人教版2024年高考数学一轮复习高考频点《第03讲 导数与函数的极值、最值知识点必背》

第03讲 导数与函数的极值、最值知识点必背
1、函数的极值
一般地,对于函数()y f x =,
(1)若在点x a =处有()0f a '=,且在点x a =附近的左侧有()0f 'x <,右侧有()0f 'x >,则称x a =为()f x 的极小值点,()f a 叫做函数()f x 的极小值.
(2)若在点x b =处有()=0f 'b ,且在点x b =附近的左侧有()0f 'x >,右侧有()0f 'x <,则称x b =为()f x 的极大值点,()f b 叫做函数()f x 的极大值.
(3)极小值点与极大值点通称极值点,极小值与极大值通称极值.
注:极大(小)值点,不是一个点,是一个数.
2、函数的最大(小)值
一般地,如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值.
设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,求()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤为:
(1)求()f x 在(,)a b 内的极值;
(2)将函数()f x 的各极值与端点处的函数值()f a ,()f b 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
3、函数的最值与极值的关系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义区间[,]a b 的整体而言;
(2)在函数的定义区间[,]a b 内,极大(小)值可能有多个(或者没有),但最大(小)值只有一个(或者没有);
(3)函数()f x 的极值点不能是区间的端点,而最值点可以是区间的端点;
(4)对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.。