山东省聊城市2019届高三三模文科数学试卷 Word版含解析

2019年聊城市高考模拟试题文科数学（三）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{|10}A x x =->，{0,1,2,3}B =，则()R A B ⋂=ð（ ）
A. {2,3}
B. {}0
C. {0,2,3}
D. {0,1} 【答案】D
【解析】
【分析】
先化简集合A,再求R C A 和()R A B ⋂ð.
【详解】由题得A={x|x ＞1}，
所以={|1}R C A x x ≤，
所以(){0,1}R A B ⋂=ð.
故选：D
【点睛】本题主要考查集合的化简和补集、交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2.若复数z 满足(23)z i i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出复数z,再求复数z 即得解. 【详解】由题得(23)3223(23)(23)13
i i i i z i i i -+===++-，
所以321313
z i =-， 所以z 在复平面上对应的点为
32)1313（，-， 故选：D
【点睛】本题主要考查复数的除法运算和共轭复数的求法，考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3.若命题p ：0x ∃∈R ，20010x x -+≤，命题q ：0x ∀<，x x >.则下列命题中是真命题
的是（ ）
A. p q ∧
B. ()p q ∧⌝
C. ()p q ⌝∧
D. ()()p q ⌝∧⌝
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断命题p 和q 的真假，再判断选项得解.
【详解】对于命题p,22000131=()024x x x -+-+
>,所以命题p 是假命题，所以p ⌝是真命题； 对于命题q, 0x ∀<，x x >,是真命题.
所以()p q ⌝∧是真命题.
故选：C
【点睛】本题主要考查复合命题的真假的判断，考查全称命题和特称命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4.设110a e =，ln b =，1lg c e =（其中 2.71828
e =是自然对数的底数），则（ ） A. c b a >> B. a b c >> C. a c b >>
D. b a c >>
【答案】B
【解析】
【分析】
判断a,b,c 的范围即得a,b,c 的大小关系. 【详解】由题得1
0101a e e =>=，
ln ln 1,b e =<=且b>0.
1lg lg10c e
=<=， 所以a b c >>.
故选：B
【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5.若方程2244x ky k +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ ）
A. 4k >
B. 4k =
C. 4k <
D. 04k <<
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简得到椭圆的标准方程，再列出关于k 的不等式，解不等式即得k 的取值范围. 【详解】由题得22
14
x y k +=， 因为方程22
44x ky k +=表示焦点在y 轴上的椭圆， 所以04k <<.
故选：D
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6.函数()2ln f x x x =-+的图象在1x =处的切线方程为（ ）
A. 10x y ++=
B. 10x y -+=
C. 210x y -+=
D. 210x y +-=
【答案】A
【解析】
【
分析】
先求出切点的坐标和切线的斜率，再写出切线的方程.
【详解】当x=1时，f(1)=-2+0=-2，所以切点为（1,-2）, 由题得11()2,(1)211f x k f x ''=-+∴==-+=-， 所以切线方程为y+2=-1·(x-1),
即：10x y ++=
故选：A
【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7.在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+，则λμ+的值为（ ） A. 12- B. 12 C. 1- D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】 先求出12AE AB AC =-+,再求λμ，即得解. 【详
解】由题得1111111122222222
AE AD AC BC AC AC AB AC AB AC =
+=+=-+=-+, 11,1,22λμλμ∴=-=∴+=. 故选：B
【点睛】本题主要考查平面向量的三角形加法法则和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8.已知抛物线2:4C y x =的焦点F 和准线l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交
点为B ，且3FA FB =-，则||AB =（ ） A. 23 B. 43 C. 323 D. 163
【答案】C
【解析】
【分析】
由题设||,|FA |3a,FB a ==解三角形求出a 的值，再求|AB|的值得解.
【详解】由题设||,|FA |3a,|AB|4a FB a ==∴=
过点B 作BC ⊥l,垂足为C,则|BC|=a, 1cos 44a CBF a ∠=
=， 设准线l 交x 轴与D, 则128cos cos ,,433DFA CBA a a ∠=∠=
=∴= 所以832||4433AB a ==⋅
=. 故选：C
【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9.已知定义在实数集R 上的函数()f x 的图象经过点(1,2)--，且满足()()f x f x -=，当0≤<a b 时不等式
()()0f b f a b a ->-恒成立，则不等式(1)20f x -+<的解集为（ ） A. (0,2) B. (2,0)- C. (,0)(2,)-∞+∞ D. (,2)(0,)-∞-+∞
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知得到函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式(1)20f x -+<即得解.
【详解】()()f x f x -∵=,
所以函数f(x)是偶函数，
因为0≤<a b 时不等式
()()0f b f a b a
->-恒成立， 所以函数f(x)在（0，+∞）上是增函数，在（-0∞，）上是减函数， 因为(1)20(1)2(1)f x f x f -+<∴-<-=-，，
所以|1|1,111,02x x x -<∴-<-<∴<<.
故选：A
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10.如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这个三位数为“凸数”（如132），现从集合{1,2,3,4}中任取3个互不相同的数字，排成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（ ） A. 23 B. 13 C. 16 D. 112
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，分析“凸数”的定义，在{1,2,3,4}的4个整数中任取3个数字，组成三位数，再将最大的放在十位上，剩余的2个数字分别放在百、个位上即可，再利用古典概型概率计算公式即可得到所求概率．
【详解】根据题意，要得到一个满足题意的三位“凸数”，
在{1，2，3，4}的4个整数中任取3个不同的数组成三位数，有334
324C A ⨯=种取法， 在{1，2，3，4}的4个整数中任取3个不同的数，将最大的放在十位上，剩余的2个数字 分别放在百、个位上，有3428C ⨯=种情况， 则这个三位数是“凸数”的概率是
81243
=. 故选：B ．
【点睛】本题考查组合数公式的运用，关键在于根据题干中所给的“凸数”的定义，再利用
古典概型概率计算公式即得答案．
11.我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数21,2,3,,n 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么 9N 的值为（ ）
A. 41
B. 45
C. 369
D. 321
【答案】C
【解析】
【分析】 推导出21(12345)n N n n
=+++++⋯+，由此利用等差数列求和公式能求出结果． 【详解】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，
31(123456789)153
N =++++++++=， 41(12345678910111213141516)344
N =+++++++++++++++=， 51(12345678910111213141516171819202122232425)655
N =++++++++++++++++++++++++=，
⋯
222211(1)(1)(12345)22
n n n n n N n n n ++∴=+++++⋯+=⨯=． 故299(91)9413692
N +==⨯=. 故选：C
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的前n 项和公式，本题解题的关键是应用等差数列的性质来解题．
12.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于,A B 两点，且2FB AF =，则该双曲线的离心率为（ ）
A.
B. C. 43
D. 【答案】A
【解析】
【分析】
由题得||,||2,|OA |a,FA b FB b ===由题得2
22tan 2tan 1()b
b a BOA BOF b a a ⋅
∠==∠=-，解方程即得解.
【详解】由题得||,||2,|OA |a,FA b FB b === 由题得tan tan b BOF AOF a
∠=∠=， 所以2
23tan tan 21()b
b a BOA BOF b a a
⋅∠==∠=-，
所以2222293,9()3b b a c a a a =∴=∴-=，
所以e =. 故选：A
【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，考查直线和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知角α
为第一象限角，
sin cos a αα
-=，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】(1,2]
【解析】
【分析】
由题得sin 2sin()3a πααα==+
，再利用三角函数的图像和性质求实数a 的取值范围得解.
【详解】由题得sin 2sin()3a πααα==+
， 因为22,,2k k k Z ππαπ<<+
∈ 所以52+
+2,,336k k k Z ππππαπ<<+∈ 所以1sin()1,12sin()2233
ππαα<+≤∴<+≤. 故实数a 的取值范围为(1,2].
故答案为：(1,2]
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14.已知实数,x y 满足02601x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则13y x -+的取值范围为__________． 【答案】71,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解析】
【分析】 先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得到
13
y x -+的取值范围. 【详解】作出不等式组对应的可行域，如图所示，
联立直线方程1,(1,1).x A x y
=-⎧∴--⎨=⎩ 联立直线方程1,(1,8).2+60x B x y =-⎧∴-⎨-=⎩ 13
y x -+表示可行域内的点（x,y ）和点P(-3,1)连线的斜率， 由图得，当动点在点A 时，13y x -+最小为11113
--=--+， 当动点在点B 时，13y x -+最大为817132
-=-+. 故答案为：71,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【点睛】本题主要考查线性规划求最值，考查直线斜率的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
15.已知正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，若存在两项m a ，n a ，使得1a =，则91m n +的最小值为__________．
【答案】2 【解析】 【分析】
由正项等比数列通项公式结合已知条件求出1
2
q =，再由1a =，求出8m n +=，由此利用均值定理能求出结果． 【详解】
正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，
432111=+2a q a q a q ∴，
整理，得210+2q q -=，又0q >，解得，12
q =，
存在两项m a ，n a 使得1a ， 2221164m n a q a +-∴=，
整理，得8m n +=，
∴
9119119()()(10)88m n m n m n m n n m
+=++=++ 1(10)28n m +=…， 则
91
m n
+的最小值为2． 当且仅当
9m n n m
=取等号，又m ，*n N ∈．8m n +=， 所以只有当6m =，2n =时，取得最小值是2． 故答案为：2
【点睛】本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正项等比数列的性质和均值定理的合理运用．
16.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为__________．
【答案】414
π
【解析】 【分析】
先找到几何体原图，再求几何体底面的外接圆的半径和几何体的外接球的半径，最后求几何体外接球的表面积.
由余弦定理得34
cos ,sin 5
5αα=∴=，
所以25
=2,445
r r ∴=,
在△ADC 中，AC=1,54
AD =
，
所以4
CD ==
,
所以几何体外接球的半径为
4
， 所以几何体外接球的表面积为41414=164
ππ⋅. 故答案为：
414
π
【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体外接球的问题和球的表面积求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：60分
17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2a B c b =+. （1）求A ∠的大小；
（2）若ABC ∆的外接圆的半径为ABC ∆的周长.
【答案】（1）23
π
；（2）6+. 【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理和诱导公式化简即得A ∠的大小；（2）先利用正弦定理求出a 的值，再利用面积求出bc 的值，最后利用余弦定理求出b+c 的值即得解. 【详解】（1）因为2cos 2a B c b =+，
由正弦定理可得，2sin cos 2sin sin A B C B =+， 由三角形内角和定理和诱导公式可得，
sin sin(())sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin =+A B A B ，
代入上式可得，2sin cos 2sin cos 2cos sin sin A B A B A B B =++， 所以2cos sin sin 0A B B +=.
因为sin 0B >，所以2cos 10A +=，即1cos 2
A =-. 由于0A π<<，所以23
A =
π.
（2）因为ABC ∆的外接圆的半径为
62
a A ===.
又ABC ∆的面积为
所以
1sin 2bc A =122
bc ⨯=12bc =. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，
则2
2
2
2
36()()12b c bc b c bc b c =++=+-=+-，
所以2()48b c +=，即b c +=
所以ABC ∆的周长6a b c ++=+【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18.如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，2CB GF =，
BF CF =.
（1）求证：AB CG ⊥；
（2）若ABC ∆和梯形BCGF F BEG -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）1
6
. 【解析】 【分析】
（1）取BC 的中点为D ，连结DF .先证明CG ⊥平面ABC ，再证明AB CG ⊥；（2）先求
出EFG
S
=
，再求出梯形BCGF 的高h,再利用BEG 13F B EFG EFG
V V S
h --==⋅求解.
【详解】（1）由ABC EFG -是三棱台得，平面ABC ∥平面EFG ， 从而BC FG ∥.
取BC 的中点为D ，连结DF .
∵2CB GF =，∴
//CD GF ， ∴四边形CDFG 为平行四边形，∴CG DF .
∵BF CF =，D 为BC
中点，∴DF BC ⊥，∴
CG BC ⊥. ∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ， ∴CG ⊥平面ABC ，而AB Ì平面ABC ， ∴CG AB ⊥.
（2）∵正三角形ABC
∴2BC =，1GF =.∴正三角形EFG 的面积EFG
S
=
. ∵梯形BCGF ∴梯形BCGF 的高h =
∴BEG 1
3
F B EF
G EFG
V V S h --==
⋅113436
=⨯=. 【点睛】本题主要考查空间垂直关系的证明，考查空间几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19.根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y （百千克）与某种液体肥料每亩使用量x （千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r 并加以说明（若||0.75
r>，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）求y关于x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y约为多少？
附：相关系数公式
()()
n
i i
x x y y
r
--
==
∑
n
i i
x y nxy
-
∑
，
0.55
≈0.95
≈.
回归方程y b x a
∧∧∧
=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
()()
()
11
222
11
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nx y
b
x x x nx
∧
==
==
---
==
--
∑∑
∑∑
，a y b x
∧∧
=-
【答案】（1）0.95；（2）0.3 2.5
y x
∧
=+，6.1百千克.
【解析】
【分析】
（1）直接利用相关系数的公式求相关系数r，再根据相关系数的大小判断可用线性回归模型拟合y与x的关系.（2）利用最小二乘法求回归方程，再利用回归方程预测得解.
【详解】（1）由已知数据可得
24568
5
5
x
++++
==，
34445
4
5
y
++++
==.
所以()()
5
1
i i
i
x x y y
=
--=
∑(3)(1)(1)00010316
-⨯-+-⨯
+⨯+⨯+⨯
=，
==
==，
所以相关系数()()
5
i
i
x x y y r --=
∑
0.95=
=≈.
因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.
（2）()()
()
5
1
2
1
5
63
0.32010
i
i
i i i x x y y b x x ∧
==--=
=
==-∑∑. 那么450.3 2.5a ∧
=-⨯=. 所以回归方程为0.3 2.5y x ∧
=+. 当12x =时，0.312 2.5 6.1y ∧=⨯+=，
即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克.
【点睛】本题主要考查相关系数和回归方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20.设椭圆222
:1(0)
4x y C b b +=>的
左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，过点A 与2
AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1120FQ F F +=. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的右焦点2F 作斜率为1的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，试在x 轴上求一点P ，使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形.
【答案】（1）22143
x y +=；
（2）点P 坐标为1,07⎛⎫ ⎪⎝⎭时. 【解析】 【分析】
（1）根据已知求出(3,0)Q c -，再根据直线2AF 与直线AQ 垂直求出b 的值，即求出椭圆C
的方程；（2）先求出线段MN 的中点为43,77E ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，再根据3
3
714747
PE k t t ===---求出
t 的值，即得解.
【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2(0)c c >，则点1(,0)F c -，点2(,0)F c ，
设()0,0Q x ，且00x <，则()1
0,0FQ x c =+，12(2,0)F F c =， ∵1120FQ F F +=，则020x c c ++=，所以03x c =-，即(3,0)Q c -. ∵直线2AF 与直线AQ 垂直，且点(0,)A b ， ∴2(,)AF c b =-，(3,)AQ c b =--， 由22230AF AQ b c ⋅=-=，得223b c =， ∵22244b c c =+=，∴
1c =
，b =因此，椭圆C 的方程为22143
x y +=.
（2）由（1）得2(1,0)F .设点11(,)M x y ，()22,N x y ，直线l 的方程为1y x =-.
将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立221
14
3y x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得27880x x --=，
由韦达定理得128
7x x +=
，所以1
2427
x x +=. 因此，线段MN 的中点为43,77E ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭. 设点P 的坐标为(,0)t ，由于PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，则PE MN ⊥.
所以直线PE 的斜率为3
3714747
PE
k t t ===---，解得1
7t =.
因此，当点P 坐标为1,07
⎛⎫ ⎪⎝⎭
时，以PM ，PN 为邻边的平行四边形为菱形.
【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对
这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21.已知函数2()(2)ln 47()f x x x ax x a a =++-+∈R .
（1）若1
2a =
，求函数()f x 的所有零点； （2）若1
2
a ≥，证明函数()f x 不存在的极值.
【答案】(1) 1x = (2)见证明 【解析】 【分析】 （1）首先将1
2
a =
代入函数解析式，求出函数的定义域，之后对函数求导，再对导函数求导，得到()0f x '≥（当且仅当1x =时取等号），从而得到函数()f x 在()0,∞+单调递增，至多有一个零点，因为()10f =，1x =是函数()f x 唯一的零点，从而求得结果； （2）根据函数不存在极值的
条件为函数在定义域上是单调函数，结合题中所给的参数的取值范围，得到()f x 在()0,∞+上单调递增，从而证得结果. 【详解】（1）解：当1
a 2=
时，()()2172ln 422
f x x x x x =++-+， 函数()f x 的定义域为()0,∞+，
且()2
ln 3f x x x x =+
+-'． 设()2
ln 3g x x x x
=++-，
则()()()2222211221x x x x g x x x x x
+-+-='=-+= ()0x >． 当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>，
即函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，
所以当0x >时，()()10g x g ≥=（当且仅当1x =时取等号）． 即当0x >时，()0f x '≥（当且仅当1x =时取等号）．
所以函数()f x 在()0,∞+单调递增，至多有一个零点.
因为()10f =，1x =是函数()f x 唯一的零点. 所以若1
2
a =
，则函数()f x 的所有零点只有1x =． （2）证法1：因为()()2
2ln 47f x x x ax x a =++-+， 函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()2
ln 24x f x x ax x
++'=+
-． 当12a ≥
时，()2
ln 3f x x x x
≥++-'， 由（1）知2
ln 30x x x
++-≥．
即当0x >时()0f x '≥，
所以()f x 在()0,∞+上单调递增． 所以()f x 不存在极值．
证法2：因为()()2
2ln 47f x x x ax x a =++-+，
函数()f x 的定义域为()0+∞，
，且()2
ln 24x f x x ax x
++'=+-． 设()2
ln 24x m x x ax x
+=+
+-， 则()222
1222
2ax x m x a x x x
+-=-+=' ()0x >． 设()()2
220h x ax x x =+-> ，则()m x '与()h x 同号．
当12
a ≥
时，由()2
220h x ax x =+-=，
解得1104x a --=
<
，2104x a
-+=>．
可知当20x x <<时，()0h x <，即()0m x '<，当2 x x >时，()0h x >，即()0m x '>， 所以()f x '在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增． 由（1）知2
ln 30x x x
+
+-≥． 则()()()222222
2
ln 321210f x x x a x a x x =+
+-+-≥-≥'． 所以()()20f x f x ''≥≥，即()f x 在定义域上单调递增．
所以()f x 不存在极值．
【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有求函数的零点，函数的极值存在的条件，属于中档题目.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222
cos 3sin 12ρθρθ+=，点P 的极坐标为(2,)π，倾斜角为α的直线l 经过点P .
（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；
（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11PA PB +的取值范围.
【答案】（1）221124x y +=,2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）；（2）22⎣⎦
. 【解析】
【分析】
（1）直接利用极坐标公式化曲线C 的方程为直角坐标方程，再求出点P 的坐标，再写出直
线的参数方程；（2）将直线l 的参数方程代入22312
+=x y ，再利用直线参数方程t 的几何意义求出11PA PB
+的表达式，再利用三角函数求出取值范围. 【详解】（1）由2222cos 3sin 12ρθρθ+=可得，22
312+=x y ，即22
1124x y +=. 设点(,)P x y ，则2cos 2x π=⨯=-，2sin 0y π=⨯=，即点(2,0)P -，
∴直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数） （2）将直线l 的参数方程代入22312+=x y 得，()2212sin 4cos 80t t αα+--=，
24848sin 0α∆=+>恒成立，
设点A 对应的参数为1t ，点B 对应的参数为2t ， 则1224cos 12sin t t αα+=+，1228012sin t t α
-=<+， 则1212121212
1111||||t t t t PA PB t t t t t t +-+=+==
==⎣⎦
. 【点睛】本题主要考查极坐标、参数方程和直角坐标的互化，考查直线参数方程t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
选修4-5：不等式选讲
23.已知函数()|21||3|f x x x =-++，()|1|||g x a a x =--.
（1）求函数()f x 的值域M ；
（2）若函数()g x 的值域为N ，且M N ≠∅，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）7,2M ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭；（2）9(,0),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭
. 【解析】
【分析】
（1）先化简得到分段函数f(x)，再求出分段函数的值域得解；（2）对a 分类讨论，根据M N ≠∅得到实数a 的取值范围. 【详解】（1）函数()f x 可化简为32,31()4,32132,2x x f x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩
可得当3x ≤-时，()327f x x =--≥. 当132x -<≤时，7()4,72f x x ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭
.
当12x >时，7()322
f x x =+>. 故()f x 的值域7,2M ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭
. （2）当0a =时，()1g x =，{1}N =，M N ⋂=∅，所以0a =不符合题意. 当0a >时，因为0x ≥，所以函数()g x 的值域(,|1|]N a =-∞-，
若M N ⋂=∅，则7|1|2
a -≥，解得52a ≤-或92a ≥，从而92a ≥符合题意. 当0a <时，因为0x ≥，所以函数()g x 的值域[|1|,)N a =-+∞，
此时一定满足M N ⋂=∅，从而0a <符合题意.
综上，实数a 的取值范围为9(,0),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭
.
【点睛】本题主要考查绝对值函数的值域的求法，考查集合之间的关系和参数范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。