正定中学2016届高三上学期第三次月考(期中)数学试卷

河北正定中学高三年级第三次月考
数 学 试 题
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数i
z -=
12
，则复数z 的模是 A.1 B.2 C.3 D.22 2. 等比数列{}n a 中，6453=a a ，则=4a
A.8
B.8-
C.8或8-
D.16 3. 若命题:
01
x
p x <-,命题2:2q x x <,则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 已知向量(1,2)a =，b a ⊥，则b 可以为
A ．(1,2)
B ．(1,2)-
C ．(2,1)
D ．(2,1)- 5. 命题“存在,0R x ∈使得020
≤x ”的否定是
A.不存在,0R x ∈使得02
>x B. 存在,0R x ∈使得020>x
C.对任意02,>∈x
R x D. 对任意02,≤∈x
R x
6. 已知sin(
)sin 3
π
αα++=
7sin()6
π
α+的值是
A. C.45 D.4
5
- 7. 设,x y 均为正实数，且
33
122x y
+=++，则xy 的最小值为
A.4
B.
C.9
D.16
8. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足①对任意的x 都有(4)()f x f x +=成立；②当
[0,2]x ∈时，()22|1|f x x =--，则1
()||
f x x =
在[4,4]-上根的个数是 A.3 B.4 C.5 D.6 9. 函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中)2
,0π
ϕ<
>A ）的图象如图所示，为了得到
x x g ωcos )(=的图象，则只要将)(x f 的图象
A.向左平移12
π
个单位长度 B ．向右平移
12
π
个单位长度
C.向左平移
6π
个单位长度 D ．向右平移
6
π
个单位长度
10. 已知数列{}n a 满足110,1n n a a a +==+，则13a =
A.143
B.156
C.168
D.195
11. 已知O 为ABC ∆的外心，2AB =,4AC =，若AC y AB x AO +
=，且 42x y +=
A ．1
B ．2
C D ．4
12. 已知函数2
2
2
()()(ln 2)f x x a x a =-+-，其中0,x a R >∈，存在0x ，使得04()5
f x ≤ 成立，则实数a 的值为 A.
15 B.25 C.1
2
D.1 第II 卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13. 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=__________．
14. 若,x y 满足不等式组2
12
x y x y +≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
，则12z x y =+的最小值是__________．
15. 由直线20x y +-=，曲线3
y x =以及x 轴围成的图形的面积为__________．
16. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21()21x x f x -=+，且22014(2)sin 3
f a π
-=，
20142015(2)cos
6
f a π
-=，则2015S =__________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）
设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos sin 2sin sin()B A A A B -=-，且1
2,cos 4
a C ==，求
b 及ABC ∆的面积.
18.（本小题满分12分）
某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元.供大于求时，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元.
（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，*n N ∈）的函数解析式；
（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件），整理得下表：
若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求该商品一天的利润X 的分布列及平均值.
19.（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知10,1n a a >=，且22
1
,2,n n n a S a +成等比数列，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21
n n
b a =，数列{}n b 前n 项和为n T ，求证2n T <.
20. (本小题满分12分)
直三棱柱111ABC A B C -中，11AA AB AC ===，,E F 分别是
1,CC BC 的中点，11AE A B ⊥，D 为棱11A B 上的点．
（1）证明：DF AE ⊥；
（2）是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的
D 的位置，若不存在，说明理由．
21. (本小题满分12分)
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(A ，，点12,F F 分别为其左右焦点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若2
4y x =上存在两个点,M N ，椭圆上有两个点,P Q 满足2,,M N F 三点共线，
2,,P Q F 三点共线，且PQ MN ⊥,求四边形PMQN 面积的最小值．
22. (本小题满分12分)
已知函数2
()ln x f x x
=.
(1)求函数()f x 在区间14
[,]e e 上的最值；
(2)若244()()ln m mx g x f x x -=+（其中m 为常数），当1
02
m <<时，设函数()g x 的3
个极值点为,,a b c ，且a b c <<，证明：021a b c <<<<.
高三期中考试数学试题参考答案
一、选择题： 1-5 BCADC 6-10 DDBAC 11-12 BA 二、填空题：13. 2 14. 32 15. 3
4
16.4030 17 解：
2cos sin 2sin sin()B A A A B -=-
2cos sin 2sin sin cos cos sin B A A A B A B ∴-=-
即sin
cos cos sin 2sin A B A B A +=
sin()sin 2sin A B C A ∴+==………………………4分
2c a ∴= 4c =………………………5分
又222
2cos c a b ab C =+-即21164-224
b b =+⋅⋅
2
120b
b ∴--= 解得3()4b b =-=舍去或………………………8分
1
22
ABC S ∆∴=
⋅=………………………10分 18．解：（1）当110n ≤≤时，50(10)(10)60100y n n n =+-⨯-=-，………2分
当10n >时，5010(10)3030200y n n =⨯+-⨯=+，………4分
所以函数解析式*
*
60100,110,30200,10,n n n N
y n n n N
⎧-≤≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩； …………6分
（2）∵日需求量为8、9、10、11、12的利润分别为380、440、500、530、560. 其概率分别为
911311
,,,,505010510
，…………8分 ∴利润X 的分布列为：
………10分
利润X 的平均值为：
9113112386
3804405005305605050105105
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=
（元）………12分
19.解：（1）由已知得：222
14n n n S a a +=⋅，又0n a >，
12n n n S a a +∴=⋅，11222,2a a a a ∴=⋅∴=………2分
当2n ≥时，112n n n S a a --=⋅
112()n n n n a a a a +-∴=-，112n n a a +-∴-=………4分 121,2a a ==，
1,3521,,,n a a a a -∴是首项为1，公差为2的等差数列；
2,462,,
,n a a a a ∴是首项为2，公差为2的等差数列；…………6分
{}n a ∴是首项为1，公差为1的等差数列， n a n ∴=.…………7分
（2）
2
1
n b n =
222
111111
111223(1)23
n T n n
n
=+
+++
<++++
⨯⨯-⨯………10分
111
1111(1)22
223
1n n n
=+-+-+
+
-=-<-.………12分 20.解: （1）证明：∵11AE A B ⊥，11//,A B AB AE AB ∴⊥ 又∵11
,AA AB AA AE A ⊥=∴AB ⊥面11A ACC .
又∵AC ⊂面11A ACC ，∴AB AC ⊥，………………………………………2分 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 则有()()()111110,0,0,0,1,,,,0,0,0,1,1,0,1222A E F A B ⎛
⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ………………4分
设()111,,,D x y z A D A B λ=且()0,1λ∈，即(),,1(1,0,0)x y z λ-=,则
11(,0,1),,,122D DF λλ⎛⎫
∴=-- ⎪⎝⎭
，
∵1110,1,
,0222
AE DF AE ⎛
⎫=∴⋅=-=
⎪⎝⎭，所以DF AE ⊥；…6分 （2）结论：存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为
分
理由如下：
由题可知面ABC 的法向量
()0,0,1n =…………………………………………8分
设面DEF 的法向量为(),,n x y z =，则00
n FE n DF ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，
∵11111,,,,,122222FE DF λ⎛⎫⎛⎫
=-
=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴111022211022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()
3211221x z y z λλλ⎧=⎪-⎪
⎨+⎪=⎪-⎩
，
令()21z λ=-，则()()
3,12,21n λλ=+-．………………………………………10分
∵平面DEF 与平面ABC
∴14
cos ,m n m n m n
⋅=
=
=，
解得12λ=
或7
4
λ=（舍），所以当D
为11A B 中点时满足要求．………………………12分 21.解：（1）由题意得：2
2
2c e a b c a =
=-=
，得,b
c a ==， 因为椭圆过点A ⎛
⎝，则
22111,2c c +=解得1,c =所以a =， 所以椭圆C 方程为:2
212
x y +=．………………………………………………………4分
（2）当直线MN
斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，
易得4,MN PQ S ===………………………………………………………5分 当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：(1)(0)y k x k =-≠ 与2
4y x =联立得()
2222240k x k x k -++=， 令1122(,),(,)M x y N x y ，则12122
4
2,1x x x x k
+=
+⋅=， 244k =+，…………………………………………7分 ∵PQ MN ⊥，∴直线PQ 的方程为：1
(1)y x k
=-
-， 将直线与椭圆联立得，2
2
2
(2)4220k x x k +-+-=，
令3344(,),(,)P x y Q x y ，2
341222
422,22k x x x x k k -+=⋅=
++，
=，…………………9分
∴四边形PMQN 的面积
S ………………………10分 令2
1(1)t k t =+>
，上式
21
)1S t =
==+>-，
所以S ≥
．最小值为．………………………………………………………12分 22.解：（1）函数()f x 的定义域为()
()0,11,+∞
()()22ln 1ln x x f x x -'=，令()0f x '=
可得14,x e e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
当1
4
e x <<
()0f x '<，函数()f x 单调递减；
x e <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. ……………………………2分
(
)min 2f x f
e ∴==
，又()124,f e f e e ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
且2e >，
所以函数()f x 的最小值为2e ，最大值为2e ……………………………………………4分
（2）由题意得()2
22244()ln ln x m x m mx g x x x
-+-==
()()2222ln 1ln m x m x x g x x
⎛⎫-+
- ⎪⎝⎭
'=
………………………………………………………6分
令()22ln 1m h x x x =+
-，有()2
22x m
h x x
-'= 所以函数()h x 在()0,m 上单调递减，在(),m +∞上单调递增…………………………8分 因为函数()g x 有三个极值点,,a b c
从而min ()()2ln 10,h x h m m m ==+<∴< 当1
02
m <<
时，(2)2ln 0,(1)210h m m h m =<=-< 从而3个极值点中，有一个为2m ，有一个小于m ，有一个大于1. 又a b c <<，0,2,1a m b m c ∴<<=>即0,212
b
a b m c <<
=<<， 故021a b c <<<<…………………………………………………12分。