第十五章 第3讲 分式方程 讲义 (知识精讲+典题精练)2023-2024学年人教八年级数学上册

第3讲
分式方程
【中考考纲】
【知识框架】
考点
课标要求
知识与技能目标
了解理解
掌握
灵活应用
分式方程
分式方程的概念
√
分式方程的解法
√
分式方程的增根及根的讨论
√
分式方程的应用
√
分式方程及其解法
分式方程
分式方程的曾根及根的讨论
分式方程的应用
1
【知识精讲】
一、分式方程的概念
分式方程：分母中含有未知数的方程
二、分式方程的解法
1.能化简的先化简
2.方程两边同乘以最简公分母，化成整式方程
3.解整式方程
4.验根
注意：解分式方程时，方程两边同时乘以最简公分母时，最简公分母有可能为零，这样就产生了增根因此分式方程一定要检验
分式方程检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为零则整式方程的解就是原方程的解，否则，这个解不是原方程的解
【经典例题】
【例1】下些列方程中是分式方程的是（
）A.
111
324
x x ---=C .124
111x x x x x ---=
---B.21
20
5
x x -= D.
()0x a
x ab a b
-=≠【例2】下列方程不是分式方程的是（
）
A.
63x x
= B.
1051
x x =
- C.
2321
x
x =- D.
336
x x =-【例3】分式方程
31
2x x
=+的解是__________【例4】分式方程
23
222
x x x -=+-的解是__________【例5】若分式方程
x a
a x
+=无解，则a 的取值是__________【例6】解方程
1625
2736
x x x x x x x x +++++=+
++++【例7】解分式方程
11
222x x x
-+=
--，可知方程的解为（）
A.2
B.4
C.3
D..无解
【例8】关于x 的方程
211
x m
x +=-的解是正数，则m 的取值范围是（）
A.1
m >- B.1m >-且0m ≠ C.1m <- D.1m <-且2
m ≠-【例9】关于x 的方程22x c x c +
=+的两个解是1x c =，22
x c
=，则关于x 的方程22
11
x a x a +
=+
--的两个解是（）A.a ，2
a
B.1a -，
21
a - C.a ，
21
a - D.a ，
11
a a +-【例10】解方程：
1210323424231619
43898745
x x x x x x x x ----+=+
----【例11】
解方程：22
226124044444
y y y y y y y y 2
+--+=++-+-【例12】
若关于x 的方程
221
1k x kx x x x x
+-=--只有一个解，试求k 的值与方程的解
【例13】解关于x的方程：
1
21
n n
x n x n
+
=
+-+-
，其中n是整数
【例14】观察下列方程及其解的特征：
（1）
12
x
x
+=的解是121
x x==
（2）
15
2
x
x
+=的解是12
x=，
2
1
2
x=
（3）
110
3
x
x
+=的解是13
x=，
2
1
3
x=
解答下列问题：
（1）请猜想：方程
126
5
x
x
+=的解为__________
（2）请猜想：关于x的方程
1
x
x+=__________的解为1
x a=，
2
1
x
a
=（0
a≠）；
（3）解分式方程
2
131
462
a a
x
x a
++ +=
-
2
【知识精讲】
一、分式方程的增根
增根：使分式方程的分母为零的未知数的值，是分式方程去分母后化成的整式方程的根
1.由增根求参数的值
（1）将原方程化成整式方程
（2）确定增根
（3）将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值
2.由分式方程根的情况，求参数的取值范围
（1）将原方程化成整式方程
（2）把参数看成常数求解
（3）根据根的情况，确定参数的取值范围（注意要排除增根时参数的值）
二、分式方程的无解
分式方程无解有两种情况：
（1）把分式方程化成整式方程后，整式方程无解．
（2）把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使分式方程的分母为零，是增根．
【经典例题】
【例15】
若方程
61(1)(1)1
m
x x x -=+--有增根，则它的增根是（
）
A ．0
B ．1 C.1- D.1或1
-【例16】已知分式方程
3321
ax x x ++=+有增根，求a 的值【例17】若解分式方程
2211
1x m x x x x x
++-=
++产生增根，则m 的值是（）
A.1-或2-
B.1-或2
C.1或2
D.1或2
-【例18】若分式方程
111
x m x
x x x +=
--+有增根1x =，则m 的值为多少？【例19】当a 为何值时，分式方程
13-5-2(-2)(-5)
x x a
x x x x +++=
出现增根2x =（）
A.5a =
B.10
a = C.10a =- D.15
a =-【例20】若1x =是方程
23-1-2(-1)(-2)
x x m
x x x x +++=的增根，则m =__________【例21】m 为何值时，关于x 的方程
23
242
mx x x x 2+=
--+会产生增根（）
A 、4-
B 、6
C 、4-或6
D 、4或6
-
【例22】已知关于x 的方程
233
x m
x x -=
--有一个正数解，求m 的取值范围【例23】当a 为何值时，关于x 的方程
421(1)
x a
x x x x ++=
--有解？【例24】若方程
2
141224
k x
x x x -=-+--会产生增根，则（）
A.2k =±
B.2k =
C.2
k =- D.k 为任意实数
【例25】当m 为何值时，关于x 的方程
221
11
x m x x x x --=+
--无实根？【例26】解分式方程
2
25111
m
x x x +=+--会产生增根，则m =__________
3
【知识精讲】
列分式方程解实际问题
步骤：审题—-设未知数—-列方程—-解方程—-检验—-解答注意：检验时要从方程本身和实际问题两个方面进行检验
【经典例题】
【例27】甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（）
A.S
a b+B.S av
b
- C.S av
a b
-
+
D.2S
a b+
【例28】甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程．已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的
2
3，求甲、乙两队单独完成各需多少天？
【例29】轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中用相同的时间顺流航行40千米，逆流航行70千米．求这艘轮船在静水
中的速度和水流的速度．
【例30】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各
种多少棵树？
【例31】甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城，已知A、
C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10
千米/小时，结果两辆车同时到达C城，求两辆车的速度各是多少？
【例32】某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该种图书畅销，第二次购书时，每本书的批
发价（即进价）已比第一次提高了20%，他用1500元所购得的该种图书数量比第
一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的四折售完剩余的书．试
问：该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，
赔多少？若赚钱，赚多少？
【例33】甲、乙两人同时从A地出发沿同一条路线去B地，若甲用一半的时间以a千米/小时的速度行走，另一半时间以b千米/时的速度行走；而乙用a千米/小时的速
度走了一半的路程，另一半路程以b千米/时的速度行走（a，b均大于0，且a b
），则（）
A.甲先到达B地 C.乙先到达B地
B.甲乙同时到达B地 D.甲乙谁先到达B地不确定
【随堂练习】
【习题1】方程2131
x x =+的解是__________【习题2】方程11422
x x +=-的一个根是4，则另一个根是__________【习题3】使关于x 的方程2
224222x a a x x
+-=--产生增根的a 的值是（）
A.2
B.2-
C.2±
D.与a 无关【习题4】若关于x 的方程1101
ax x +-=-有增根，则a 的值为__________【习题5】当k 的值为__________时,221x k x x x x
-=--只有一个实数解【习题6】当a 取何值时，解关于x 的方程()()
21222121x x x ax x x x x -++-=-+-+无增根？
【课后作业】
【作业1】解方程：2233111x x x x +-=-+-【作业2】解方程：222111132567124x x x x x x x ++=+++++++【作业3】解方程：18272938x x x x x x x x +++++=+++++【作业4】
已知关于x 的方程11m m x x -=-有实数根，求m 的取值范围【作业5】
解关于x 的方程2111x k x x x x -=--+不会产生增根，则k 的值为（）
A.2
B.1
C.不为2±的数
D.无法确定【作业6】解方程122
31
11111++=+++x x x
【作业7】解方程
11112 10(1)(2)(2)(3)(9)(10)
x x x x x x x
+++⋯+= +++++++
【作业8】解关于x的方程
12
2
a x
b x
b x a x
++
+=
++
【作业9】解方程
22
22 232253 232253 x x x x
x x x x
++-+
=
--+-。