[推荐学习]课标通用2018年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.4二次函数与幂函数学

§2.4 二次函数与幂函数
考纲展示► 1.了解幂函数的概念．
2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3
，y ＝1x
，y ＝x 12 的图象，了解它们的变化情况．
3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．
4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
考点1 幂函数的图象与性质
五种常见幂函数的图象与性质
奇
增 (－∞，0)减，(0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和(0，＋∞)减 (1,1)
[教材习题改编]已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)，则函数f (x )＝________. 答案：x 12
解析：设f (x )＝x α，则2＝2α
，所以α＝12
，故函数f (x )＝x 12 .
幂函数概念的误区：系数为1；指数为常数． 已知幂函数f (x )＝(m 2
－m －1)x m －3
，则m 为________．
答案：2或－1
解析：若函数为幂函数，则m 2
－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.
[典题1] (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )
A B
C D
[答案] C
[解析] 令f (x )＝x α
，则4α
＝2， ∴α＝1
2
，∴f (x )＝x 12 .
(2)[2017·安徽江南七校联考]已知幂函数f (x )＝(n 2
＋2n －2)·x
n 2
－3n
(n ∈Z )的图象关于
y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )
A ．－3
B ．1
C ．2
D ．1或2
[答案] B
[解析] 由于f (x )为幂函数，所以n 2
＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3.
当n ＝1时，函数f (x )＝x －2
为偶函数，其图象关于y 轴对称，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n ＝1满足题意；
当n ＝－3时，函数f (x )＝x 18为偶函数，其图象关于y 轴对称，而f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以n ＝－3不满足题意，舍去．故选B.
(3)1.1 12 ，0.9 12
，1的大小关系为________． [答案] 0.9 12 ＜1＜1.1 12
[解析] 把1看作1 12 ，幂函数y ＝x 12
在(0，＋∞)上是增函数．∵0＜0.9＜1＜1.1，∴0.9 12 ＜1 12 ＜1.1 12 ，即0.9 12 ＜1＜1.1 12 .
(4)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x
，x ≥2，
x －3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，
则实数k 的取值范围是________．
[答案] (0,1)
[解析] 作出函数y ＝f (x )的图象如图．
则当0＜k ＜1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根．
[点石成金] 1.幂函数y ＝x α
的性质和图象由于α的取值不同而比较复杂，一般可从三方面考查：
(1)α的正负：当α>0时，图象经过点(0,0)和点(1,1)，在第一象限的部分“上升”；当α<0时，图象不过点(0,0)，经过点(1,1)，在第一象限的部分“下降”；
(2)曲线在第一象限的凹凸性：当α>1时曲线下凹；当0<α<1时曲线上凸，当α<0时曲线下凹；
(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性．
2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
考点2 求二次函数的解析式
二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝____________； (2)顶点式：f (x )＝____________； (3)零点式：f (x )＝____________.
答案：(1)ax 2
＋bx ＋c (a ≠0) (2)a (x －m )2
＋n (a ≠0) (3)a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)
二次函数对称轴的判断方法：中值法；结论法．
(1)对于二次函数y ＝f (x )，如果定义域内有不同两点x 1，x 2且f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于直线________对称．
(2)“二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立”的充要条件是“函数y ＝f (x )的图象关于直线________对称”(a 为常数)．
答案：(1)x ＝
x 1＋x 2
2
(2)x ＝a
解析：(1)作出二次函数y ＝f (x )的图象(图略)，由图可知，当f (x 1)＝f (x 2)时， 点P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))关于直线x ＝
x 1＋x 2
2
对称．
由x 1，x 2的任意性，可得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝
x 1＋x 2
2
对称．
(2)由(1)可知，y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数).
[典题2] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
[解] 解法一(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，
4ac －b 2
4a ＝8，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝－4，
b ＝4，
c ＝7.
∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2
＋4x ＋7. 解法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m ) 2
＋n . ∵f (2)＝f (－1)，
∴抛物线的对称轴为x ＝
2＋－
2＝12
， ∴m ＝12
.
又根据题意，函数有最大值8，∴n ＝8，
∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122
＋8.
∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－122
＋8＝－1，
解得a ＝－4，
∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋8＝－4x 2
＋4x ＋7.
解法三(利用零点式)：
由已知f (x )＋1＝0两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2
－ax －2a －1. 又函数的最大值为y max ＝8，即
4a
－2a －
－a
2
4a
＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．
∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2
＋4x ＋7. [点石成金] 求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： (1)已知三个点坐标，宜选用一般式；
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；
(3)已知图象与x 轴两交点的坐标，宜选用零点式.
为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示)．若对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，则右轮廓线DFE 所在的二次函数的解析式为( )
A ．y ＝14(x ＋3)2
B ．y ＝－14(x －3) 2
C ．y ＝－14(x ＋3) 2
D ．y ＝14
(x －3) 2
答案：D
解析：由题图可知，对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，所以点C 的纵坐标为0，横坐标的绝对值为42＋2
2＝3，即C (－
3,0)．因为点F 与点C 关于y 轴对称，所以F (3,0)，因为点F 是右轮廓线DFE 所在的二次函数图象的顶点，所以设该二次函数为y ＝a (x －3) 2
(a >0)，将点D (1,1)代入得，a ＝14，即y ＝
14
(x －3) 2.
考点3 二次函数的图象与性质
二次函数的图象和性质
(1)[教材习题改编]若函数f (x )＝4x 2
－kx －8在[－1,2]上是单调函数，则实数k 的取值范围是________．
答案：(－∞，－8]∪[16，＋∞)
解析：f (x )图象的对称轴方程是x ＝k 8，故k 8≤－1或k
8≥2，即k ≤－8或k ≥16.故所求k
的取值范围是(－∞，－8]∪[16
，＋∞)．
(2)[教材习题改编]已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是________．
答案：⎝
⎛⎭
⎪
⎫120，＋∞
解析：由题意，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a >0，Δ＝1－20a <0， 解得a >1
20
.
二次函数单调性的求解误区：单调区间；在区间上单调． 已知二次函数f (x )＝(k 2
－1)x 2
＋2x －3.
(1)若函数f (x )的单调递增区间是(－∞，2]，则k ＝________； (2)若函数f (x )在区间(－∞，2]上单调递增，则k 满足________．
答案：(1)±
2
2
(2)
2
2
≤k<1或－1<k≤－
2
2
解析：(1)显然图象开口向下，k2－1<0，且－
2
k2－
＝2，得k＝±
2
2
.
(2)图象开口向下，k2－1< 0，且－
2
k2－
≥2，得
2
2
≤k<1或－1<k≤－
2
2
.
[考情聚焦] 二次函数的图象与性质与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考考查频率非常高的一个热点，考查求解一元二次不等式、一元二次不等式恒成立及一元二次方程根的分布等问题．
主要有以下几个命题角度：
角度一
二次函数的图象和应用
[典题3] [2017·四川雅安诊断] 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.
其中正确的是( )
A．②④B．①④
C．②③D．①③
[答案] B
[解析] 因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；
对称轴为x＝－1，即－b
2a
＝－1,2a－b＝0，②错误；
结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.
又函数图象开口向下，所以a ＜0， 所以5a ＜2a ，即5a ＜b ，④正确． 角度二
二次函数的单调性问题
[典题4] 已知函数f (x )＝x 2
＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．
(1)若y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数，求实数a 的取值范围； (2)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．
[解] (1)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.
所以实数a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)． (2)当a ＝1时，f (x )＝x 2
＋2x ＋3，
所以f (|x |)＝x 2
＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，
且f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋2x ＋3，x ∈0，6]，
x 2
－2x ＋3，x ∈[－6，0]，
所以f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]． 角度三
二次函数的最值问题 [题型1] 轴定，区间动类型
[典题5] 若函数y ＝x 2
－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，求实数m 的取值范围．
[解] 作出函数y ＝x 2－2x ＋3的图象如图．
由图象可知，要使函数在[0，m ]上取得最小值2，则1∈[0，m ]，从而m ≥1， 当x ＝0时，y ＝3； 当x ＝2时，y ＝3，
所以要使函数取得最大值为3，则m ≤2， 故所求m 的取值范围为[1,2]．
[题型2] 轴动，区间定类型
[典题6] 求函数f (x )＝ax 2
－2x 在区间[0,1]上的最小值．
[解] f (x )＝a ⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1a 2－1
a
.
(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.
(2)当a ＞0时，函数f (x )的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1
a
.
当1
a
≤1，即a ≥1时，函数f (x )的图象的对称轴在[0,1]内，
∴f (x )在⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤0，1a 上递减，在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1a ，1上递增．
∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＝－1a
.
当1
a
＞1，即0＜a ＜1时，函数f (x )的图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递
减．
∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.
(3)当a ＜0时，函数f (x )的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1
a
＜0，在y 轴的左侧，
∴f (x )在[0,1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.
综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a －2，a <1，－1
a
，a ≥1.
[题点发散] 若将本例中的函数改为f (x )＝x 2
－2ax ，其他不变，应如何求解？ 解：f (x )＝x 2
－2ax ＝(x －a )2
－a 2
，对称轴为x ＝a . 当a ＜0时，f (x )在[0,1]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (0)＝0；
当0≤a ≤1时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2
； 当a ＞1时，f (x )在[0,1]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝1－2a .
综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧
0，a <0，－a 2
，0≤a ≤1，
1－2a ，a >1.
角度四
二次函数中的恒成立及零点问题
[典题7] (1)已知函数f (x )＝x 2
＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．
[答案] ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
22，0 [解析] 作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，
则有⎩⎪⎨
⎪⎧
f
m <0，f
m ＋
，
即⎩⎪⎨⎪⎧
m 2
＋m 2
－1<0，m ＋
2
＋m m ＋－1<0，
解得－
2
2
＜m ＜0. (2)若方程x 2
＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k 的取值范围是________．
[答案] ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，23
[解析] 设f (x )＝x 2
＋(k －2)x ＋2k －1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
f 0>0，f 1<0，
f 2>0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
2k －1>0，3k －2<0，4k －1>0，
解得12<k <2
3
.
[点石成金] 1.(1)识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入手．
(2)而用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时，要尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标轴的交点要标清楚，这样在解题时才不易出错．
2．二次函数最值问题的三种类型及解题思路
(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动． (2)思路：抓“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴． 3．由不等式恒成立求参数取值范围的两大思路及一个关键 (1)两大思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)一个关键：两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参
数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min
.
[方法技巧] 1.二次函数的三种形式 (1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．
(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式．
(3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便． 2．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律
(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解． 3．幂函数y ＝x α
(α∈R )图象的特征
当α>0时，图象过原点和点(1,1)，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．
[易错防范] 1.对于函数y ＝ax 2
＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．
2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
真题演练集训
1．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知a ＝2 43 ，b ＝425 ，c ＝25 13
，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b
答案：A
解析：因为a ＝2 43 ＝16 13 ，b ＝425 ＝16 15 ，c ＝25 13 ，且幂函数y ＝x 13
在R 上单调递增，指数函数y ＝16x
在R 上单调递增，所以b <a <c .
2．[2015·四川卷]如果函数f (x )＝12(m －2)x 2
＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2上
单调递减，那么mn 的最大值为( )
A ．16
B ．18
C ．25
D ．812
答案：B
解析：①当m ＝2时，∵ f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2上单调递减，∴ 0≤n <8，mn ＝2n <16. ②当m ≠2时，函数f (x )＝12
(m －2)x 2
＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)的对称轴方程为x ＝－
n －8
m －2
. a ．当m ＞2时，抛物线开口向上，
∵f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2上单调递减， ∴－
n －8
m －2
≥2，即2m ＋n ≤12. 又2m ＋n ≥22mn ，∴ 22mn ≤12， ∴ mn ≤18.
当2m ＝n ＝6，即m ＝3，n ＝6时取等号， ∴ mn 的最大值为18.
b ．当m ＜2时，抛物线开口向下，
∵ f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2上单调递减， ∴－
n －8m －2≤12，即m ＋2n ≤18，即n ≤9－1
2
m . 又∵ 0≤m ＜2，n ≥0，
∴ mn ≤9m －12m 2＝－12(m －9)2
＋812＜
－12(2－9)2
＋812
＝16. 综上所述，mn 的最大值为18，故选B.
3．[2014·浙江卷]在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a
(x >0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )
A B
C D
答案：D
解析：当a >1时，函数f (x )＝x a
(x >0)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递增，且过点(1,0)，由幂函数的图象性质可知C 错；当0<a <1时，函数f (x )＝x a
(x >0)单调遂增，函数g (x )＝log a x 单调递减，且过点(1,0)，排除A ，又由幂函数的图象性质可知B 错，故选D.
4．[2013·重庆卷]－a
a ＋(－6≤a ≤3)的最大值为( )
A. 9 B ． 92
C. 3 D ． 322
答案：B
解析：易知函数y ＝(3－a )(a ＋6)的两个零点是3，－6，对称轴为a ＝－3
2
，y ＝(3－a )(a
＋6)的最大值为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋6＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫922
，则
－a
6＋a 的最大值为9
2
，故选B.
5．[2014·辽宁卷]对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2
－2ab ＋4b 2
－c ＝0且使|2a ＋b |
最大时，3a －4b ＋5
c
的最小值为________．
答案：－2
解析：设2a ＋b ＝x ，则2a ＝x －b ， ∴(x －b )2
－b (x －b )＋4b 2
－c ＝0，
x 2－3bx ＋6b 2－c ＝0，即6b 2－3xb ＋x 2－c ＝0.
∴Δ＝9x 2
－4×6×(x 2
－c )≥0，
∴3x 2－8x 2＋8c ≥0，∴x 2
≤85
c .
当|2a ＋b |＝|x |取最大时，有(2a ＋b )2
＝85c ，
∴4a 2＋4ab ＋b 2
＝85c .
又∵4a 2
－2ab ＋4b 2
＝c ，①
∴b a ＝23，∴b ＝23
a . 将
b ＝2
3a 代入①，得
4a 2
－2a ·23a ＋49a 2·4＝c ，
∴a ＝
32c
10
，b ＝c 10或a ＝－3
2
c
10
，b ＝－
c
10
.
当a ＝
32c
10
，b ＝
c
10时，有 3a －4b ＋5c ＝
3
3
2
c 10－
4
c
10
＋5
c
＝
210c －410c ＋5c ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1
c －1052－2≥－2， 当
1
c
＝
105，即c ＝5
2
时等号成立． 此时a ＝34，b ＝1
2.
当a ＝－
3
2c
10
，b ＝－
c
10
时，
3
a －4
b ＋5c
＝－210c ＋410c
＋5c
＝210c
＋5c
＞0，
综上可知，当c ＝52，a ＝34，b ＝1
2
时，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
a －4
b ＋5
c min ＝－2.
课外拓展阅读 构造二次函数解决问题
二次函数是中学数学的一个重要知识，它与一元二次不等式、一元二次方程的联系是诸
多命题者的关注点．对于有些问题若能充分利用二次函数的性质，则会迎刃而解．下面就给出几种构造二次函数解决问题的例题．
1．构造二次函数求根式函数的最值 [典例1] 求函数y ＝x 2
＋1－x 2
的最值． [思路分析] 利用换元法转化为二次函数求最值． [解] 令1－x 2
＝u ，则x 2
＝1－u 2
， 且0≤u ≤1.
所以y ＝1－u 2
＋u ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫u －122＋54
，
所以1≤y ≤54，故y min ＝1，y max ＝5
4.
2．构造二次函数解不等式
(1)从结论的外形结构作形式联想进行构造
[典例2] 已知a <b <c ，求证：a 2
b ＋b 2
c ＋c 2
a <a
b 2
＋bc 2
＋ca 2
.
[思路分析] 观察结论的特点，若将不等式移项后，有a 2
b ＋b 2
c ＋c 2
a －(a
b 2
＋bc 2
＋ca 2
)<0， 设A ＝a 2
b ＋b 2
c ＋c 2
a －(a
b 2
＋bc 2
＋ca 2
)＝(b －c )a 2
＋(c 2
－b 2
)a ＋(b 2
c －bc 2
)，
考虑到a 是按降幂排列的，故可联想到构造二次函数f (x )＝(b －c )x 2
＋(c 2
－b 2
)x ＋(b 2
c －bc 2
)求解．
[证明] 令A ＝a 2
b ＋b 2
c ＋c 2
a －(a
b 2
＋bc 2
＋ca 2
)＝(b －c )a 2
＋(c 2
－b 2
)a ＋(b 2
c －bc 2
)． 设f (x )＝(b －c )x 2
＋(c 2
－b 2
)x ＋(b 2
c －bc 2
)＝(b －c )(x －b )(x －c )，
因为b <c ，所以函数f (x )的图象开口向下，且与x 轴交点的横坐标为b ，c ，所以当x <b 或x >c 时，f (x )<0.又a <b ，所以f (a )<0，即A <0，
所以a 2
b ＋b 2
c ＋c 2
a <a
b 2
＋bc 2
＋ca 2
. (2)利用二次函数的最值特征进行构造
[典例3] 已知a 1，a 2，…，a n 为实数，试证：(x －a 1)2
＋(x －a 2)2
＋…＋(x －
a n )2
≥
n a 21＋a 22＋…＋a 2
n
－a 1＋a 2＋…＋a n 2
n
[思路分析] 所证不等式的左边可看作是关于x 的二次函数，只要证此二次函数的最小值是
n a 21＋a 22＋…＋a 2
n
－a 1＋a 2＋…＋a n 2
n
即可．
[证明] 设f (x )＝(x －a 1)2
＋(x －a 2)2
＋…＋(x －a n )2
＝nx 2
－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋(a 2
1＋a 2
2
＋…＋a 2
n )．
因为n >0，所以对于二次函数f (x )，
当x ＝
a 1＋a 2＋…＋a n
n
时，f (x )有最小值，
且f (x )min ＝
n a 21＋a 22＋…＋a 2
n
－a 1＋a 2＋…＋a n 2
n .
所以f (x )≥
n a 21＋a 22＋…＋a 2
n
－a 1＋a 2＋…＋a n 2
n
，故原不等式成立．
(3)利用根与系数的关系构造二次函数
[典例4] 已知a >13，b >13，ab ＝2
9
，求证：a ＋b <1.
[思路分析] 已知条件出现了ab ＝2
9，而结论中有a ＋b ，若设a ＋b ＝t ，则a ，b 为二次
函数f (x )＝x 2
－tx ＋29的图象与x 轴的两个交点的横坐标，由于a >13，b >13，根据二次函数的性
质，易证t <1.
[证明] 设t ＝a ＋b ，又ab ＝2
9
，
则a ，b 为二次函数f (x )＝x 2
－tx ＋29的图象与x 轴的两个交点的横坐标．
由于a >13，b >1
3，二次函数的图象开口向上，
所以有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>0，即19－13t ＋29>0，
解得t <1，即a ＋b <1.。