条件分布与条件期望

33
XY 3 1 2
P
61
77
43 P
77 4
例2. 设随机变量X ,Y相互独立,X P(1), Y P(2 ) ，
在X Y n的条件下，求X的条件分布.
解：X Y P(1 2 )
P(X k X Y n) P(X k, X Y n) P(X k,Y n k)
P(X Y n)
pY ( y)E( X Y y) dy E( X Y y)看作是y的函数.
E[E( X Y )]
13
例5 一矿工被困在有三个门的矿井里，第一个门通 甲坑道，须走3小时到达安全区；第二个门通乙坑 道，走5小时回到原处；第三个门通丙坑道，走7小 时回到原处。问他平均用多长时间能够到达安全区。 分析：到达安全区的时间与第一次选择的门有关，
i
1 (1 (2 EX )
yi )P(Y yi )
(n EX ))
EX
n(n 1) . 2
n
17
作业：
P197 2 4
18
The End！
Thank You！
Department of Mathematics
19
即有
P(X x Y y)
x p( x, y) dx;
pY ( y)
同样可得 P(Y y X x)
y p( x, y) dy .
pX ( x)
8
2、连续随机变量的条件分布
定义3：对y,且pY ( y) 0，在给定Y y条件下
X的条件分布函数和条件密度函数分别是：
F ( x y)
3 E( X Y 2) 5 EX; E( X Y 3) 7 EX .
E( X ) E( X Y y j )P(Y y j )
j
1
EX 15 .
(3 5 EX 7 EX )
3
16
例6 口袋里有编号为1，2，…，n 的n个球，从中
任取一球。若取到1号球,则得1分,且停止摸球；若
x yh
P( X x, y Y y h)
lim
lim
h0 P( y Y y h)
h0
(
p( x, y)dy)dx
y yh
y pY ( y)dy
x
h p( x, )dx
lim
x
p( x, y)dx
x p( x, y) dx
h0 hpY ( )
pY ( y)
pY ( y)
这里涉及到条件分布问题. 平均用多长时间能够到达安全区，即是求期望. 利用条件分布先求出条件期望，再利用重期望公式.
E( X ) E(E( X Y )) 直接求X的分布是不可能的，如下分析：
14
乙 甲
乙
丙
甲
乙
丙
乙 甲
甲
丙
乙
甲
丙
乙
丙
甲
乙
丙
甲
丙
……到达安全区的时间
…… 3小时
5+3小时
……7+3小时 ……5+5+3小时 ……5+7+3小时 ……7+5+3小时
P
111
623
3
例1 设(X,Y)的联合分布列如下，求X,Y的条件分布.
XY 1
2
3
pi .
1 0.1 0.3 0.2 0.6
2 0.2 0.05 0.15 0.4
p. j 0.3 0.35 0.35
同样可以求出其他条件分布
Y X 2 1 2 3
P
113
288
XY 2 1 2
X Y 1 1 2
P
12
P(X Y n)
e e k 1 nk 2
1
2
k! (n k)!
(1
) en (12 ) 2
Cnk
(
1
1
2
)k
(
1
2
2
)nk
,
k
0,1, 2,
n.
n!
即X的条件分布是：B(n, 1 ) . 1 2
5
例3 设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从
泊松分布P(λ)，每个顾客购买某种商品的概率为p，
P(Y y) 这里，在研究条件概率 P( X x Y y) 时， 可以考虑 h 0时，P( X x y Y y h)的极限.
即 P( X x Y y) lim P( X x y Y y h). h0 7
P( X x Y y) lim P( X x y Y y h). h0
pi
j为给定Y
y
条件下
j
xi x
X的条件分布函数.
类似可定义: pj i
pij pi
,
注意：F ( x
yj)
F(x, yj ) FY ( y j )
j 1,2, ;F ( y xi ) pj i
yjy 2
例1 设(X,Y)的联合分布列如下，求X,Y的条件分布.
XY 1
2
3
pi .
1 0.1 0.3 0.2 0.6
( p)k e p ,k 0,1,2, 即Y服从泊松分布 Y P( p) .
k!
2、连续随机变量的条件分布
对于连续型随机变量(X ,Y ),由于P( X x) 0, P(Y y) 0. 因此,无法直接求出 P(Y y X x) P(Y y, X x) ;
P(X x) P( X x Y y) P( X x,Y y) .
pY ( y) p( x y)dy;
全概率公式
pY ( y) pX ( x) p( y x)dx
p( x y)
pY ( x) p( y x)
;
pY ( x) p( y x)dx
p( y x)
pY ( y) p( x y)
pY ( y) p( x y)dy
贝叶斯公式
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二、条件数学期望
2 0.2 0.05 0.15 0.4
p. j 0.3 0.35 0.35
解：P(Y 1 X 1) P( X 1,Y 1) 0.1 1 ; P( X 1) 0.6 6
同样有
P(Y
2
X
1)
1 ;
P(Y
3
X
1)
1 .
2
3
所以，在X=1的条件下 Y X 1 1 2 3
Y的条件分布为
xi P( X xi Y y), 离散型；
1.定义：E( X Y y) i
xp( x y)dx,
连续型.
注：条件期望E( X Y y)是Y的函数.
例如，人的身高与足长的关系 E( X Y y) 6.876 y.
2.重期望公式
E( X Y y j )P(Y y j ), 离散；
x p( x, y) dx,
p( x y) p( x, y) .
pY ( y)
pY ( y)
定义4：对x,且pX ( x) 0，在给定X x条件下
Y的条件分布函数和条件密度函数分别是：
F ( y x)
y p( x, y) dy,
p( y x) p( x, y) .
pX ( x)
pX (x)
并且每个顾客是否购买某种商品相互独立，求进入商
店的顾客购买该种商品的人数Y的分布列。
解：X P( X m) me , m 0,1,2,
m! 在X=x的条件下，Y 的条件分布的是 二项分布
即 P(Y k X m) Cmk pk (1 p)m p ,k 0,1,2, ,m.
由全概率公式 P(Y k) P(X m)P(Y k X m) mk
……7+…7+…3小时 ……
例5 一矿工被困在有三个门的矿井里，第一个门通
甲坑道，须走3小时到达安全区；第二个门通乙坑
道，走5小时回到原处；第三个门通丙坑道，走7小
时回到原处。问他平均用多长时间能够到达安全区。
解：记Y为第一次所选的门，则有 P(Y 1) P(Y 2) P(Y 3) 1 ; E( X Y 1) 3;
j
E( X ) E(E( X Y ))
E(X

y)pY ( y)dy，
连续.
12
E( X ) E(E( X Y ))
E(X
Y
y)pY ( y)dy
的证明
E( X )
xp( x, y)dxdy
xpY ( y) pX Y ( x y)dxdy
pY ( y) xpX Y ( x y)dx dy
注：它们之间的关系类似于概率乘法公式.
9
例4. 设 ( X ,Y )服从G ( x, y) : x2 y2 1 上的均匀分布，
求给定Y y条件下X的条件密度函数 p( x y) .
解：p( x,
y)
1
,
x2
y2
1;
，
0 , 其他.
1
1
pY ( y)
1 y2 1 dx = 2 1 y2 , 1 y 1;
取到i(i≥2)号球，则得i分，且将球放回，重新摸球。
如此下去，求得到的平均总分数。
解：记X为得到的总分数，Y为第一次摸到球的号码. P(Y 1) P(Y 2) P(Y n) 1 . n E( X Y 1) 1; E( X Y i) i EX . i 2.
而
E(X) E(X Y
1 y2
0 , 其他. 1
p( x y) p( x, y) 2 1 y2 , 1 y2 x
pY ( y)
0 , 其他.
1 y2;
3、连续场合的全概率公式和贝叶斯公式
p( x, y) pX ( x) p( y x) pY ( y) p( x y)
pX ( x)
p( x, y)dy
第五节 条件分布与条件期望
1
一、条件分布
1、离散型随机变量的条件分布
定义1：设( X ,Y ) P( X xi ,Y y j ) pij ,
对y j ,若P(Y
yj)
p j 0, 称 pi j
pij , i 1, 2, pj
为给定Y y j条件下X的条件分布列.
定义2：称F ( x y j )