湖南省衡阳市第八中学2020学年高二数学上学期期中试题 文(含解析)

2020学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期期中考试数学（文科）
试题
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题
1．下列语句中哪个是命题 A ．张三是“霸中”学生啊！ B ．张三在八中学习快乐吗？ C ．张三可以考上清华大学
D ．张三高考数学成绩不超过 150 分 2．“0x >”是“10x +>”的
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件 3．已知命题 ，，则为 A ．，=5 B ．∀x ∈R ， C ．，=5 D ．，≠5
4．已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离 A ．2 B ．3 C ．5 D ．7
5．函数f （x ）=﹣x 2
+在x=1处的切线的斜率为 A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．1
6．已知双曲线的一条渐近线与直线x ﹣y+2=0垂直，则它的离心率为 A ． B ． C ． D ．1
7．过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点,这样的直线共有 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
8．已知函数()cos 1x f x x =+， ()f x 的导函数为()'f x ，则'2f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
A ．2
π
-
B ．1
π
-
C ．π
D ．2π
9．P 是椭P 作椭圆长轴的垂线,垂足为点M ,则PM 的中点的轨迹方程为 A ． B ． C ． D ．
10．设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于 A ． B ． C ．6 D ．10
11．设F 为抛物线y 2
=4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若，则 A ．6 B ．4 C ．3 D ．2
12．P 为椭圆 上异于左右顶点A 1、A 2的任意一点，则直线PA 1与PA 2的斜率之积为定值．将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P 为双曲线上异于左右顶点A 1、A 2的任意一点，则
A ．直线PA 1与PA 2的斜率之和为定值
B ．直线PA 1与PA 2的斜率之和为定值2
C ．直线PA 1与PA 2的斜率之积为定值
D ．直线PA 1与PA 2的斜率之积为定值2
二、解答题
13．已知含有量词的两个命题p 和q ，其中命题p ：任何实数的平方都大于零；命题q ：二元一次方程2x+y=3有整数解．
（Ⅰ）用符号“∀”与“∃”分别表示命题p 和q ； （Ⅱ）判断命题“（￢p ）∧q”的真假，并说明理由． 14．已知函数()2ln .f x x x = （1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图像在1x =处的切线方程.
15．设命题p ：对任意实数x ，不等式2
20x x m -+≥恒成立；命题q :方程
22
1(0)x y t m t m
-=>-表示焦点在x 轴上的双曲线.
（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p 是q 的充分条件，求实数t 的取值范围.
16．已知点A （﹣，0）和B （，0），动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2． （1）求点C 的轨迹方程；
此
卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
（2）点C的轨迹与经过点（2，0）且斜率为1的直线交于D、E两点，求线段DE的长．17．抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴正半轴上，准线l与圆224
x y
+=相切.
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知直线l和抛物线C交于点,A B，命题P：“若直线l过定点（0，1），则7
OA OB
⋅=-
u u u r u u u r
”，
请判断命题P的真假，并证明.
18．已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知、是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点.
①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；
②当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.
三、填空题
19．命题“若a＞2，则a2＞4”的逆否命题可表述为：_____．
20．已经抛物线方程y2=4x，则其准线方程为_____．
21．函数f（x）=ax3+x+1在x=1处的切线与直线4x﹣y+2=0平行，则a=_____．22．已知椭圆C:
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左右焦点分别为
1
F，
2
F,点P在椭圆C上，线段
2
PF 与圆：222
x y b
+=相切于点Q，若Q是线段
2
PF的中点，e为C的离心率，则
22
3
a e
b
+
的最小值是______________
2020学年湖南省衡阳市第八中学 高二上学期期中考试数学（文科）试题
数学 答 案
参考答案 1．D 【解析】 【分析】
根据命题的定义可以得到正确答案. 【详解】
命题是可以判断真假的语句，一般惊叹句，疑问句，祈使句都不是命题，所以选D. 【点睛】
本题主要考查了命题的概念，属于容易题. 2．B
【解析】“10x +>”即为“1x >-”。

所以当“0x >”时“1x >-”成立，反之不一定成立。

因此“0x >”是“10x +>”的充分不必要条件。

选B 。

3．D 【解析】
试题分析：根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论． 解：∵命题是全称命题，
∴根据全称命题的否定是特称命题得：￢p 为∃x 0∈R ，2≠5，
故选：D ．
考点：全称命题；命题的否定． 4．D 【解析】
由椭圆，可得，则，且点到椭圆一焦点的距离为，由定义得点到另一焦点的距离为，故选C. 5．B 【解析】 【分析】
根据导数的几何意义可知，求导后计算即可.
【详解】 因为,
所以 ，故选B.
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，属于容易题. 6．C 【解析】 【分析】
根据双曲线的标准方程知渐近线方程为，其中一条与直线x ﹣y+2=0垂直，可知，即可计算离心
率.
【详解】
由双曲线可知渐近线方程为， 且一条渐近线与直线x ﹣y+2=0垂直， 所以， ，即. 故选C. 【点睛】
本题主要考查了双曲线的渐近线，离心率，属于中档题. 7．C 【解析】
试题分析：通过图形可知满足题目要求的直线只能画出3条 考点：直线与抛物线位置关系 点评：数形结合法解题 8．A
【解析】()211cos sin f x x x x x
=-
-' 2122012f ππππ⎛⎫
∴=-⨯-⨯=- ⎪⎝'⎭
故选A 9．B
【解析】分析：设中点坐标为，则，因在椭圆上，故而可求的关系式即中点的方程. 详解：中点坐标为，则，因在椭圆上，故，故选B.
点睛：求动点的轨迹方程，一般有如下几种方法：
几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；
动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；
参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.
10．C
【解析】
根据双曲线的定义，联立解得，由于，故为直角三角形，故面积为.
11．A
【解析】
【分析】
设，根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，再根据，判断点是重心，进而求的值，最后根据抛物线的定义求得答案.
【详解】
设,
抛物线焦点坐标，准线方程
因为
所以点是重心，故，
而 .
【点睛】
本题主要考查了抛物线的简单性质，重心的性质，属于中档题.
12．C
【解析】
【分析】
验证直线PA1与PA2的斜率之积为定值即可.
【详解】
设则即，
，
故选C.
【点睛】
本题主要考查了类比的思想，双曲线的简单性质，属于中档题.
13．（1）见解析；（2）（￢p）∧q”为真.
【解析】
【分析】
（1）根据命题可知p是全称命题，q是存在性命题，即可用符号写出命题（2）p为假命题，￢p真，q是真命题，故可判定（￢p）∧q”为真.
【详解】
（Ⅰ）命题p：∀x∈R，x2＞0，
命题q：∃x0，y0∈Z，2x0+y0=3；
（Ⅱ）p为假，则￢p为真，又q为真，
∴“（￢p）∧q”为真．
【点睛】
本题主要考查了含有量词的命题，复合命题真假的判定，属于中档题.
14．（1）()2ln2
f x x
=
'+；（2）()()()
12ln2;22 2.
f x x y x
==-
'+.
【解析】试题分析：（1）利用函数乘积的求导法则求导即可；
（2）先求得在1处的导数值得切线斜率，进而得切线方程.
试题解析：
（1）()
1
2ln22ln2
f x x x x
x
==
'++
n;
（2）切线斜率()
k12
f
='=，()10
f=
所以切线方程22
y x
=-.
15．(1) 1
m≥；(2) (]
0,1.
【解析】试题分析：（1）由不等式220
x x m
-+≥恒成，可得立440
m
∆=-≤，从而可得命题p为真命题的m的取值范围；（2）结合（1）所求的m的取值范围，根据双曲线的定义求出q 为真时满足当m t
>，由p是q的充分条件，等价于{}{}
1
m m m m t
≥⊆≥，解不等式即可得结果.
试题解析：（1）Q不等式220
x x m
-+≥恒成立∴440
m
∆=-≤1
m
∴≥，∴当时，p为真命题.
（2）因为方程
22
1
x y
m t m
-=
-
表示焦点在x轴上的双曲线.
∴
{
m t
m
->
>
，得m t
>；∴当m t
>时，q为真命题.
Q p 是q 的充分条件，
{}{}1m m m m t ∴≥⊆≥
1t ∴≤
综上， t 的取值范围是(]
0,1. 16．（1）； （2）. 【解析】 【分析】
（1）根据双曲线的定义，先判断轨迹，再写出方程 （2）根据直线与双曲线相交，利用弦长公式求解即可.
【详解】
（1）∵点A （﹣，0）和B （，0），
动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2． |AB|=2＞2，
∴C 的轨迹方程是以A （﹣，0）和B （，0）为焦点的双曲线， 且a=1，c=， ∴C 的轨迹方程是
（2）∵C 的轨迹方程是2x 2﹣y 2=2，经过点（2，0）且斜率为1的直线方程为y=x ﹣2． ∴联立，得x 2
+4x ﹣6=0，
设D （x 1，y 1）、E （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=﹣6， ∴|DE|=．
故线段DE 的长为 ． 【点睛】
本题主要考查了双曲线的定义，直线与双曲线的位置关系，弦长公式，属于中档题 17．（Ⅰ）2
8x y =（Ⅱ）命题P 为真命题 【解析】
试题分析：（Ⅰ）设抛物线C 的方程为：x 2
=2py ，p ＞0，由已知条件得圆心（0，0）到直线l 的距离012p ⎛⎫
⎛⎫--
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，由此能求出抛物线线C 的方程；
（Ⅱ）设直线m ：y=kx+1，交点A ()11,x y ，B ()22,x y 联立抛物线C 的方程2
4x y =，得x 2
-4kx-4=0，△=16k 2
+16＞0恒成立，由此利用韦达定理能证明命题P 为真命题
试题解析：（Ⅰ）依题意，可设抛物线C 的方程为：2
2x py =，0p > 其准线l 的方程为：2
p y =-
∵准线l 圆2
2
4x y +=相切 ∴
22
p
=解得p=4 故抛物线线C 的方程为：2
8x y =………….…5分
（Ⅱ）命题p 为真命题 ……………………………………６分 直线m 和抛物线C 交于A ，B 且过定点（0，1），
故所以直线m 的斜率k 一定存在，………………………7分 设直线m ：1y kx =+，交点
11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立抛物线C 的方程，28x y =
得2880x kx --=，264640k ∆=+>恒成立，………8分
由韦达定理得121288x x k
x x +=⎧⎨⋅=-⎩………………………………………9分
212121212(1)(1)()1y y kx kx k x x k x x =++=+++
=1212x x y y +288817k k =--++=-
∴命题P 为真命题.………………………………………12分. 考点：直线与圆锥曲线的综合问题 18．（1）；（2）直线的斜率为定值。

【解析】
试题分析：（1）根据离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，易求出a ，b 的值，得到椭圆C 的方程．
（2）设出直线AB 的方程代入椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系，求得四边形APBQ 的面积，从而可求四边形APBQ 面积的最大值；
（3）设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为-k ，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系，即可求得得出AB 的斜率为定值．
试题解析：（1）设C 方程为（a ＞b ＞0），则。

由，，得故椭圆C 的方程为。

4分 （2）①设（，），B （，），直线AB 的方程为，代入中整理得，△＞0－4＜＜4，+=， = 四边形APBQ 的面积=，当时
②当＝时，PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为，则PB 的斜率为－，PA 的直线方程为，代入中整理得
+ =0，2+=，
同理2+=，+=，－=，
从而=，即直线AB的斜率为定值 13分
考点：1.直线与圆锥曲线的综合问题；2.椭圆的标准方程．
19．“若a2≤4，则a≤2”．
【解析】
【分析】
根据逆否命题的定义即可写出.
【详解】
因为原命题为“若a＞2，则a2＞4”，
所以逆否命题为“若a2≤4，则a≤2”.
【点睛】
本题主要考查了命题的逆否命题，属于中档题.
20．x=﹣1
【解析】
【分析】
根据抛物线的标准方程可知，写出其准线即可.
【详解】
由抛物线方程可知，
所以准线方程为，故填.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的方程，抛物线的简单性质，属于中档题.
21．1
【解析】
【分析】
由题意知，f（x）在x=1处的切线的斜率为4，根据导数的几何意义即可求解. 【详解】
因为f（x）在x=1处的切线与直线4x﹣y+2=0平行，
所以f（x）在x=1处的切线的斜率为4
又，
所以，解得，故填1.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于中档题.
22．
5
3
【解析】连接
1
,
PF OQ,
由OQ为中位线，可得
1
//
OQ PF ,
1
1
2
OQ PF
=,
圆222
x y b
+=，可得OQ b
=且
1
2
PF b
=，
由椭圆的定义可得
12
2
PF PF a
+=，可得
2
22
PF a b
=-，
又
2
OQ PF
⊥，可得
12
PF PF
⊥，
即有()()()
222
2222
b a b c
+-=，即为222222
2
b a ab b
c a b
+-+==-，化为23
a b
=，即
2
3
b a
=，
22
5
c a b a
=-=，即有
5
c
e
a
==，
则
2
22
5
15155
92
322929
a
a e
a a
b a a a
+
+⎛⎫
==+≥⋅⋅=
⎪
⎝⎭
，
当且仅当
5
9
a
a
=时，即
5
a=时等号成立，所以
22
3
a e
b
+
的最小值为
5
.。