辽宁省沈阳二中10—11年高二下学期6月月考(数学文).doc

沈阳二中下学期六月月考数学（文科）试题 命题人，校对人：高二文科数学备课组
一 选择题（每题5分，共60分）
1．若集合A ＝{x|x>0}，B ＝{x|x<3}，则A ∩B 等于
A ．{x|x<0}
B ．{x|0<x<3}
C ．{x|x>3}
D ．R 2．设f(x)＝|x －1|－|x|，则f ⎣⎡⎦
⎤f ⎝⎛⎭⎫12＝
A ．－12
B ．0
C . 1
2
D ．1
3．下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是
A ．()sin f x x =
B ．()1f x x =-+
C ．1()()2x
x f x a a -=
+
D ．2()ln
2x
f x x
-=+ 4．若函数()log (1)(01)a f x x a a =+>≠且的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于
A.13
B. 2
C.
22
D ． 2
5．设函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋bx ＋c x ≤0
2 x>0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 6．已知函数f(x)满足：f(1)＝2，f(x ＋1)＝1＋f(x)
1－f(x)
，则f()等于
A ．2
B ．－12
C ．－3 D.1
3
7．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设4(log 7)a f =，
12
(log 3)b f =，0.6(0.2)c f =，则,,a b c 的大小关系是
A ．c b a <<
B ．b c a <<
C ．b a c <<
D ．a b c <<
8．定义域为R 的函数f(x)对任意x ∈R 都有f(x)＝f(4－x)，且其导函数f ′(x)满足(x －2)f ′(x)>0，则当
24a <<时，有
A ．2(2)(log )(2)a f f a f <<
B ．2(2)(2)(log )a
f f f a << C ．2(2)(2)(lo
g )a f f f a << D ．2(log )(2)(2)
a
f a f f <<
9．如果函数()(01)x
f x a a a -=>≠且是减函数，那么函数1
()log 1
a
f x x =+的图象大致是
10．函数()()
()
⎩⎨⎧≥<+-=1log 13822x x x ax x x f a 在R x ∈内单调递减，则a 的范围是
A ．⎥⎦
⎤ ⎝
⎛2
1,0
B. ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡8
5,21
C ．)1,2
1
[
D ．⎪⎭
⎫⎢⎣⎡1,85
11．已知函数f(x)=31
()log 5
x
x -，若x 0是方程f(x)=0的解，且0<x 1<x 0，则f(x 1)的值为 A ．恒为正值 B.等于0 C.恒为负值 D.不大于0
12．函数f(x)的图象是如图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1,2)，
点B 的坐标为(3,0)．定义函数g(x)＝f(x)·(x －1)， 则函数g(x)的最大值为
A ．0
B ．2
C ．1
D ．4
二 填空题（每题5分，共
13．若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1
()()()
F x f x f x =+的值域是 14．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x －1 x>0a x ＝0
x ＋b x<0
是奇函数，则a ＋b ＝________.
15．已知函数2
()f x x x =-，若()()
3log 1(2)f m f +<，则实数m 的取值范围是 。

16．对于函数f(x)定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，
①f(x 1＋x 2)＝f(x 1)f(x 2)；②f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)； ③
f(x 1)－f(x 2)x 1－x 2
>0；④f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f(x 1)＋f(x 2)
2.
当f(x)＝2x 时，上述结论中正确结论的序号是______． 三 解答题（共70分）
17．（本小题满分10分）
如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a>0，且a ≠1)在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．
18．（本小题满分12分）
已知定义域为R 的函数a
b x f x x ++-=+122)(是奇函数.
（1）求a,b 的值；
（2）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(2
2
<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围.
19．（本小题满分12分）
在中国轻纺市场，当季节即将来临时，季节性服装价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(七天)涨价2元，5周后保持价格平稳销售，10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售． (1)试建立价格P 与周次t 的函数关系．
(2)若此服装每件进价Q 与周次t 之间的关系为Q =－0.125(t －8)2+12，t ∈［0，16］，t ∈N ．试问：该服装第几周每件销售利润L 最大．
本小题满分12分）
定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1；
（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数；
（4）若f(x)·f(2x-x 2
)>1，求x 的取值范围。

21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝－x 2＋8x ，g(x)＝6lnx ＋m. (1)求f(x)在区间[t ，t ＋1]上的最大值h(t)；
(2)是否存在实数m ，使得y ＝f(x)的图象与y ＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？ 若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．
22．（本小题满分12分）
设函数()()()x x x f +-+=1ln 212
.
(1)求()x f 的单调区间;
(2)若当⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--∈1,11
e e x 时,不等式()m x
f <恒成立,求实数m 的取值范围; (3)试讨论关于x 的方程:()a x x x f ++=2
在区间[]2,0上的根的个数.
沈阳二中上学期第一次月考数学（文科）试题答案
一 选择题
BDDBC BCACB AC
二 填空题
13． 10[2,
]3 14． 1 15． 8
(,8)9
- 16． _____①③④____ 三 解答题
17．解：令t ＝a x ，则y ＝t 2＋2t －1，对称轴方程为t ＝－1，-----------------1分
若a>1，∵x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤
1a ，a ，
y 最大值＝a 2＋2a －1＝14，∵a>0，∴a ＝3.--------------------------------5分 若0<a<1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1
a ， y 最大值＝⎝⎛⎭⎫1a 2＝2⎝⎛⎭⎫
1a －1＝14，
∵0<a<1，∴a ＝1
3，--------------------------------------------------9分
∴a ＝3或1
3.---------------------------------------------------------10分
18．解：（1） 因为)(x f 是R 上的奇函数，所以1,021,0)0(==++-=b a
b
f 解得即
从而有.212)(1a x f x x
++-=+ 又由a
a f f ++-
-=++---=11
21412)1()1(知，解得2=a ---4分 （2）由（1）知,121
212
212)(1
++-=++-=+x x x x f 由上式易知)(x f 在R 上为减函数，又因)(x f 是奇函数，从而不等式-------------8分
0)2()2(22<-+-k t f t t f 等价于).2()2()2(222k t f k t f t t f +-=--<-
因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得.222
2k t t t +->------------------------10分 即对一切,0232
>--∈k t t R t 有从而31
,0124-
<<+=∆k k 解得-------------12分
19．解：(1)P =102 05,20 510,402 1116.t t t t t +≤≤≤≤-≤≤⎧⎪
⎨⎪⎩
----------------------------------------------5分
(Ⅱ)P －Q =22
2
1 6 05,81216 510,81436 1116.8t t t t t t t t +≤≤-+≤≤-+≤≤⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
-------------------------------------------------------10分
t =5时，L max =9
8
1
，即第5周每件销售利润最大．-----------------------------------------------12分
：（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2
∵f(0)≠0 ∴f(0)=1---------------------2分 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴)
(1
)(x f x f =
- 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0)
(1
)(>-=
x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0---------------------------------------------------5分 (3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴
1)()()()
()
(121212>-=-⋅=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数--------------------------------------9分 （4）f(x)·f(2x-x 2
)=f[x+(2x-x 2
)]=f(-x 2
+3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增
∴由f(3x-x 2
)>f(0)得：3x-x 2
>0 ∴ 0<x<3-----------------------------------12分 21．解：(1)f(x)＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，
当t ＋1<4，即t<3时，f(x)在[t ，t ＋1]上单调递增， h(t)＝f(t ＋1)＝－(t ＋1)2＋8(t ＋1) ＝－t 2＋6t ＋7；
当t ≤4≤t ＋1，即3≤t ≤4时， h(t)＝f(4)＝16；
当t>4时，f(x)在[t ，t ＋1]上单调递减， h(t)＝f(t)＝－t 2＋8t.
综上，h(t)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－t 2
＋6t ＋7，t<316 3≤t ≤4
－t 2＋8t ， t>4
.------------------------------------6分
(2)函数y ＝f(x)的图象与y ＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数φ(x)＝g(x)－f(x)的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点． ∵φ(x)＝x 2－8x ＋6lnx ＋m ，
∴φ′(x)＝2x －8＋6x ＝2x 2
－8x ＋6x ＝2(x －1)(x －3)
x
(x>0)．
当x ∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)是增函数； 当x ∈(1,3)时，φ′(x)<0，φ(x)是减函数； 当x ∈(3，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)是增函数； 当x ＝1或x ＝3时，φ′(x)＝0. ∴φ(x)极大值＝φ(1)＝m －7，
φ(x)极小值＝φ(3)＝m ＋6ln3－15.
∵当x 充分接近0时，φ(x)<0；当x 充分大时，φ(x)>0.---------------------9分 ∴要使φ(x)的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需
⎩
⎪⎨⎪⎧
φ(x)极大值＝m －7>0φ(x)极小值＝m ＋6ln3－15<0， 即7<m<15－6ln3.
所以存在实数m ，使得函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点， m 的取值范围为(7,15－6ln3) ----------------------------------------------12分
22．解 ：（1）函数的定义域为(),,1+∞-()()()1221112++=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+-
+='x x x x x x f . 1分 由()0>'x f 得0>x ;
2分
由()0<'x f 得01<<-x , 3分 则增区间为()+∞,0,减区间为()0,1-.
4分
(2)令()(),0122=++='x x x x f 得0=x ,由(1)知()x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-0,11e 上递减,在[]1,0-e 上递增,
6分
由,21
112+=⎪⎭⎫
⎝⎛-e
e f ()212-=-e e f ,且21222+>-e e ,
8分
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--∈∴1,11e e x 时,()x f 的最大值为22-e ,故22->e m 时,不等式()m x f <恒成立.
9分
(3)方程(),2
a x x x f ++=即()a x x =+-+1ln 21.记()()x x x g +-+=1ln 21,则
()1
1
121+-=+-
='x x x x g .由()0>'x g 得1>x ;由()0<'x g 得11<<-x . 所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增.
而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 10分 所以，当a ＞1时，方程无解； 当3-2ln3＜a ≤1时，方程有一个解， 当2-2ln2＜a ≤a ≤3-2ln3时，方程有两个解； 当a=2-2ln2时，方程有一个解；
当a＜2-2ln2时，方程无解. 13分字上所述，a)2
-∞
+∞
∈ 时，方程无解；
,1(-
)
ln
2,
2
(
∈
a或a=2-2ln2时，方程有唯一解；
3(-
2
ln
]1,3
-
2(-
∈
a时，方程有两个不等的解. 14分2
3,2
]3
ln
2
ln。