2022年高考数学总复习：平面向量的数量积

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1．向量的夹角
已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角
的范围是[0，π]．
2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数
量积，记作a ·b
投影 |a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影，
|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影
几何意义
数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积 设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则
(1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ.
(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.
(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；
当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |.
特别地，a ·a ＝|a |2或|a |a ·a .
(4)cos θ＝a ·b |a ||b |
. (5)|a ·b |≤|a ||b |.
4．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b ＝b·a ；
(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)；
(3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到
(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.
(3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.。