2011年全国中学生天文奥林匹克竞赛选拔赛-理论试题

2011 年全国中学生天文奥林匹克比赛选拔赛理论试题
全国天文奥赛组委会供稿
I、理论部分（每个年级组 5 道题，每题 20 分）
1、（低年组）【恒星观察】
hm s
、赤纬δ=5°15′10的″恒星经过子午圈的时辰为21:33 ，当时其地平高度为55°10′08。

″以后测得一颗坐标未知的恒星上中天的时辰某晚观察发现，一颗赤经α =120 05
为 22:03，当时其地平高度为43°20′25，″问：
（1）观察地的地理纬度是多少？
（2）这颗坐标未知的恒星的赤经和赤纬分别是多少？
答案：
（1）第一颗恒星“过子午圈” ，既可能是上中天也可能是下中天。

先考虑上中天，依据其上中时节的地平高度等数据，代入以下公式：
h=90°-|φ- δ|
当地的地理纬度为：
φ=40°05'02" （南（注：？）半球）或φ=-29°34'42"（北（注：？）半球）
若它此时是下中天，其地平高度为：
h=| φ+δ|-90 °
代入数据可知：φ=±145°10′08-″5°15′10，″即 |φ|>90 °，结果无心义。

表示这颗恒星此时不行能是下中天。

（ 2）第二颗恒星比第一颗晚30 分钟上中天，意味着它的赤经比第一颗大30 m，所以第二颗恒星的赤经为：
α=1h 20m 05s+30m =1h50 m 05s
2
仍旧利用（1）中的公式，能够求出第二颗星的赤纬为：
φ=40°05'02" 时，δ=-6 °34'33" （天顶以南上中天）
2 或δ=86°44'37" （天顶以北上中天）；
2
φ=-29 °34'42" 时，δ=-76 °14'17" （天顶以北上中天）
2 或δ=17°4'53" （天顶以南上中天）2
2、（高年组和低年组）【木星落山】
请估量（起码是大略预计），当木星冲日时，在北京延庆学生军训基地（即本次考试地）观察，从木星视圆面下缘与地平相切直到木星视圆面完整消逝在地平线下的
整个过程（即木星落山）需要多长时间？大气折射对你的计算结果有何影响？假定地球、木星轨道为正圆而且共面，木星轨道半长径为 5.2AU ，赤道半径为 71500 km 。

答案：
木星冲日时，离地球的距离为 4.2AU ，它的视直径为：
d=2×71500km/(4.2 AU)=2.27 弧度？（注：2.27exp-4）=46.82"
当木星正好位于赤道上时（δ=0 ），它的周日视运动的角速度为：
ω0=360°/23h 56m 4s≈ 15"/s
估量时，能够以为任一天的木星视运动角速度都等于ω0，落山时它的周日视运动轨迹与地平线的夹角为90°-φ，需要进行纬度更正。

所以在纬度为φ=40°的地方，它落山的时间大概为：
t=[d/sin(90 - φ°)]/ ω0≈ 4.1 s
大气折射在地平线邻近约为35'，而木星视圆面仅为46.82" ，所以大气折射只改变木星的视地点，对落山的连续时间没有影响。

假如是太阳（视直径32'左右），则可能会有影响。

因为大气折射角跟着地平高度而减小，会致使我们看到的地平邻近的太阳呈扁圆形（宽度不变，但长度变小，形状大概为32' ×26.5'，见 2005 年国际天文奥赛实测题），所以北纬 40 度处的太阳落山时间会稍微变短大概30 秒。

编者注：实质上因为木星的周日视运动圆与它的赤纬（δ）相关，当δ不为 0 时，视运动轨迹是个小圆。

这时其周日视运动角速度不一样于ω0，落山的时间自然有所差别。

我们能够依据球面天文学公式推导出随意日期的木星落山时间知足：
2δ-sin2φ)0.5
] (1)
t=d/[ ω ·(cos
木星的赤纬为 (-23.5 °,23.5 )°，所以在北纬40 度处，它的落山的时间为：t ≈4.1s~4.8s。

大气折射能够改变木星的赤纬δ，进而使得它落山时的视运动圈略有改变，但致使的
cosδ变化不超出 0.004 ， t 的变化不到 0.02 秒，完整能够忽视。

所以大气折射对木星落山过程没有影响。

（ 1）式的推导过程比较复杂，已经高出了中学数学水平，参加奥赛的同学不用掌握。

当在国际奥赛中再次碰到近似的问题时，能够忽视周日视运动的“小圆”效应，
不要在这个问题上过于纠葛。

比如2010 年亚太地域天文奥赛理论高年组第二题（晨昏蒙影，拜见2011 年第 2 期《天文喜好者》），当时有许多学生试图考虑到周日视运
动是小圆，花销了很大精力，结果却仍旧不对。

3、（高年组和低年组）【黄道】
位于地球某处的观察者，在昨晚的某一时辰观察土星，他注意到这时黄道上的每一点都有一种奇怪的性质：这一点和南天极的角距离恰好等于这一点的天顶距。

不
考虑大气折射，求观察者的地理纬度，并估量他的观察时辰。

答案：
第一要知道，要想黄道上的每一点都知足题意，此时的黄道必与天赤道订交于东、西两点，也就是说观察时间为地方恒星时6h或 18 h左右（春、秋分时角为6h时），对应的地方时为15 h20 m或 3h 20m，明显他是在夜晚观察，时间应为 3 h20 m左右。

现在黄道上正好过上中天的那一点，其天顶距和到南极的距离知足：
z=|φ-δ|=90 °+δ
代入δ=±23.5 °，能够求出只有：
φ=-90 °或φ=43.0 °
才知足题意。

所以观察者在北半球，纬度为43°，当时的地方时为3h20 m。

或许他在南极，这日南极是极夜，随意时辰都能观察，而土星在2011 年 5 月 1 日的赤纬为-2 °左右，南半球可见。

4、（高年组和低年组）【腕表辨向】
春分那一天，一群北京旅游者在新疆的楼兰古城旧址邻近（约为东经90°，北纬40°）迷失了方向，他们决定利用腕表鉴别方向：先依据经度把腕表时间调整成当地的
地方时，再按24 小时制读出腕表上的时辰t，将此时辰换算成小时数并除以 2 ，获得一个数Ｔ。

而后把腕表平放在手上或许地上，让表盘上的Ｔ刻度瞄准太阳，这时腕表
表面 12 点所指的方向大概上就是北方。

有句口诀能够方便记忆：“时间折半对太阳，12 点指向是北方。

”
已知春分这日，地方时t 时辰（以小时为单位）太阳的方向角 A （从北点向东起量）知足以下公式：
tanA=tan[( t- 12) × 15° ]/sinφ
φ为当地地理纬度。

以t（小时）为横坐标、腕表辨向的偏差（度）为纵坐标作图，据图求：
（1）腕表辨向产生的最大偏差大概为多少度？并指出此时所定出的北方比实质方向偏东仍是偏西？此时的地方时为多少？北京时间为多少？
（2）假如鉴别方向时，他们忘了把腕表时间调整成地方时，腕表辨向产生的最大偏差为多少？最小偏差为多少？偏差最小时的地方时为多少？北京时间为多少？
（3）假定他们的操作没有任何偏差、腕表也走时正确，除了上述偏差外，还有哪些天文要素可能致使偏差？
答案：
1 ）地方时t 时辰利用腕表鉴别方向，t/
2 刻度指向太阳（方向角为Ａ），北点的方向角为0°，所以12 点刻度与北点的夹角为：
=A- t/2 ×30°
这就是腕表辨向方法产生的偏差。

为正表示定出的北方偏东，为负表示偏西。

以下列图所示。

可见偏差最大为±12.5 °左右，大概发生在当地时间上午9.5 h（偏西）和下午14.5h（偏东）。

2）北京时间t 时辰，楼兰古城的地方时为：
t+(90 °-120 °)/15=t-2 h
楼兰时间比北京时间晚 2 小时，也就是说腕表平面得向西多转动30°，所以偏差最大为 -42.5 °左右，全天测得的北方都偏西。

偏差最大时的北京时间大概为11.5h，地方时仍为 9.5h。

最小偏差为 -17.5 °左右，地方时为 14.5h，北京时间为16.5h。

也能够和 1 ）相同进行作图求解。

此时楼兰古城所见太阳的方向角为：
tanA=tan[( t-2-12) ×15°]/sin φ=tan(15t-30 )/sin° φ
腕表辨向偏差为：=A- t/2 ×30°，作图以下，横坐标为北京时间，纵坐标为偏差。

结果与前方相同。

3 ）题干上当算出的方向角实质上是平太阳的方向角，真太阳与平太阳在同一时辰的赤经其实不相同，因此方向角也有所差别，这就是天文学上所称的“时差”。

时差最大不超出18 分钟（η=α?- α平≤18 m），它在地平圈上的投影，即为它所致使的腕表辨向的偏差。

明显这个偏差很小，最大也只有 4.5 °。

至于大气折射等效应致使的偏差，极
其细小，能够忽视不计。

5、（高年组和低年组）【分子云】
一团密度为地面大气0.5 倍，温度为1200K 的氢分子云若能形成恒星，请估量云的大小。

答案：
第一考虑分子热运动速度一定小于逃逸速度，
3KT2GM8 G R2
，
m R 3
能够推得
9 KT
R，
8 G m
代入题中所给数值，T 1200K ,0.62kg / m3获得R约为200000km。

但这样得出的半径其对应的氢云的质量约为 4 个地球质量，这类状况是不行能形成恒星的，只好形成行星。

相同假如考虑金斯不稳固性
R 1
v G
此中 v 是尺度为R 的气体球的声速。

这样获得氢云的最小半径，其质量仍不足以产生恒星。

所以正确的想法是利用最小恒星质量作为判据：
M0.08 M sun（注：大于或等于）
4 R c3a M
3
a0.5 1.23kg / m3
最后获得R c410 6 km
6、（高年组）【火星飞船】
从地球发射一艘飞船，它快速加快到与地球的日心轨道同向的最大速度，所以飞船的轨道是以太阳为焦点的抛物线，掠过地球轨道。

假定地球和火星的公转轨道为
处在同一平面的圆，地球轨道半径为1AU ，火星轨道半径为 1.5AU 。

而且假定在飞船飞翔的绝大多数时间里只考虑太阳的引力作用，在飞船与行星相遇时，只考虑行星的引力作用。

图 1 ：飞船的轨迹（未按比率）。

内圆是地球轨道，外圆是火星轨道。

（ 1）当飞船穿越火星轨道时，求飞船轨道与火星轨道的夹角ψ（图1），不用考虑火星的引力。

（ 2）假定飞船穿越火星轨道时，火星恰幸亏轨道交点邻近，关于火星上的观察者来说，在飞船明显遇到火星引力作用前，飞船的速度和方向（相关于太阳）是如何
的？
T6 解答：
（ 1）飞船的轨道为抛物线，其最大速度：
v
max 2 GM sun
r
42 . 1 km / s
（注意：是太阳质量，日地距离）
当它靠近火星轨道时速度为（活力公式）
v 2
v max 34.4km/ s 3
（注：V2 GM ( 2
),V 2GM
2
V max）
1.5r 1.5r 3 依据角动量守恒
r
mars v
l
r v
max
（注：矢量的叉乘，而地球的半径速度夹角是90 度）
此中 v 是切向速度重量，获得（注：v vsin(90 ) 2
v max）3
（注：括弧里的角度是矢径和速度的夹角。

）
v 2
v max , 3
cos 2 , 35 .26
3
（ 2）火星的圆轨道速度
v
mars GM
sun 2v 24.4km / s r
mars 3
v
rel v v
mars
（注：矢量相减- 合成）
sin 1 3
v rel
?
(v v mars )
? v sin r
?
3.67
?
19.8r
最后获得
v rel 20 .2 km / s
10 .7
注：这道题目是2010 年 IOAA 的原题，当时参加比赛的中国学生就有人是用几何方法解题的，本次选拔赛也有，是没什么难度的分析几何，只需能正确写出抛物线、椭圆的方程并想清楚交点状况，就能够获得正确解答。