十年高考理科数学真题 专题一 集合与常用逻辑用语 二常用逻辑用语及答案(强烈推荐)

专题一 集合与常用逻辑用语
第二讲 常用逻辑用语
2019年
1.（2019全国Ⅱ理7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A ．α内有无数条直线与β平行
B ．α内有两条相交直线与β平行
C ．α，β平行于同一条直线
D ．α，β垂直于同一平面 2.（2019北京理7）设点A ,B ,C 不共线，则“与的夹角是锐角”是“AB AC BC +>uu u r uuu r uu u r ”
的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
3.（2019天津理3）设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 2010-2018年
一、选择题
1．(2018北京)设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．(2018天津)设x ∈R ，则“11||22
x -<”是“31x <”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．(2018上海)已知a R ∈，则“1a >”是“11a
<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
4．(2018浙江)已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m ∥n ”是“m ∥α”
的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．（2017新课标Ⅰ）设有下面四个命题
1p ：若复数z 满足1z
∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；
3p ：若复数1z ，2z 满足12z z ∈R ，则12z z =；
4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．
其中的真命题为
A ．1p ，3p
B ．1p ，4p
C ．2p ，3p
D ．2p ，4p
6．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”
是“465+2S S S >”的
A ． 充分不必要条件
B ． 必要不充分条件
C ． 充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．（2017天津）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2
θ<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．（2017山东）已知命题p ：0x ∀>，ln(1)0x +>；命题q ：若a b >，则22
a b >，下
列命题为真命题的是
A ．p q ∧
B ．p q ⌝∧
C ．p q ⌝∧
D ．p q ⌝⌝∧
9．（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．（2016年北京）设,a b 是向量，则“||=||a b ”是“||||+=-a b a b ”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．（2016年山东）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相
交”是“平面α和平面β相交”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
12．（2016年天津）设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正
整数n ，2120n n a a -+<”的（ ）
A ．充要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
13．（2015新课标）设命题p ：n N ∃∈，22n n >，则p ⌝
为 A ．2,2n
n N n ∀∈> B ．2,2n n N n ∃∈≤ C ．2,2n
n N n ∀∈≤ D ．2,2n n N n ∃∈= 14．（2015安徽）设p ：12x <<，q ：21x
>，则p 是q 成立的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
15．（2015重庆）“1x >”是“12log (2)0x +<”的
A ．充要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
16．（2015天津）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
17．（2015浙江）命题“**N ,()N n f n ∀∈∈ 且()f n n ≤的否定形式是
A ．**N ,()N n f n ∀∈∉且()f n n >
B ．**
N ,()N n f n ∀∈∉或()f n n >
C ．**00N ,()N n f n ∃∈∉且00()f n n >
D ．**00N ,()N n f n ∃∈∉或00()f n n >
18．（2015北京）设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”
的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
19．（2015陕西）“sin cos αα=”是“cos20α=”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要
20．（2014新课标2）函数()f x 在0=x x 处导数存在，若()00p f x '=：，0:q x x =是()
f x 的极值点，则
A ．p 是q 的充分必要条件
B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
21．（2014广东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为,,,c b a 则“b a ≤”是“B A sin sin ≤”的
A ．充分必要条件
B ．充分非必要条件
C ．必要非充分条件
D ．非充分非必要条件
22．（2014福建）命题“[)3
0,.0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是 A ．()30,.0x x x ∀∈+∞+< B ．()3
,0.0x x x ∀∈-∞+≥ C ．[)30000,.0x x x ∃∈+∞+< D ．[)3
0000,.0x x x ∃∈+∞+≥ 23．（2014浙江）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2
=+”的
A ． 充分不必要条件
B ． 必要不充分条件
C ． 充分必要条件
D ． 既不充分也不必要条件
24．（2014湖南）已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >．在
命题①p q ∧ ②p q ∨ ③()p q ∧⌝ ④()p q ⌝∨中，真命题是
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
25．（2014陕西）原命题为“若12
n n n a a a ++<，n N +∈，则{}n a 为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是
A ．真，真，真
B ．假，假，真
C ．真，真，假
D ．假，假，假
26．（2014江西）下列叙述中正确的是
A ．若,,a b c R ∈，则2"0"ax bx c ++≥的充分条件是2
"40"b ac -≤
B ．若,,a b c R ∈，则22""ab cb >的充要条件是""a c >
C ．命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x ≥”
D ．l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ
27．（2013安徽）“0a ≤”是“函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
28．（2013北京）“ϕπ=”是“曲线()sin 2y x ϕ=+过坐标原点的”
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 29．设z 是复数, 则下列命题中的假命题是
A ．若20z ≥, 则z 是实数
B ．若20z <, 则z 是虚数
C ．若z 是虚数, 则20z ≥
D ．若z 是纯虚数, 则20z <
30．（2013浙江）已知函数),0,0)(cos()(R A x A x f ∈>>+=ϕωϕω，则“)(x f 是奇函数”是2π
ϕ=的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
31．（2013重庆）命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为
A ．对任意x R ∈，都有20x <
B ．不存在x R ∈，都有2
0x <
C ．存在0x R ∈，使得200x ≥
D ．存在0x R ∈，使得200x < 32．（2013四川）设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集，若命题p ：,2x A x B ∀∈∈，
则
A ．p ⌝：,2x A x
B ∀∈∉ B ．p ⌝：2x A x B ∀∉∉，
C ．p ⌝：2x A x B ∀∉∈，
D ．p ⌝：2x A x B ∀∈∉，
33．（2013湖北）在一次跳伞训练中，甲．乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指
定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
A ．()()p q ⌝∨⌝
B ． ()p q ∨⌝
C ．()()p q ⌝∧⌝
D ．p q ∨ 34．（2012湖北）命题“0x ∃∈R Q ð，30x ∈Q ”的否定是
A ．0x ∃∉R Q ð，30x ∈Q
B ．0x ∃∈R Q ð，30x ∉Q
C ．x ∀∉R Q ð，3x ∈Q
D ．x ∀∈R Q ð，3x ∉Q 35．（2012湖南）命题“若4πα=
，则tan 1α=”的逆否命题是 A ．若4π
α≠，则tan 1α≠ B ．若4π
α=，则tan 1α≠
C ．若tan 1α≠，则4π
α≠ D ．若tan 1α≠，则4π
α=
36．（2012安徽）设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，
且b m ⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ． 即不充分不必要条件
37．（2012福建）下列命题中，真命题是
A ．00,0x
x R e ∃∈… B ．2,2x x R x ∀∈> C ．0a b +=的充要条件是1a b
=- D ．1a >,1b >是1ab >的充分条件 38．（2012北京）设,a b ∈R ，“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
39．（2012湖北）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是
A ．任意一个有理数，它的平方是有理数
B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C ．存在一个有理数，它的平方是有理数
D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数
40．(2012山东)设0>a 且1≠a ，则“函数()x a x f =在R 上是减函数”是“()()32x
a x g -=在R 上是增函数”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
41．(2012山东)设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2
π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π
=对称.则下列判断正确的是
A ．p 为真
B ．q ⌝为假
C ．p q ∧为假
D ．p q ∨为真
42．（2011山东）已知,,a b c R ∈，命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3”，的否命题是
A ．若3a b c ++≠，则222a b c ++<3
B ．若3a b c ++=，则222a b c ++<3
C ．若3a b c ++≠，则222a b c ++≥3
D ．若222a b c ++≥3，则3a b c ++=
43．（2011新课标）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
12:||1[0,
)3p πθ+>⇔∈a b 2:p ||1+>a b ⇔2(,]3
πθπ∈ 13:||1[0,)3
p πθ->⇔∈a b 4:p ||1->a b ⇔(,]3
π
θπ∈ 其中真命题是
A ．14,p p
B ．13,p p
C ．23,p p
D ．24,p p
44．（2011陕西）设,a b 是向量，命题“若=-a b ，则=a b ”的逆命题是
A ．若≠a b ，则≠a b
B ．若=-a b ，则≠a b
C ．若≠a b ，则≠a b
D ．若=a b ，则=-a b
45．（2011湖南）设集合{}{}
21,2,,M N a ==则 “1a =”是“N M ⊆”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
46．（2011安徽）命题“所有能被2整聊的整数都是偶数”的否定．．
是 A ．所有不能被2整除的数都是偶数
B ．所有能被2整除的整数都不是偶数
C ．存在一个不能被2整除的数都是偶数
D ．存在一个能被2整除的数都不是偶数
47．（2010新课标）已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数，2p ：函数22x x y -=+ 在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p ⌝∨和4q ：()
12p p ∧⌝中，真命题是
A ．1q ，3q
B ．2q ，3q
C ．1q ，4q
D ．2q ，4q
48．（2010辽宁）已知a >0，则0x 满足关于x 的方程ax b =的充要条件是
A ．220011,
22x R ax bx ax bx ∃∈-≥- B ．220011,22
x R ax bx ax bx ∃∈-≤- C ．220011,22x R ax bx ax bx ∀∈-≥- D ．220011,22x R ax bx ax bx ∀∈-≤- 二、填空题
49．(2018北京)能说明“若()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上是增
函数”为假命题的一个函数是__________．
50．（2015山东）若“x ∀[0,]4π
∈，tan x m ≤”是真命题，则实数m 的最小值为 ．
51．（2013四川）设n P P P ，，
，⋯⋯21为平面a 内的n 个点，在平面a 内的所有点中，若点P 到点n P P P ，，，⋯⋯21的距离之和最小，则称点P 为点12n P P P ⋅⋅⋅，，
，的一个“中位点”，例如，线段AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点，现有下列命题：
①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点；
其中的真命题是________________（写出所有的真命题的序号）．
52．（2011陕西）设n N +∈，一元二次方程2
40x x n -+=有正数根的充要条件是n = ．
53．（2010安徽）命题“存在x R ∈，使得2250x x ++=”的否定是 ． 专题一 集合与常用逻辑用语
第二讲 常用逻辑用语
答案部分
2019年
1.解析：对于A ，α内有无数条直线与β平行，则α与β相交或βα∥，排除； 对于B ，α内有两条相交直线与β平行，则βα∥；
对于C ，α，β平行于同一条直线，则α与β相交或βα∥，排除；
对于D ，α，β垂直于同一平面，则α与β相交或βα∥，排除．
故选B ．
AC BC AB AC AB AC +>⇔+>-u r uuu r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r
220AB AC AB AC AB AC ⇔+>-⇔⋅>⇔uu u r “AB uu u r 与AC uuu r 的夹角为锐角”.
所以“AB uu u r 与AC uuu r AC BC +>u r uuu r uu u r 的充要条件．故选C ．
11-<，得02x <<，
因为05x <<不能推出02x <<， 但02x <<可以推出05x <<，
所以05x <<是02x <<的必要不充分条件， 即0x <<11-<的必要不充分条件. 故选B ．
2010-2018年
1．C 【解析】∵33-=+a b a b ，∴22
(3)(3)-=+a b a b ，∴2269-⋅+=a a b b 2296+⋅+a a b b ，又||||1==a b ，∴0⋅=a b ，∴⊥a b ；反之也成立，故选C ．
2．A 【解析】通解 由11||22
x -<，得01x <<，所以301x <<；由31x <， 得1x <，不能推出01x <<．所以“11||22x -
<”是“31x <”的充分而不必要条件，故选A ．
优解 由11||22x -
<，得01x <<，所以301x <<，所以充分性成立； 取14x =-，则1131||4242--=>，311()1464
-=-<，所以必要性不成立．故选A ． 3．A 【解析】由1>a 可得11<a 成立；当11<a ，即1110--=<a a a ， 解得0<a 或1>a ，推不出1>a 一定成立；所以“1a >”是“11a
<”的充分非必要条件．故选A ．
5．B 【解析】设i z a b =+（,a b ∈R ），则22
11i (i)a b z a b a b -==∈++R ，得0b =，所以z ∈R ，1p 正确；2222(i)2i z a b a b ab =+=-+∈R ，则0ab =，即0a =或0b =，不能确定z ∈R ，2p 不正确；若z ∈R ，则0b =，此时i z a b a =-=∈R ，4p 正确．选B ．
6．C 【解析】∵655465()()S S S S a a d ---=-=，当0d >，可得465+2S S S >；当
465+2S S S >，可得0d >．所以“0d >”是“465+2S S S >” 充分必要条件，选C ．
7．A 【解析】由ππ||1212θ-<，得06
πθ<<，所以1sin 2θ<，反之令0θ=，有1sin 2θ< 成立，不满足ππ||1212θ-
<，所以“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的充分而不必要条件．选A ．
8．B 【解析】0x ∀>，11+>x ，所以ln(1)0x +>，所以p 为真命题；若0a b >>，则
22a b >，若0b a <<，则0a b <-<-，所以22a b <，所以q 为假命题．所以p q ⌝∧为真命题．选B ．
9．A 【解析】因为,m n 为非零向量，所以||||cos ,0⋅=<><m n m n m n 的充要条件是
cos ,0<><m n ．因为0λ<，则由λ=m n 可知,m n 的方向相反，,180<>=o m n ，所以cos ,0<><m n ，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”可推出“0⋅<m n ”；而0⋅<m n 可推出cos ,0<><m n ，但不一定推出,m n 的方向相反，从而不一定推得“存在负数λ，使得λ=m n ”，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分而不必要条件．
10．D 【解析】取0-≠a =b ，则||||0=≠a b ，|||0|0+==a b ，|||2|0-=≠a b a ，
所以||||+≠-a b a b ，故由||||=a b 推不出||||+=-a b a b ．由||||+=-a b a b ， 得22
||||+=-a b a b ，整理得0⋅=a b ，所以⊥a b ，不一定能得出||||=a b ，
故由||||+=-a b a b 推不出||||=a b ，故“||||=a b ”是“||||+=-a b a b ”的既不充分也不必要条件，故选D ．
11．A 【解析】若直线,a b 相交，设交点为P ，则,P a P b ∈∈，又,a b αβ⊂⊂，所以 ,P P αβ∈∈，故,αβ相交．反之，若,αβ相交，则,a b 可能相交，也可能异面或平行．故“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A ．
12．C 【解析】由题意得，111(0)n n a a q a -=>，222121211n n n n a a a q
a q ---+=+= 221(1)n a q q -+，若0q <，因为1q +得符号不定，所以无法判断212n n a a -+的符号； 反之，若2120n n a a -+<，即2(1)1(1)0n a q q -+<，可得10q <-<，
故“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的必要不充分条件，故选C.
13．C 【解析】命题p 是一个特称命题，其否定是全称命题．
14．A 【解析】由0
:22x q >，解得0x >，易知，p 能推出q ，但q 不能推出p ，故p 是q
成立的充分不必要条件，选A ．
15．B 【解析】12log (2)0211x x x +<⇔+>⇔>-，因此选B ．
16．A 【解析】解不等式|2|1x -<可得，13x <<，解不等式220x x +->可得，2
x <-或1x >，所以“21x -< ”是“2
20x x +-> ”的充分而不必要条件．
17．D 【解析】 根据全称命题的否定是特称命题，因此命题“**N ,()N n f n ∀∈∈且 ()f n n ≤”的否定为“**00N ,()N n f n ∃∈∉或00()f n n >”可知选D ．
18．B 【解析】因为α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．若“m βP ”，则平面
、αβ 可能相交也可能平行，不能推出αβ∥，反过来若αβ∥，m Ìα，则有m β∥，则“m β∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件．
19．A 【解析】因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，
因为“sin cos αα=”⇒“cos20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件，故选A ．
20．C 【解析】设3()f x x =，(0)0f '=，但是()f x 是单调增函数，在0x =处不存在极值，
故若p 则q 是一个假命题，由极值的定义可得若q 则p 是一个真命题，故选C ．
21．A 【解析】由正弦定理sin sin a b A B
=，故“b a ≤”⇔“B A sin sin ≤”． 22．C 【解析】 把量词“∀”改为“∃”，把结论否定，故选C ．
23．A 【解析】 当1a b ==时，22()(1)2a bi i i +=+=，反之，若i bi a 2)(2=+，
则有1a b ==- 或1a b ==，因此选A ．
24．C 【解析】由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p q ∧为假
命题，②p q ∨为真命题，③q ⌝为真命题，则()p q ∧⌝为真命题，④p ⌝为假命题，则()p q ⌝∨为假命题，所以选C ．
25．A 【解析】 从原命题的真假人手，由于12
n n n a a a ++<{}1n n n a a a +⇔<⇔为递减数列，即原命题和否命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A ．
26．D 【解析】 2"40"b ac -≤推不出2
"0"ax bx c ++≥，因为与a 的符号不确定，所以A
不正确；当20b =时，由""a c >推不出22""ab cb >，所以B 不正确；“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有0x <”，所以C 不正确．选D ．
27．C 【解析】当a =0 时，()f x x =，∴()f x 在区间()0,+∞内单调递增；当0a <时，
()1f x a x x a ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭中一个根10a <，另一个根为0，由图象可知()f x 在区间 ()0,+∞内单调递增；∴"0"a ≤是“函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的充分条件，相反，当()1f x a x x a ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
在区间(0,+)∞内单调递增，∴0a =或 10a
<，即0a ≤；"0"a ≤是“函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的必要条件，故前者是后者的充分必要条件．所以选C ．
28．A 【解析】当ϕπ=时，sin 2y x =-过原点；()sin 2y x ϕ=+过原点，
则,,0,,ϕππ=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅等无数个值．选A ．
29．C 【解析】abi b a z R b a bi a z 2,,2
22+-=⇒∈+=设．
对选项A: 为实数则若z b z ⇒=≥0,02,所以为实数z 为真．
对选项B: 为纯虚数且则若z b a z ⇒≠=<0,0,02,所以为纯虚数z 为真．
对选项C: 00,0,2<⇒≠=z b a z 且则为纯虚数若,所以02≥z 为假． 对选项D: 00,0,2
<⇒≠=z b a z 且则为纯虚数若,所以02<z 为真． 所以选C ．
30．B 【解析】由f (x )是奇函数可知f (0)=0，即cos φ=0，解出φ=π2
+k π，k ∈Z ，所以选项B 正确．
31．D 【解析】否定为：存在0x R ∈，使得200x <，故选D ．
32．C 【解析】由命题的否定易知选C ．
33．A 【解析】“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”．
34．D 【解析】存在性命题的否定为“∃”改为“∀”，后面结论加以否定，
故为300,R x C Q x Q ∀∈∉．
35．C 【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以 “若4π
α=，则
tan 1α=”的逆否命题是 “若tan 1α≠，则4π
α≠”．
36．A 【解析】①,,,b m m b αβαββ⊥⊥⋂=⊂,b a b a αα⇒⊥⊂⇒⊥
②如果//a m ；∵b m ⊥，一定有a b ⊥但不能保证b α⊥，既不能推出αβ⊥
37．D 【解析】∵,0x
x R e ∀∈>，故排除A ；取x =2,则2222=，故排除B ；0a b +=，取0a b ==，则不能推出1a b
=-，故排除C ；应选D ． 38．B 【解析】0a =时i a b +不一定是纯虚数，但i a b +是纯虚数0a =一定成立，故“0a =”
是“复数i a b +是纯虚数”的必要而不充分条件．
39．B 【解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该
命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”，故选B ．
40．A 【解析】p ：“函数()x a x f =在R 上是减函数 ”等价于10<<a ；q ：“函数
()()32x a x g -=在R 上是增函数”等价于02>-a ，即,20<<a 且a ≠1，故p 是q 成立的充分不必要条件．选A ．
41．C 【解析】命题p 为假,命题q 也为假,故选．
42．A 【解析】3a b c ++=的否定是3a b c ++≠，222a b c ++≥3的否定是
222a b c ++<3，故选A ．
43．A 【解析】由1a b +==>得， 1cos 2
θ>-， 2
0,3πθ⎡⎫⇒∈⎪⎢⎣⎭。

由1a b -==>得1cos 2θ< ,3πθπ⎛⎤⇒∈ ⎥⎝⎦
．选A ． 44．D 【解析】根据定义若“若a b =r r ，则a b =-r r ”．
45．A 【解析】显然1a =时一定有N M ⊆，反之则不一定成立，如1a =-，故“1a =”
是“N M ⊆” 充分不必要条件．
46．D 【解析】 根据定义容易知D 正确．
47．C 【解析】∵1p 是真命题，则1p ⌝为假命题；2p 是假命题，则2p ⌝为真命题，
∴1q ：12p p ∨ 是真命题，2q ：12p p ∧是假命题，3q ：()12p p ⌝∨为假命题， 4q ：()12p p ∧⌝为真命题，故选C ．
48．C 【解析】由于a >0，令函数2
2211()222b b y ax bx a x a a
=-=--，此时函数对应的开口向上，当x =b a 时，取得最小值22b a -，而0x 满足关于x 的方程ax b =，那么0x =b a
，min y =2200122b ax bx a -=-，那么对于任意的x ∈R ，都有212
y ax bx =-≥22b a -=20012
ax bx -． 49．sin y x =（不答案不唯一）【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足
()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，且函数()f x 在[0,2]上不是增函数即可，如，()sin f x x =，答案不唯一．
50．1【解析】“[0,
]4x π∀∈，tan x m ≤”是真命题，则tan 14m π≥=，于是实数m 的最
小值为1。

51．①④【解析】由“中位点”可知，若C 在线段AB 上，则线段AB 上任一点都为“中位点”，
C 也不例外，故①正确；
对于②假设在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，如图所示，点P 为斜边AB 中点，
设腰长为2，则|P A |＋|PB |＋|PC |＝
32
|AB |＝C 为“中位点”，则|CB |＋|CA |＝4
＜ 对于③，若B ，C 三等分AD ，若设|AB |＝|BC |＝|CD |＝1，则|BA |＋|BC |＋|BD |＝4＝|CA |＋|CB |＋|CD |，故③错；
对于④，在梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 的交点为O ，在梯形ABCD 内任取不同于点O 的一点M ，则在△MAC 中，|MA |＋|MC |＞|AC |＝|OA |＋|OC |，
同理在△MBD 中，|MB |＋|MD |＞|BD |＝|OB |＋|OD |，
则得，|MA |＋|MB |＋|MC |＋|MD |＞|OA |＋|OB |＋|OC |＋|OD |，
故O 为梯形内唯一中位点是正确的．
52．3或4【解析】易知方程得解都是正整数解，由判别式1640n ∆=-≥得，14n ≤≤，
逐个分析，当1,2n =时，方程没有整数解；而当3n =时，方程有正整数解1、3；当4
n =
时，方程有正整数解2．
53．【解析】对任何x R ∈，都有2250x x ++≠．。