包括某些推理规则以及置换合一等概念。但对于许多比较复

S(x,y)∨～M(y)∨I(f(x)),～S(x,y)∨～ M(y)∨E(x,f(x)),～I(z),S(a,b),M(b)} ③把新产生的集合S’化成子句集,即 S’= {～ S(x,y)∨～M(y)∨I(f(x)),～S(x,y)∨～M(y)∨ E(x,f(x)),～I(z), S(a,b), M(b) }
P[y,f(A)] 进一步消解得消解式为：P[y,f(y)]
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可见这两个子句消解一共可得4个不同的消解式， 其中3个是消解P得到的，而另一个是由消解Q得 到的。
下面举几个对含有变量的子句使用消解的例子。
例1：
例2：
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例3：
本节中所例举的对基子句和对含有变量的子句进行消 解的例子，其父辈子句和消解式列表示于表4.1。这些例 子表示出消解推理的某些常用规则。
}
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3.4.2 消解推理规则
令L1为任一原子公式，L2为另一原子公式； L1 和L2具有相同的谓词符号，但一般具有不同的变 量。已知两子句L1∨α和～L2∨β如果L1和L2具 有最一般合一者σ，那么通过消解可以从这两个 父辈子句推导出一个新子句(α∨β)σ。这个新子句 叫做消解式。它是由取这两个子句的析取，然后 消去互补对而得到的。
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④应用消解原理，力图推导出一个表示矛盾的空子
句NIL。该消解反演可以表示为一棵反演树，如 下图4.1所示，其根节点为NIL。因此，储蓄问题 的结论获得证明。
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图 4.1 储蓄问题反演树
(4) 反演求解过程 从反演求解的举例中可以看出，用反演树求取
对某个问题的答案，其过程如下： (a) 把由目标公式的否定产生的每个子句添加到 目标公式否定之否定的子句中去。 (b) 按照反演树，执行和以前相同的消解，直至 在根部得到某个子句止。 (c) 用根部的子句作为一个回答语句。
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表 4.1 消解推理常用规则
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3.4.4 消解反演求解过程
1 基本思想 把要解决的问题作为一个要证明的命题，其目标
公式被否定并化成子句形，然后添加到命题公式 集中去,把消解反演系统应用于联合集，并推导出 一个空子句(NIL)，产生一个矛盾，这说明目标 公式的否定式不成立，即有目标公式成立，定理 得证，问题得到解决。这与数学中反证法的思想 十分相似。
下面举出几个从父辈子句求消解式的例子:
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(a)假言推理
父辈子句 消解式
(b) 合并
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(c) 重言式
父辈子句 消解式
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(d) 链式(三段论)
(e) 空子句(矛盾)
父辈子句 消解式
上各例可见，消解可以合并几个运算为一简单的推理规则 16
4.4.3 含有变量的消解式
为了对含有变量的子句使用消解规则，我们必须 找到一个置换，作用于父辈子句使其含有互补文 字。令父辈子句由｛Li｝和｛Mi｝给出，而且假 设这两个子句中的变量已经分离标准化。设｛li｝ 是｛Li｝的一个子集，｛mi｝是｛Mi｝的一个子 集，使得集｛li｝和｛～mi｝的并集存在一个最 一般的合一者σ。消解两个子句｛Li｝和｛Mi｝， 得到的新子句:
于是上述命题写成下列形式：
结论:
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用化为子句集的九步法，可把前提和结论化 为下列的子句集： S’={～S(x,y)∨～ M(y)∨I(f(x)),～S(x,y)∨～ M(y)∨E(x,f(x))} 其中，y=f(x)为Skolem函 数。而,～L＝
＝{～I(z),S(a,b),M(b)}
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以下按上述的四个步骤来对问题进行反演求解： ①否定L，即有 ～L ＝ {～I(z),S(a,b),M(b)} ②把 ～ L添加到S’中去，即 S’=｛～L，S’｝={～
数所使用的函数符号必须是新的，即不允许是公
式中已经出现过的函数符号。
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如果要消去的存在量词不在任何一个全称量词的 辖域内，那么我们就用不含变量的Skolem函数即 常量。例如，(x)P(x)化为P(A)，其中常量符号A 用来表示我们知道的存在实体。A必须是个新的 常量符号，它未曾在公式中其它地方使用过。
{{Li}-{li}}σ∪{{Mi}-{mi}}σ 就是这两个子句的消解式。
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消解两个子句时，可能有一个以上的消解式，因 为有多种选择｛li｝和｛mi｝的方法。不过，在 任何情况下，它们最多具有有限个消解式。作为 例子，我们考虑两个子句:
P[x,f(A)]∨P[x,f(y)]∨Q(y) 和 ～P[z,f(A)]∨～Q(z) 如果取 {li}={P[x,f(A)]}， {mi}={～P[z,f(A)]} 那么得到消解式: P[z,f(y)]∨～Q(z)∨Q(y) 如果取 {li}={Q(y)}，{mi}={～Q(z)} 那么得到消解式：P[x,f(A)]∨P[x,f(y)]∨～
如果用Skolem函数代替存在的x,我们就可以消去全 部存在量词，并写成：
从一个公式消去一个存在量词的一般规则是以一个
Skolem函数代替每个出现的存在量词的量化变量，
而这个Skolem函数的变量就是由那些全称量词所
约束的全称量词量化变量，这些全称量词的辖域
包括要被消去的存在量词的辖域在内。Skolem函
设公式L在逻辑上遵循公式集S，那么按照定义满足
S的每个解释也满足L。决不会有满足S的解释能
够满足～L的，所以不存在能够满足并集S∪｛～
L｝的解释。如果一个公式集不能被任一解释所
满足，那么这个公式是不可满足的。因此，如果
L在逻辑上遵循S，那么S∪｛～L｝是不可满足
的。可以证明，如果消解反演反复应用到不可满
前束形= (前缀) (母式) 全称量词串 无量词公式
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(6)把母式化为合取范式 任何母式都可写成由一些谓词公式和(或)谓词公 式的否定的析取的有限集组成的合取。这种母式 叫做合取范式。我们可以反复应用分配律。把任 一母式化成合取范式。例如，我们把 A∨{B∧C}化为{A∨B}∧{A∨C}
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(7)消去全称量词 到了这一步，所有余下的量词均被全称量词量化 了。同时，全称量词的次序也不重要了。因此， 我们可以消去前缀，即消去明显出现的全称量词。
而对于那些发展特别快的高级求解技术，如专家 系统、机器学习和规划系统等，则将在后续章节 讨论它们。
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内容提要
3.4 消解原理 3.5 规则演绎系统 3.6 产生式系统 3.7 系统组织技术 3.8 不确定性推理 3.9 非单调推理
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3.4 消解原理
化为子句集 消解推理规则 含有变量的消解式 消解反演求解过程
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答案求取涉及到把一棵根部有NIL的反演树变换 为在根部带有可用作答案的某个语句的一颗证明 树。由于变换关系涉及到把由目标公式的否定产 生的每个子句变换为一个重言式，所以被变换的 证明树就是一棵消解的证明树，其在根部的语句 在逻辑上遵循公理加上重言式，因而也单独地遵 循公理。因此被变换的证明树本身就证明了求取 办法是正确的。下面讨论一个简单的问题，作为 例子：
足的子句集，那么最终将要产生空子句NIL。因
此，如果L在逻辑上遵循S，那么由并集S∪｛～
L｝消解得到的子句，最后将产生空子句；反之，
可以证明，如果从S∪｛～L｝的子句消解得到空
子句，那么L在逻辑上遵循S。
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(3) 反演求解的举例 下面举个例子来说明消解反演过程： 前提：每个储蓄钱的人都获得利息。 结论：如果没有利息，那么就没有人去储蓄钱。 证明：令S(x,y)表示"x储蓄y" M(x)表示"x是钱" I(x)表示"x是利息" E(x，y)表示"x获得y"
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1 子句集的求取
在说明消解过程之前,我们首先说明任一谓词演算公 式可以化成一个子句集。其变换过程由下列九 个步骤组成：
(1)消去蕴涵符号 只应用∨和～符号，以～A∨B替换A=>B。
(2)减少否定符号的辖域 每个否定符号～最多只用到一个谓词符号上， 并反复应用狄·摩根定律。例如: 以～A∨～B代替～(A∧B)以～A∧～B代替～ (A∨B)以(x){～A}代替～(x)A以(x){～A}代替～ (x)A以A代替～(～A)
讨论了一些简单搜索的基本原理，包括某些推理 规则以及置换合一等概念。但对于许多比较复杂 的系统和问题，如果采用上一章讨论过的搜索方 法，那么很难甚至无法使问题获得解决的。需要 应用一些更先进的推理技术和系统求解这种比较 复杂的问题。
本章讨论消解原理，规则演绎系统、产生式系统、 不确定性推理和非单调推理等，
(8)消去连词符号∧ 用{(A∨B), (A∨C)}代替(A∨B)∧(A∨C)，以消 去明显的符号∧。反复代替的结果，最后得到一 个有限集，其中每个公式是文字的析取。任一个 只由文字的析取构成的合适公式叫做一个子句。
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(9)更换变量名称 可以更换变量符号的名称，使一个变量符号不出 现在一个以上的子句中。例如，对于子集{～ P(x)∨～P(y)∨P[f(x,y)],～P(x)∨Q[x,g(x)],～ P(x)∨～P[g(x)]}，在更改变量名后，可以得到子 句集： {～P(x1)∨～P(y)∨P[f(x1,y)], ～P(x2)∨Q[x2,g(x2)], ～P(x3)∨～P[g(x3)]
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2 消解反演 (1) 反演求解的步骤
给出一个公式集S和自标公式L，通过反证或反演 来求证目标公式L，其证明步骤如下： (a)否定L，得～L； (b)把～L添加到S中去； (c)把新产生的集合｛～L，S｝化成子句集； (d)应用消解原理，力图推导出一个表示矛盾的空 子句NIL。
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(2) 反演求解的正确性
例如：(z)(y)(x)P(x,y,z)被{(y)P(g(y),y,A)}代替，其 中g(y)为一Skolem函数。
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(5)化为前束形 到这一步，已不留下任何存在量词，而且每个
全称量词都有自己的变量。把所有全称量词移到 公式的左边，并使每个量词的辖域包括这个量词 后面公式的整个部分。所得公式称为前束形。前 束形公式由前缀和母式组成，前缀由全称量词串 组成，母式由没有量词的公式组成，即
“如果无论约翰(John)到哪里去，菲多(Fido)也 就去那里，那么如果约翰在学校里，菲多在哪里 呢?”
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很清楚，这个问题说明了两个事实，然后提出一个问题， 而问题的答案大概可从这两个事实推导出。这两个事实 可以解释为下列公式集S： ( x)[AT(JOHN,X)=>AT(FIDO,X)]和T(JOHN,SCHOOL) 如果我们首先证明公式( x)AT(FIDO,X)在逻辑上遵 循S，然后寻求一个存在x的例，那么就能解决“菲多在 哪里”的问题。关键想法是把问题化为一个包含某个存 在量词的目标公式，使得此存在量词量化变量表示对该 问题的一个解答。如果问题可以从给出的事实得到答案， 那么按这种方法建立的目标函数在逻辑上遵循S。在得到 一个证明之后，我们就试图求取存在量词量化变量的一 个例，作为一个回答。对于上述例题能够容易地证明 ( x)AT(FIDO,X) 遵循S。我们也可以说明，用一种比较简 单的方法来求取合适的答案。
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(3)对变量标准化 在任一量词辖域内，受该量词约束的变量为一哑 元(虚构变量)，它可以在该辖域内处处统一地被 另一个没有出现过的任意变量所代替，而不改变 公式的真值。合适公式中变量的标准化，意味着 对哑元改名以保证每个量词有其自己唯一的哑元。
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(4)消去存在量词
Skolem函数: 在公式(y)[(x)P(x,y)]中，存在量词是在 全称量词的辖域内，我们允许所存在的x可能依 赖于y值。令这种依赖关系明显地由函数g(y)所定 义，它把每个y值映射到存在的那个x。这种函数 叫做Skolem函数。
3
第二章中讨论过谓词公式，某些推理规则以及置 换合一等概念。在这个基础上，能够进一步研究 消解原理(resolution principle)。有些专家把它叫 做归结原理。
消解是一种可用于一定的子句公式的重要推理规 则。一个子句定义为由文字的析取组成的公式(一 个原子公式和原子公式的否定都叫文字)。当消解 可使用时，消解过程被应用于母体子句对，以便 产生一个导出子句。例如，如果存在某个公理 E1∨E2和另一公理～E2∨E3，那么E1∨E3在逻 辑上成立。这就是消解，而称E1∨E3为E1∨E2 和～E2∨E3的消解式(resolvent)。