等距节点分段二次插值的误差估计

当 x 为某一插值节点时, 对函数 k(x) 无约束；
(x xn )
当点
x
与插值节点
{xi
}n i0
互不相同时，构造以
t
为新自变量的函数
g(t) f (t) (t) k(x)n1 (t)
g(t) 在区间[a, b] 上的 n 2 个互异零点： x 、{xi}in0
当 g(t) 充分光滑时， g (n1) (t) 在开区间(a, b) 内至少存在一个零点ξ
特别的取 =Pn span 1, x, x2 ,, xn , 即
Pn (x ) (x ) a0 a1x a2x 2 an x n , ai R , 0 i n
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4 . 存在惟一性
分析 对于多项式插值问题，插值条件（1）等价于确 定多项式的系数，使得满足如下的线性方程组
f (x)
0 m3 m2


f (m) (x)

插值余项： Rn (x) f (x) (x)
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误差估计(续1)
分析： Rn (xi ) f (xi ) (xi ) 0, i 0,1, 2, , n
Rn (x) f (x) (x) k(x)n1(x) n1(x) (x x0 )(x x1)
0ik 0 i k 1
Lk (x) Lk1(x) A (x x0 )( x x1)(x xk1)
Lk
li (
(x) x)
(
k
f (xi )li (x)
i0
(x x0 )(x x1)(x xi x0 )(xi x1)(xi
ln (x)

(x x0 )( x x1)(x xn1) (xn x0 )( xn x1)(xn xn1)
称 n 次插值多项式
l0 (x) 、l1 (x)
、…、ln (x) 为关于节点
xi
n i 0
的拉格
朗日插值基函数.
这些基函数仅依赖于插值节点
x
i
n i 0
第五章 函数插值
问题提出
1 函数表达式过于复杂不便于计算, 而又需要计算许多点 处的函数值
2 仅有采样值, 而又需要知道非采样点处的函数值
……
Байду номын сангаас
上述问题的一种解决思路：建立复杂函数或者未知函数的 一个便于计算的近似表达式.
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内容提要
插值问题 插值多项式的构造方法 分段插值法
L3 ( y)

f
1
(
y0
)
(
(y y0
y1 )( y y1 )( y0

y2 )( y y2 )( y0
y3 ) y3
)

f
1
(
y1
)
(
(y y1

y0 )(y y0 )(y1

y2 )(y y3 ) y2 )(y1 y3
)

f
1
(
y
2
)
(
(y y2
（1）
则称 (x)
为
f
(x)
在
中关于节点xi
n i0
的一个插值函数。
f (x) ——被插值函数； [a, b] ——插值区间；
xi
n i0
——插值节点；
式（1）——插值条件.
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2 . 几何意义、内插法、外插法
M~

max{x
i
}n i 0
m~

min{
x
i
}n i 0
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5. 误差估计
引理 已知函数f(x)在[a,b]上具有m-1阶连续导函数，且在 （a,b）上存在m阶导数。 若它在该区间上有m+1个零点， 则它的m阶导函数在(a,b)内至少存在一个零点。
f (x) x0 x1 x2 xm1 xm
f (x) 0 1 m2 m1

g g
(n (n
1) 1)
(t)
( )
f( 0
n1)
(t
)

(n

1)!
k
(
x)

k
(
x)

f (n1) ( )
(n 1)!
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误差估计(续2)
定理 2 (误差估计) 设 f (n) (x) 在 [a, b] 上连续, f (n1) (x) 在

(x
i0

xi
)
.
进而当 f (n1) (x) 在区间 (a, b) 有上界 M n1 时, 有
Rn (x)
M n 1 (n 1)!
n 1 (x )
.
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Remark
Remark1
插值误差与节点
x n i i 0
和点
x
之间的距离有关
,
节点距离 x 越近,插值误差一般情况下越小.
L1(x) L0 (x) f [x0 , x1]1(x) f (x0 ) f [x0 , x1]1(x)
L2 (x) L1(x) f [x0 , x1, x2 ]2 (x)
f (x0 ) f [x0 , x1]1(x) f [x0 , x1, x2 ]2 (x)
内容提要
Lagrange插值法 Newton插值法 等距节点插值公式 带导数的插值问题
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1. Lagrange 方法
1.1 辅助问题
构造不超过n 次的插值多项式 li (x) , 使之满足插值条件
li (x j ) i j 01
j i ,
Rn (x)
f (x) Ln (x)
f (n1) ( )
(n 1)!

n1
(
x)
Rn (x)

f (x) Ln (x)

M n 1 (n 1)!
n 1 (x )
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例题 已知 f (2) 2, f (1) 1, f (0) 2, f (0.5) 3 , 试选用合适的插值节点， 通过二次插值多项式计算 f (0.5) 的近似值, 使之精度尽可能高.
1

1

1
x0 x1
xn
x02 x12
xn2

x0n x1n


x
n n

a0

a1
a2
an



f f f
f
(x0 )
(
x1
)

(x
2
)
(xn )
• 定理1(存在惟一性) 满足插值条件(1)的不超过n次的 插值多项式是存在惟一的.
Remark2 若被插值函数 f (x) 本身就是不超过n 次的多项 式, 则有 f (x) (x) .
Remark3 可以通过求解线性方程组得到插值多项式.
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二、插值多项式的构造方法
由于插值多项式的存在惟一性，无论是 用何种方法构造出的插值多项式，它们 均恒等，进而截断误差也都相同。
)
A是Lk(x)的首项系数。
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2.2 Newton型插值公式
f
[
x0
,
x1
,,
xk
]

k

i0

f
' k
(xi ) 1( xi
)
k (x) (x x0 )( x x1)(x xk1)
Lk (x) Lk1(x) f [x0 , x1,, xk ]k (x)
ji
j 0,1,2,, n
li (x)

(x x0 )( x x1 )(x (xi x0 )( xi x1 )(xi
xi1 )( x xi1 )(x xi1 )( xi xi1 )(xi
xn ) xn )

n1 (x)
(x

xi
)
1)(x

0.5)
(x 1)(x 0) 4 l2 (x) (0.5 1)(0.5 0) 3 x(x 1) 二次插值多项式为 L2 (x) f (x0 )l0 (x) f (x1 )l1 (x) f (x2 )l2 (x) l0 (x) 2l1 (x) 3l2 (x)
f (0.5) L2 (0.5) 1 l0 (0.5) 2 l1(0.5) 3 l2 (0.5) 4 / 3
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1.3 反插值法
已知单调连续函数 y f (x) 在如下采样点处的函数值
xi
yi f (xi )
1.0 1.4 1.8 2.0 2.0 0.8 0.4 1.2
(a, b) 内存在. (x) 是满足插值条件(1)的不超过 n 次的插值
多项式. 则对任意 x [a, b] , 存在 (x) (a, b) , 使得
Rn (x)
f (x) (x)
f (n1) ( )
(n 1)!

n 1
(
x)
n
成立,
式中 n1
(x)
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内插
x [m~, M~ ]
外插 x [a, b] but x [m~, M~ ]
4
3. 多项式插值问题
对于不同的函数族Φ的选择，得到不同的插值 问题
当Φ为一些三角函数的多项式集合时:三角插值; 当Φ为一些有理分式集合时：有理插值； 当Φ为一些多项式集合时：多项式插值
A0
A A f (x0 )l0 (~x ) A A f (x1)l1(~x )

A A f (xn )ln (~x )
• 分析 Ln+1(x) 与 Ln(x) 差别
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2.1 Lagrange插值多项式间的关系
Lk (xi ) f (xi ) Lk1(xi ) f (xi )
解 依据误差估计式, 选 x0 1, x1 0, x2 0.5 为插值节点 拉格朗日插值基函数为:
l0 (x)

(x (1
0)(x 0.5) 0)(1 0.5)

2 3
x(x

0.5)
l1 (x)

(x (0
1)(x 1)(0
0.5) 0.5)

2( x

xi1)(x xi1) xi1)(xi xi1
( )
x ( xi
xk ) xk
)


k
A
f (xi )
i0 (xi x0 )(xi xi1)( xi xi1)(xi xk )

k

i0
f (xi )

' k
1
(
xi
求方程 f (x) 0 在[1, 2] 内根的近似值x * , 使误差尽可能小
分析
yi
f 1( yi ) xi
2.0 0.8 0.4 1.2
0
1.0 1.4
1.8 2.0
？
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解 对 y f (x) 的反函数x f 1( y) 进行三次插值, 插值多项式为
问题求解
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2
一、插值问题
1. 定义
已 知 定 义 于 [a, b] 上 的 函 数 f (x) 在n 1 个 互 异 节 点
x n i i0
[a,
b] 处的函数值f
(xi )
n i0
.
若函数族 中的函数(x) 满足条件
(xi ) f (xi ), i 0,1,, n
于是有
x * f 1 (0) L3 (0) 1.675
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单用 值反 性插 条值 件法
时 必 须 满 足
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单值性条件不可缺少
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2. Newton插值法
Lagrange 插值公式的特点：
形式对称 通常用于理论分析 当增加插值节点时，在计算实践中不方便
y0 )( y y0 )( y2

y1 )( y y1 )( y2
y
3) y3
)

f
1
(
y
3
)
(
(y y3

y0 )( y y0 )( y3

y1 )( y y1 )( y3
y
2) y2
)
1.675 0.3271y 0.03125 y 2 0.01302 y3
,
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1.2 Lagrange型插值公式
n
Ln (x)
i0
f (xi )li (x)
n i0
f
(
xi
)
(x
n 1 ( x)

xi
)
' n
1
(
xi
)
上式是不超过n次的多项式，且满足所有的插值条件， 因而就是我们所需构造的插值多项式，称之为Lagrange 插值多项式。
' n 1
(
xi
)
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1.1 辅助问题
l0
(x)

(x x1)( x x2 )(x xn ) (x0 x1)( x0 x2 )(x0 xn
)
… … … l1(x)

(x x0 )( x x2 )(x xn ) (x1 x0 )( x1 x2 )(x1 xn )