《弹塑性力学》第四章 应力应变关系(本构方程)

V V
ij ij dV WdV U
V V
W ijij ——W为 ij的函数。
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11
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
因为W只取决于弹性体的初始应变状态和最 终应变状态，与变形过程（加载路线）无关， 所以W 为它的全微分
本构关系
时刻达到 t +t：位移有增量
应变增量 外力功增量 ：
ij ei e j
A
V
u ui ei
f udV F udS
S
8
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
A

V
V
f udV F udS
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22 33 23 31 12
T
17
§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料
{}=[c]{}
C11 C12 C C 21 22 C C 61 C 62
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C16 C 26 C 66
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
1.1 应变能U 和应变能密度 W（比能）
如果弹性体的外力的施加是缓慢进行的，物 体无动能，物体发生变形，产生变形能，也 无热能耗散，则根据能量守恒，外力实功转 化成应变能贮存在弹性体中。
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4
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
由于 ij = ji ，kl = lk
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§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料 Eijkl 减少为66=36个独立系数，用矩阵 表示本构关系
{}=[c]{}
11
22 33 23 31 12
T
11
外力做实功 A： A=U 物体的应变能U
U WdV
V
W：应变能密度——单位体积的应变能。
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5
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
1.2 应变能密度W与材料的本构关系
当外载 f f i ei ，F Fi ei
缓慢施加过程中，考察外 力施加过程中，瞬时外力 功增量变化。
V s V

S
Fi ui dS ( ij ui )n j dS V ( ji ui ), j dV
S
代入外力功增量
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
A ( fi ji , j ) ui dV ji ui , j dV
C11 C12 C 22 C 对 称 C13 C 23 C33 0 0 0 C 44 0 0 0 0 C55 0 0 0 0 0 C66
特点：正应变仅引起正应力，剪应变仅产生剪 应力。
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§4-2 线弹性体的本构关系
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
由
W ijij
W W ij ij
0
积分得
ij
——应变能密度定义式。
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
应变能密度定义式
ij ij ij dij
18
§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料
根据
W ij ij ， 得
ij kl
kl W ij kl ij
2
则 [C] 为对称矩阵 [C]= [C]T。
2019/2/419ຫໍສະໝຸດ §4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料 Eijkl 的独立系数为21个——材料为各向 异性线弹性材料。 *对各向异性材料的本构关系可见，剪应 变引起正应力，正应变也产生剪应力。 弹性材料性质一般都具有某些对称性， 利用对称可进一步简化 [C] 中系数。
W W ij ij
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
W ij ij
比较上面二式，得：
W W ij ij
W ij f ij ( kl )——本构关系（方程） ij
适用于各种弹性情况（线性、非线性）
第四章 应力应变关系（本构方程）
§4-1 应变能、应变能密度与弹性
材料的本构关系
§4-2 线弹性体的本构关系
§4-3 各向同性材料弹性常数
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1
第四章 应力应变关系（本构方程）
本章讨论弹性力学的第三个基本规律。 应力、应变之关系，这是变形体力学研究问题 基础之一。在前面第二、三章分别讨论了变形 体的平衡规律和几何规律（包括协调条件）。
3.1 本构关系用、G表示 或
1 1 ij ij ij kk ij ij kk 2G 2G 2G 3 2G
Ⅰ ＝ kk Θ
——应力第一不变量；
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§4-3 各向同性材料弹性常数
3.1 本构关系用、G表示
x3
x1 o
f
F
x2
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
在某一时刻t：
f f i ei
产生
F Fi ei
u ui ei
ij ei e j
ij ei e j
应变能密度W 的表达式？
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的


2( G )
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§4-3 各向同性材料弹性常数
3.2 本构关系用弹性模量E和泊松系数 表示
则本构关系变为材料力学中最初见到的 广义虎克定理的形式：
1 1 x ( x y z ) y ( y z x ) E E 1 z ( z x y ) E
30
§4-2 线弹性体的本构关系
2.5 各向同性材料
令C12 , C11 C12 2G, 则C11 2G
0 0 0 2G 2G 0 0 0 2G 0 0 0 2G 0 0 对 称 2G 0 2G
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§4-3 各向同性材料弹性常数
yz
2(1 ) yz E
xy
2(1 ) xy E
zx
2(1 ) zx E
采用指标 符号表示：
1 ij (1 ) ij ij kk E E ij ij ij kk 1 1 2
S
s
：函数增量
f i u i dV Fi u i dS U WdV
V
应变能增量A 中有体积分和面积分，利用 柯西公式和散度定理将面积分换成体积分。
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
A fi ui dV Fi ui dS U WdV
§4-2 线弹性体的本构关系
x ' x1 x ' x2
1
2
x x
' 3
3
x ' x ' x1 x2
1 2
x ' x ' x3 x1
3 1
x ' x ' x3 x2
3 2
应变张量具有相同关系 。
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§4-2 线弹性体的本构关系
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x3
弹性主轴
x2
x3’
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§4-2 线弹性体的本构关系
Qi’j x’1 = x1 x’2=x2 x’3=-x3 代入 得
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x1 x2 1 0
x3 0 0 -1
0 1 0 0
i ' j ' Qi ' k Q j 'l kl
i ' j ' Qi ' k Q j 'l kl
ijjikllk201120115516161717442123123332211123123332211ijkl减少为6636个独立系数用矩阵表示本构关系21各向异性材料20112011551616181844266626126222116121121各向异性材料201120115516161919442根据ijijijklklijklij21各向异性材料20112011551616202044221各向异性材料对各向异性材料的本构关系可见剪应变引起正应力正应变也产生剪应力
2.4 横观各向同性材料——弹性体对一个轴对称
若通过物体每一点可作这 样的轴（如x3轴），在此轴 成垂直的平面内，所有射 线方向的弹性性质都是相 同的，称这个平面为各向 同性面，如地层属于此类。 [C]中独立系数为5个：
x3
x2’

x1

x2
x1’
各向同性面
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§4-2 线弹性体的本构关系
代入两组坐标系下的弹性方程 {}=[c]{} , 比较得
C11 C12 C 22 C 对 称
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C13 C 23 C33
0 0 0 C 44
0 0 0 C 45 C55
C16 C 26 C36 0 0 C66
两个第一不变量关系
kk kk 3 2G
1 e 3 2G
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§4-3 各向同性材料弹性常数
3.2 本构关系用弹性模量E和泊松系数 表示
令 或
E (1 )(1 2 )
E G 2(1 )
G (3 2G ) E ( G )
2.4 横观各向同性材料——弹性体对一个轴对称
C11 C12 C13 0 C11 C13 0 C33 0 C C44 对 称 0 0 0 0 C44 0 0 0 0 (C11 C12 ) 0
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§4-2 线弹性体的本构关系
ji,j+ fi = 0
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ij =( ui,j+ uj,i)/2
2
第四章 应力应变关系（本构方程）
共9个方程，但需确定的未知函数共15个：
ui，ij=ji， ij=ji，
还需要根据材料的物理性质来建立应力与 应变间的关系：
ij = ji = fij ( kl )
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dW W
W W ij ij
0
ij
ij
一些书上写为
W dW ij d ij
0
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ij
§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料
在线弹性体应力与应变为线性关系，材料均匀
和小变形情况,以及当 ij=0 时 ij=0。 用指标符号表示：ij = Eijkl kl Eijkl 共有81个元素（四阶张量常数）。
25
§4-2 线弹性体的本构关系
2.3 具有三个正交弹性对称面的材料——正交 各向异性材料
木材、增强纤维复合材料属此种材 料。取x1，x2 ， x3为弹性主轴。 [C]中独立系数减少为9个：
2019/2/4
26
§4-2 线弹性体的本构关系
2.3 具有三个正交弹性对称面的材料——正交各 向异性材料
2019/2/4
20
§4-2 线弹性体的本构关系
2.2 具有一个弹性对称面的材料
若物体内各点都有这样一 个平面，对此平面对称方 向其弹性性质相同，则称 此平面为弹性对称面，垂 直弹性对称面的方向称为 弹性主轴。
x3
弹性主轴
x2
x1
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§4-2 线弹性体的本构关系
如取弹性对称面为x1 —x2 面， x3为弹性主轴或 材料主轴，并取另一坐标 系x’i ，且x’1 = x1，x’2=x2， x’3=-x3。在两个坐标下， 弹性关系保持不变，则[C] x1 中元素减少为13个独立系 数。
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§4-3 各向同性材料弹性常数
3.1 本构关系用、G表示
采用指标符号表示：
ij 2G ij ij kk 2G ij ij Ⅰ
其中
Ⅰ kk e
——应变第一不变量（体积应变）
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§4-3 各向同性材料弹性常数
2.5 各向同性材料 各个方向弹性性质一样，[C]中仅有2个独立 系数：
C11 C12 C12 C11 C12 C11 C 对 称
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0 0 0 0 0 0 (C11 C12 ) 0 0 (C11 C12 ) 0 (C11 C12 ) 0 0 0