方法，第二次说明微分中值定理学习方法，第三次说明不等式证明和方程根个数问题学习方法，第四次说明一元函数积分计算学习方法，第五次说明定积分应用学习方法，第六次说明多元函数积分学学习方法，第七次说明级数学习方法。
今天我来说极限计算问题。
一.考纲要求
2015年的考纲相比较去年考纲没有什么变化。
考纲对数学一，数学二，数学三的要求也是不一样的。
数学一和数学二依然要求对极限的概念和性质上有深刻的理解，那么这意味着2015年真题中有可能出现对极限定义和性质的考查，而数学三在这方面要求的不高。
但是在计算方面，考纲重点强调了等价无穷小替代和洛必达法则，希望引起数学一，二，三考生的注意。
在极限计算的其它方面，考纲明确要求掌握两个重要极限及极限存在的两个准则：夹逼定理和单调有界。
从往年的真题分析来看，极限存在的两个准则在数学一和数学二中考查的较多，而数学三重点考查的是等价无穷小替代和洛必达法则。
二．题型分析
通过对往年真题的分析，我们发现有关极限的计算是每年的必考题。
题型一般来说是不固定的，但是大致分布在选择题和解答题上。
三．复习方法
同学们通过暑期的强化复习，对极限计算的基本方法的掌握应该没有太大问题。
那么针对考纲的要求，我认为同学们主要问题在体系的建立上。
很多同学往往知道一些极限计算的方法，但是不能够很有逻辑的把方法罗列出来，所以在三阶，同学们主要解决的是考纲化的知识体系。
具体来说，同学们应该知道四则运算法则是贯穿到所有的极限计算方法之中，然后知道考查最多的是等价无穷小替代和洛必达法则，接着是两个重要极限和单侧极限，随后是夹逼定理和单调有界。
值得提醒的是针对数学一和数学二的同学来说，泰勒定理求极限也是非常重要的。
最后，同学们可以把定积分定义，导数定义等方法补充一下就行了。
总之，同学们根据考纲要明确极限计算的真正重难点，即上面说的基本方法。
同学们不要一味的追求很偏的方法，只要能够掌握重点方法，考研极限计算的重难点也就掌握了。
祝同学们马到成功。