2019_2020学年高中数学周周回馈练五含解析新人教A版必修3

周周回馈练(五)
一、选择题
1．先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是( )
A ．“至少一枚硬币正面向上”
B ．“只有一枚硬币正面向上”
C ．“两枚硬币都是正面向上”
D ．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
答案　A
解析　根据基本事件的定义及特点可知A 正确．
2．从数字1、2、3、4、5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这两个数的和为偶数的概率是( )
A ．
B ．
C ．
D ．15253545
答案　B
解析　从5个数中任取2个不同的数有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共有10种．其中两个数的和为偶数有：(1，3)，(1，5)，(2，4)，(3，5)，故所求概率为P ＝＝．41025
3． 如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )
A ．1－
B ．－1
C ．2－
D ．π4π2π2π4
答案　A
解析　由题意得无信号的区域面积为2×1－2×
×12＝2－，由几何概型的概率公式，π4π2
得无信号的概率为P ＝＝1－．2－π22π4
4．学校游园活动有一个游戏项目：箱子里装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏时从箱子里摸出3个球，若摸出的是3个红球为优秀；若摸出的是2个红球1个白球为良好；否则为合格，则在1次游戏中获得良好及以上的概率为( )
A ．
B ．1
C ．
D ．31012710715
答案　C
解析　将3个红球编号为1，2，3，将2个白球编号为4，5，则从5个球中摸出3个球的所有可能情况为(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)共有10种．
令D 表示在1次游戏中获得优秀的事件，
E 表示在1次游戏中获得良好的事件，
F 表示在1次游戏中获得良好及以上的事件
P (D )＝，P (E )＝，P (F )＝P (D )＋P (E )＝．
11035710
5．从集合A ＝{－1，1，2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2，1，2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限的概率为( )
A ．
B ．
C ．
D ．29134959
答案　A
解析　由于k ∈A ＝{－1，1，2}，b ∈B ＝{－2，1，2}．
得到(k ，b )的取值所有可能结果有：
(－1，－2)，(－1，1)，(－1，2)，(1，－2)，(1，1)，(1，2)，(2，－2)，(2，1)，(2，2)共9种，而当Error!时，直线不经过第三象限，符合条件的(k ，b )有2种结果．即(－1，1)，(－1，2)，
∴直线不过第三象限的概率P ＝．故选A ．29
6．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途中蹚过了一条河，到达乙地后，他发现自己不小心把一件物品丢在途中，若物品掉进河里就找不到，物品不掉进河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为( )2425A ．16 m B ．20 m C ．8 m D ．10 m
答案　B
解析　本题考查与长度有关的几何概型的灵活应用．物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件．找到的概率为
，即掉进河里的概率为，则河流的2425125宽度占总长度的，所以河宽为500×＝20 m ，故选B ．125125
二、填空题
7．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台报时，则他等待的时间不多于10分钟的概率是________．
答案　16
解析　1小时等于60分钟，若他等待的时间不多于10分钟，则打开收音机的时段为[50，60]．所以他等待的时间不多于10分钟的概率是＝．106016
8．用红、黄、蓝三种不同颜色给如图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形颜色都相同的概率是________，3个矩形颜色都不同的概率是________．
答案 1929
解析　所有可能的基本事件共有27个，如图所示：
记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A ，由图知，事件A 中的基本事件有3个，故P (A )＝＝．记“3个矩形颜色都不同”为事件B ，由图可知，事件B 中的基本事件有6个，即红32719
黄蓝，红蓝黄，黄红蓝，黄蓝红，蓝红黄，蓝黄红．故P (B )＝＝．故填，．627291929
9．如图，半径为5 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心且半径为1 cm 的小圆形区域，现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币随机完全落在纸板内，则硬币与小圆形无公共点的概率为________．
答案　34
解析　记“硬币落下后与小圆形无公共点”为事件A ，硬币要落在纸板内，硬币圆心到纸板圆心的距离应该小于4，其面积为16π．硬币与小圆形无公共点也就意味着，硬币的圆心与纸板的圆心相距超过2 cm ，以纸板的圆心为圆心，作一个半径为2 cm 的圆，硬币的圆心在此圆外面时，硬币与半径为1 cm 的小圆无公共点，此半径为2的圆的面积是4π，所以硬
币与小圆形有公共点的概率为＝，硬币与小圆形无公共点的概率为P (A )＝1－＝．故4π16π141434
答案为．34
三、解答题
10．每年5月17日为国际电信日，某市电信公司在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元．电信日当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．
(1)求某人获得优惠金额不低于300元的概率；
(2)若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率．
解　(1)设事件A ＝“某人获得优惠金额不低于300元”，则P (A )＝＝．150＋10050＋150＋10056
(2)由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，分别记为a 1，b 1，b 2，b 3，c 1，c 2，从中选出两人的所有基本事件如下：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 2，b 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 3，c 1)，(b 3，c 2)，(c 1，c 2)，共15个，设事件B ＝“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”，使得事件B 成立的为(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，(c 1，c 2)，共4个，则P (B )＝．415
11．(1)在区间[0，4]上随机取两个整数m ，n ，求关于x 的一元二次方程x 2－x ＋m ＝0n 有实数根的概率P (A )；
(2)在区间[0，4]上随机取两个数m ，n ，求关于x 的一元二次方程x 2－x ＋m ＝0有实数n 根的概率P (B )．
解　方程x 2－x ＋m ＝0有实数根，则Δ＝n －4m ≥0．
n (1)由于m ，n ∈[0，4]，且m ，n 是整数，因此列举可得，m ，n 可能的取值共有25组．又满足n －4m ≥0的m ，n 的取值有Error!Error!Error!Error!Error!Error!共6组．
因此，原方程有实数根的概率为P (A )＝．625
(2)由于Error!对应的区域(如图中正方形区域所示)面积为16，而n －4m ≥0(m ，n ∈[0，4])
表示的区域(如图中阴影部分所示)面积为×1×4＝2．12
因此，原方程有实数根的概率为P (B )＝＝．S 阴影S 正方形18
12．从某工厂抽取50名工人进行调查，发现他们一天加工零件的个数在50至350之间，现按生产的零件个数将他们分成六组，第一组[50，100)，第二组[100，150)，第三组[150，200)，第四组[200，250)，第五组[250，300)，第六组[300，350]， 相应的样本频率分布直方图如图所示．
(1)求频率分布直方图中x 的值；
(2)设位于第六组的工人为拔尖工，位于第五组的工人为熟练工，现用分层抽样的方法在这两类工人中抽取一个容量为6的样本，从样本中任意取两个，求至少有一个拔尖工的概率．
解　(1)根据题意，(0．0024＋0．0036＋x ＋0．0044＋0．0024＋0．0012)×50＝1，解得x ＝0．0060．
(2)由题知拔尖工共有3人，熟练工共有6人．抽取容量为6的样本，则其中拔尖工为2人，熟练工为4人，可设拔尖工为A 1，A 2，熟练工为B 1，B 2，B 3，B 4．
则从样本中任抽2个的可能情况有：A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 1B 4，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 2B 4，A 1A 2，B 1B 2，B 1B 3，B 1B 4，B 2B 3，B 2B 4，B 3B 4，共15种，
至少有一个是拔尖工的可能有：A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 1B 4，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 2B 4，A 1A 2，共9种，
所以至少有一个拔尖工的概率是＝．91535。