利用基本不等式证明不等式

利用基本不等式证明不等式
作者李凤岩
利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明不等式的形式.
若符合基本不等式的条件，可以直接利用基本不等式或最值定理证明.
若不符合基本不等式的条件，可以对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到使用基本不等式的条件.
若题中还有等式条件，要分析等式条件和所证不等式之间的联系，当等式条件中含有1时，要注意1的代换.
最后，要注意等号能否取到.
题型一无等式条件的证明问题
【例】已知2a >，求证：log (1)log (1)1a a a a -⋅+<.
证明： 2a >，0log (1)log (1)a a a a <-<+，
∴22
log (1)log (1)log (1)log 1222
a a a a a a a a -++-==.【例】已知a ，
b ，
c 都是实数，求证：22221()3
a b c a b c ab bc ca ++≥++≥++.证明： a ，
b ，
c ∈R ，∴222a b ab +≥，
222b c ac +≥，222c a ca +≥.将这三个式子相加，得2222()222a b c ab bc ca ++≥++.①
在不等式①两边同时加上222a b c ++，得22223()()a b c a b c ++≥++，即22221()3
a b c a b c ++≥++.②将不等式①两边同时加上444ab bc ca ++，得22()6()a b c ab bc ca ++≥++，即21()3
a b c ab bc ca ++≥++.③由②③，得22221()3
a b c a b c ab bc ca ++≥++≥++.【例】设a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：bc ac ab a b c a b c
++>++.证明： a 、b 、c 是不全相等的正数，∴2bc ac c a b +>，2bc ab b a c +>，2ac ab a b c
+>.∴2(
)2()bc ac ab a b c a b c ++>++，即bc ac ab a b c a b c ++>++.
【例】已知a ，b ，c 为正数，求证：3b c a c a b a b c a b c
+-+-+-++≥.证明：左边111()()()3b c c a a b b a c a b c a a b b c c a b a c c b
=+-++-++-=+++++-. 0a >，
0b >，∴2b a a b
+≥，当且仅当a b =时，取等号；2c a a c
+≥，当且仅当a c =时，取等号；2b c c b
+≥，当且仅当b c =时，取等号.∴(()()33b a c a b c a b a c c b +++++-≥，即3b c a c a b a b c a b c
+-+-+-++≥.【例】已知0a >，0b >，求证：11
11222222()()a b a b b a
+≥+.证明： 0a >，
0b >，
∴
.
≥，即11
11222222()()a b a b b a +≥+.当且仅当a b =时，取等号.
【例】若a 、b 、c 均为正数，求证：3333a b c abc ++≥.
证明： 33223232222()()()()()a b a b ab a a b b ab a a b b b a a b a b +-+=-+-=-+-=-+.
又 a ，b 均为正数，0a b +>，2()0a b -≥，2()()0a b a b -+≥，
∴3322a b a b ab +≥+.①
同理3322a c a c ac +≥+.②
3322b c b c bc +≥+.③
①＋②＋③得：
333222222222()()()
a b c a b ab a c ac b c bc ++≥+++++222222()()()
b a
c a b c c a b =+++++222b ac a bc c ab
≥⋅+⋅+⋅6abc =.
∴3333a b c abc ++≥，
当且仅当a b c ==时，取等号.题型二有等式条件的证明问题
【例】若a ，b 均为正数，且1a b +=，求证：149a b
+≥.证明： 0a >，0b >，
且1a b +=.
∴14144()()145529b a a b a b a b a b +=++=+++≥++.当且仅当4b a a b =，即13a =，23
b =时取等号.【例】已知a ，b ，
c 均为正数，
且1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥.证明：（方法一） 0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=，∴111111()()a b c a b c a b c
++=++++111a a b b c c b c a c a b
=++++++++3()()()a b b c c a b a c b a c
=++++++
3≥+9=.当且仅当13
a b c ===时，取等号.（方法二） 0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=，
111a b c a b c a b c a b c a b c
++++++++=++111a a b b c c b c a c a b
=++++++++3()()()a b b c c a b a c b a c
=++++++
3≥+9=.当且仅当13
a b c ===时，取等号.
【例】已知a ，b ，c +∈R ，且不全相等，若1abc =，证明：
111a b c ++>.证明： 0a >，
0b >，0c >，1abc =，
∴11a b +≥=，当且仅当a b =时，取等号.
11
b c +≥，当且仅当b c =时，取等号.
11
c a +≥，当且仅当c a =时，取等号. a ，
b ，
c 不全相等，
∴111111()()()a b b c c a
+++++>.
即111a b c
++>.【例】已知正实数x ，y ，z 满足1x y z ++=，求证：111(1)(1)(1)8x y z
---≥.证明： 0x >，0y >，
0z >，
∴x y +≥，当且仅当x y =时，等号成立.
y z +≥，
当且仅当y z =时，等号成立.
z x +≥，
当且仅当z x =时，等号成立.又 1x y z ++=，
∴1x y z -=+，
1y x z -=+，1z x y -=+.
∴111(1)(1)(1)x y z ---111()()()x y z x y z ---=()()()y z x z x y x y z +++=)()(y ≥88xyz xyz
==.当且仅当x y =且y z =且z x =，即x y z ==时，等号成立.
【例】已知0a >，0b >，1a b +=，求证：1125()(4
a b a b ++≥.
证明：2111()2a b a b a b ab
a b b a ab b a ++=+++=++. 0a >，
0b >，
∴2a b b a +≥.
1a b =+≥，
∴1
2≤32-≥，即294-≥.∴11925()(2244
a b a b ++≥++=.当且仅当a b =时，等号成立.
【例】已知0a >，0b >，1a b +=，求证221125()()2
a b a b +++≥.证明：22
11(()a b a b
+++2222
114a b a b =++++222211()(
)4a b a b =++++22112()2()4a b ab a b ab ⎡⎤⎡⎤=+-++-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦
221(12)(1)4ab a b =-+
+. 21()24
a b ab +≤=，∴1112122ab -≥-
=，22116a b ≥，221117a b +≥.∴2211125()()17422a b a b +++≥⨯+=(当且仅当12a b ==时，等号成立).。