人教版高中数学选修2-2课后习题参考答案之欧阳语创编

新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答
第一章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P6）
在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8）
函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”1的思想. 练习（P9）
函数()r V =(05)V ≤≤的图象为
根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.
说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）
1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而
10102020()()()()
W t W t t W t W t t t t
--∆--∆≥
-∆-∆. 所以，企业甲比企业乙治理的效率高.
说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵. 2、
(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t
∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降.
3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.
(5)(5)10s s t s t t t
∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=. 因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能21
3101502
k E =⨯⨯= J.
4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>.
由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258
k π=，于是
2
258
t πθ=
. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在3.2t =时的导数.
(3.2)(3.2)25208
t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=.
因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.
5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.
6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种. 说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）
1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.
2、
说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出
()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.
3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线
斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.
说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一.
1．2导数的计算 练习（P18）
1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.
2、（1）1
ln 2
y x '=
； （2）2x y e '=； （3）4106y x x '=-； （4）3sin 4cos y x x '=--；
（5）1sin 33x
y '=-； （6）21
y x '=-.
习题1.2 A 组（P18）
1、
()()2S S r r S r r r r r
π∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=.
2、()9.8 6.5h t t '=-+.
3、3213()34r V V
π'=.
4、（1）21
3ln 2
y x x '=+
； （2）1n x n x y nx e x e -'=+； （3）232
3sin cos cos sin x x x x x
y x
-+'=； （4）9899(1)y x '=+； （5）2x y e -'=-； （6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.
5、()82f x x '=-+. 由0()4f x '=有 04822x =-+，解得032x =
6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-.
7、1x
y π
=-
+.
8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.
（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少.
习题1.2 B 组（P19） 1、（1）
（2）当h 越来越小时，sin()sin x h x
y h
+-=
就越来越逼近函数
cos y x =.
（3）sin y x =的导数为cos y x =.
2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.
所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.
2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h. 1．3导数在研究函数中的应用 练习（P26）
1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.
当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增； 当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.
当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.
当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--. 当()0f x '>，即1
3
x <-
或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；
当()0f x '<，即1
13x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减. 2、
3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，
()0f x '>，即2b
x a >-
时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2b
x a
<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.
（2）当0a <时，
()0f x '>，即2b
x a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；
()0f x '<，即2b
x a
>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.
注：图象形状不唯一.
4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，
因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）
1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，
其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的
极小值点.
2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112
x =. 当
112x >
时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1
12
x <时，()0f x '<，()f x 单调递减.
所以，当1
12
x =时，()f x 有极小值，并且极小值为
211149()6()212121224
f =⨯--=-. （2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-.
令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：
①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x '
因此，当3x =-()f x 当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-. （3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：
①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x '
因此，当2x =-()f x 10- 当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22
（4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：
①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x '
因此，当1x =-()f x 2- 当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2 练习（P31）
（1）在[0,2]上，当1
12
x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149(
)1224
f =-. 又由于
(0)2f =-，(2)20f =.
因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是
20、最小
值是4924
-
. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且
极大值为(3)54f -=；
当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-； 又由于(4)44f -=，(4)44f =-.
因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.
（3）在1
[,3]3
-
上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.
又由于155
()327
f -=，(3)15f =.
因此，函数3()612f x x x =+-在1
[,3]3
-上的最大值是22、最小
值是5527
.
（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值.
因为(2)2f =-，(3)18f =-.
因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-.
习题1.3 A 组（P31）
1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数. （2）因为
()cos f x x x =+，(0,)2
x π
∈，所以()1sin 0f x x '=->，
(0,)2
x π
∈.
因此，函数()cos f x x x =+在(0,
)2
π
上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =--，所以
()20f x '=-<.
因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.
当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.
当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增.
当()0f x '<，即3
4
x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.
（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>.
因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或1
3
x >
时，函数32()f x x x x =+-单调递增.
当()0f x '<，即113
x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减. 3、（1）图略. （2）加速度等于0.
4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值；
（2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值； （3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值.
5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-
.
当1
12
x >-
时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112
x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.
所以，1
12
x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为
211149()6()212121224
f -=⨯---=-.
（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-.
令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：
①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x '
因此，当2x =-()f x 当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-. （3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：
①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x '
因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22； 当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-. （4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：
①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x '
因此，当4x =-()f x 128- 当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.
6、（1）在[1,1]-上，当1
12
x =-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为
4724
. 由于(1)7f -=，
(1)9f =，
所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分
别为9，
4724
. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，
并且极大值为16；
当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，
所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.
（3）在1[,1]3-
上，函数3()612f x x x =-+在1
[,1]3-上无极值. 由于1269
()327
f -=，(1)5f =-，
所以，函数3()612f x x x =-+在1
[,1]3
-上的最大值和最小值
分别为269
27
，5-.
（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128..
由于(3)117f -=-，(5)115f =，
所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-.
习题3.3 B 组（P32）
1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈
所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减
因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略
（2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈ 所以，当1
(0,
)2
x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增， 2()(0)0f x x x f =->=；
当1(,1)2
x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，
2()(1)0f x x x f =->=；
又11
()024
f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略
（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠.
因为()1x f x e '=-，0x ≠
所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增， ()1(0)0x f x e x f =-->=；
当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减， ()1(0)0x f x e x f =-->=；
综上，1x e x ->，0x ≠. 图略 （4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1
()1f x x
'=
-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1
()10f x x
'=
->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；
当1x >时，1
()10f x x
'=
-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；
当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >. . 综上，ln x x x e <<，0x >图略
2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.
（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++. 下面分类讨论：
当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a >，且230b ac ->时，
设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <， 当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；
当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数
32()f x ax bx cx d =+++单调递减.
当0a >，且230b ac -≤时，
此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，
设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <， 当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；
当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减. 当0a <，且230b ac -≤时，
此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组（P37）
1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边
长分别为
4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221
()()()(22)4416
x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.
令()0f x '=，即420x l -=，2
l
x =.
当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2l
x l ∈时，()0f x '>.
因此，2
l
x =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.
所以，当两段铁丝的长度分别是2
l
时，两个正方形的面积
和最小.
2、如图所示，由于在边长为a
四个边长为x 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为 （1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02
a
x <<. （2）因为322()44V x x ax a x =-+， 所以22()128V x x ax a '=-+.
令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6
a
x =.
当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62
a a
x ∈时，()0V x '<.
（第2
题）
因此，6
a x =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.
所以，当6
a x =时，无盖方盒的容积最大.
3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222S Rh R ππ=+
由2V R h π=，得2
V h R π=
. 因此，2222()222V V
S R R R R R R
ππππ=+=+，0R >.
令2()40V S R R R π'=-+=
，解得R =.
当R ∈时，()0S R '<；
当)R ∈+∞时，()0S R '>.
因此，R =是函数()S R 的极小值点，也是最小值点. 此
时，22V h R R
π===.
所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.
4、证明：由于2
11()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.
令()0f x '=，得11n
i i x a n ==∑，
可以得到，1
1n
i i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小
值点.
这个结果说明，用n 个数据的平均值1
1n
i
i a n =∑表示这个物
体的长度是合理的，
这就是最小二乘法的基本原理.
5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2
x m ，半圆的面积为
2
8
x π2m ，
矩形的面积为2
8x a π-
2m ，矩形的另一边长为()8
a x
x π-m 因此铁丝的长为22()(1)244x a x a
l x x x x x πππ=++-=++
，0x <<
（第3题）
令22()104
a l x x π
'=+-
=，得x =.
当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.
因此，x =是函数()l x 的极小值点，也是最小值点.
时，所用材料最省.
6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.
收入211
(25)2588R q p q q q q =⋅=-
=-， 利润2211
(25)(1004)2110088
L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.
求导得1
214L q '=-+
令0L '=，即1
2104
q -+=，84q =.
当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；
因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点. 所以，产量为84时，利润L 最大, 习题1.4 B 组（P37）
1、设每个房间每天的定价为x 元， 那么宾馆利润
21801
()(50)(20)7013601010
x L x x x x -=-
-=-+-，
180680x <<.
令1
()7005
L x x '=-+=，解得350x =.
当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>.
因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.
所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，
利润4()()(4)()(5)b x L x x a c c
c x a x b b
-=-+⨯=--，54b
a x <<.
令845()0c ac bc L x x b b
+'=-+=，解得458a b
x +=.
当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84
a b b
x +∈时，()0L x '<.
当458
a b x +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.
所以，销售价为458
a b +元／件时，可获得最大利润.
1．5定积分的概念 练习（P42）
83
. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想. 练习（P45）
1、22112
(
)[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n '∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n =.
于是 111
()n n n
i i i i i i
s s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑
取极值，得
说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想. 2、
22
3
km. 说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48） 2
304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.
从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =. 习题1.5 A 组（P50）
1、（1）100
2
11
11
(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+
-⨯=∑⎰； （2）500211
11
(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯
=∑⎰； （3）1000211
11
(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+
-⨯=∑⎰. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值
的方法.
2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）；
距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.
3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ= 作和式 1
1
()n
n
i i i b a
f x b a n
ξ==-∆==-∑∑
， 从而 1
1lim n
b
a n i
b a
dx b a n
→∞
=-==-∑⎰， 说明：进一步熟悉定积分的概念.
4
、根据定积分的几何意义，0
⎰表示由直线0x =，
1x =，0y =
以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积，即
四分之一单位圆的面积，因此4
π
=
⎰.
5、（1）0
3114
x dx -=-⎰.
由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分0
31x dx -⎰表示由直线
0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的
相反数.
（2）根据定积分的性质，得101
33311011044
x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰. 由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分1
3
1x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积. （3）根
据定积分的性质，得
2
2
3
3
3
110
115444
x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰ 由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分
2
31
x dx -⎰
等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的
曲边梯形面积.
说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx -⎰化为02
3310x dx x dx -+⎰⎰，这样，3
x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出031x dx -⎰，230x dx ⎰，进而得到定积分2
31x dx -⎰的值. 由此可见，利用
定积分的性质可以化简运算.
在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义. 习题1.5 B 组（P50）
1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.
说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.
（2）过剩近似值：8
1
11899.819.8188.292242i i =⨯⨯
⨯=⨯⨯=∑（m ）； 不足近似值：8
1
11187
9.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯
=∑（m ） （3）409.81tdt ⎰； 4
09.81d 78.48t t =⎰（m ）.
3、（1）分割
在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：
[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n l l n -， 记第i 个区间为(1)[,]i l il
n n
-（1,2,i n =），其长度为 (1)il i l l x n n n
-∆=-=.
把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[
,]n l
l n
-上质量分别记作：
12,,
,n m m m ∆∆∆，
则细棒的质量1
n
i i m m ==∆∑.
（2）近似代替
当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l il
n n
-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨
认为它近似地等于任意一点(1)[,]i i l il
n n
ξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l il n n -上质量 2
()i i i l m x n
ρξξ∆≈∆=（1,2,
i n =）.
（3）求和
得细棒的质量 21
1
1
()n
n
n
i i i i i i l m m x n
ρξξ====∆≈∆=∑∑∑.
（4）取极限
细棒的质量 21lim n
i n i l m n
ξ→∞
==∑，所以20l
m x dx =⎰.. 1．6微积分基本定理 练习（P55）
（1）50； （2）503； （3
）
5
33
-； （4）24； （5）3
ln 22
-； （6）12； （7）0； （8）2-.
说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.
习题1.6 A 组（P55）
1、（1）
403； （2）13ln 22--； （3）9
ln 3ln 22
+-； （4）17
6
-； （5）2318π+； （6）22ln 2e e --. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.
2、3300sin [cos ]2xdx x π
π
=-=⎰. 它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和.
习题1.6 B 组（P55） 1、（1）原式＝
221011
[]22
2
x e e =-； （2）原式＝
46
11[sin 2]224x π
π=-；
（3）原式＝3126
[]ln 2ln 2x =.
2、（1）cos 1
sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m m
ππππππ--=-=---=⎰； （2）sin 1
cos [sin sin()]0mx mxdx m m m m
ππππππ--=|=--=⎰；
（3）21cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx m
πππ
πππ
π----==-=⎰⎰； （4）21cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx m
πππ
ππππ---+==+=⎰⎰.
3
、（1）
0.202220()(1)[]49245245t
kt kt t kt t g g g g g g
s t e dt t e t e t e k k k k k k ----=-=+=+-=+-⎰
. （2）由题意得 0.2492452455000t t e -+-=.
这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值范围.
根据指数函数的性质，当0t >时，0.201t e -<<，从而 5000495245t <<， 因此，
50005245
4949
t <<
. 因此50000.27
49
245 3.3610e
-⨯
-≈⨯，5245
0.2749
245 1.2410e -⨯
-≈⨯， 所以，70.271.2410245 3.3610t e ---⨯<<⨯.
从而，在解方程0.2492452455000t t e -+-=时，0.2245t e -可以忽略不计.
因此，.492455000t -≈，解之得 5245
49
t ≈
（s ）. 说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握. 1．7定积分的简单应用 练习（P58） （1）
32
3
； （2）1. 说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程.
练习（P59）
1、5
2533(23)[3]22s t dt t t =+=+=⎰（m ）.
2、4
24
003(34)[
4]402
W x dx x x =+=+=⎰（J ）. 习题1.7 A 组（P60）
1、（1）2； （2）9
2
.
2、2[]b b a
a q q q q
W k dr k k k r r a b
==-=-⎰. 3、令()0v t =，即40100t -=. 解得4t =. 即第
4s 时物体达到最大
高度.
最大高度为 4
24
00(4010)[405]80h t dt t t =-=-=⎰（m ）. 4、设t s 后两物体相遇，则 2
00
(31)105t
t
t
dt tdt +=+⎰⎰，
解之得5t =. 即,A B 两物体5s 后相遇.
此时，物体A 离出发地的距离为 5
23500(31)[]130t dt t t +=+=⎰（m ）.
5、由F kl =，得100.01k =. 解之得1000k =.
所做的功为 0.1
20.10010005005W ldl l ==|=⎰（J ）. 6、（1）令55
()501v t t t
=-+=+，解之得10t =. 因此，火车经过
10s 后完全停止. （2）10
21000
551
(5)[555ln(1)]55ln1112
s t dt t t t t =-+
=-++=+⎰（m ）. 习题1.7 B
组（P60） 1、（1）22a
a
a x dx --⎰表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上
半圆的面积，因此2
22
2
a
a a a x dx π--=
⎰
（2）1
20[
1(1)]x x dx ---⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线
y x =所围成的图形（如图所示）的面积，
因此，212
0111[1(1)]114242
x x dx ππ⨯---=-⨯⨯=-⎰. 2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的 方程为
2
y ax =，则2(
)2b h a =⨯，所以24h a b =.
从而抛物线的方程为 224h
y x b
=.
于是，抛物线拱的面积23220204422()2[]b b
h h S h x dx hx x bh b =-=-=⎰.
3、如图所示.解方程组22
3y x y x ⎧=+⎨=⎩
得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =，22x =. 于是，所求的面积为1
2
2
201
[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=⎰⎰.
4、证明：2[]()
R h
R h R R
Mm Mm Mmh W G
dr G G r r R R h ++==-=+⎰. 第一章 复习参考题A 组（P65）
1、（1）3； （2）4y =-.
2、（1）2
2sin cos 2cos x x x
y x +'=
； （2）23(2)(31)(53)y x x x '=-+-； （3）22ln ln 2x x
y x x '=+； （4）24
22(21)
x x y x -'=+. y x
O
1
（第1（2）
题）
y
x h
b O
（第2题）
3、3
2GMm F r
'=-. 4、（1）
()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.
（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／
min 的速度下降. 图略.
5、因为
()f x =()f x
'=.
当()0f x '=>，即0x >时，(
)f x 单调递增； 当
()0f x '=<，即0x <时，()f x 单调递减.
6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+. 当()20f x x p '=+=，即12
p
x =-=时，()f x 有最小值. 由12
p
-
=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =. 7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+，
所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--. 当
()0f x '=，即3
c
x =
，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极
值.
由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >. 由于
所以，当3
c x =时，函数
2
()()f x x x c =-有极大值. 此时，
23
c
=，6c =.
8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，AOB ∆的面积最小. 因为直线AB 过点(,0)A a ，(1,1)P ，
所以直线AB 的方程为
001y x a x a --=--，即1
()1y x a a
=--. 当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,
)1
a
a -. 因此，AOB ∆的面积2
1()212(1)
AOB a a S S a a a a ∆===--.
令()0S a '=，即22
12()02(1)a a
S a a -'=⋅=-.
当0a =，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去.
由于
所以，当2a =，即直线AB 的倾斜角为135︒时，AOB ∆的面积最小，最小面积为2.
9、D .
10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m.
所以，长方体容器的高为
14.844(0.5)12.88 3.2244
x x x x --+-==-. 设容器的容积为V ，则
32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++，0 1.6x <<. 令()0V x '=，即26 4.4 1.60x x -++=.
所以，415
x =-
（舍去），或1x =. 当(0,1)x ∈时，()0V x '>；当(1,1.6)x ∈时，()0V x '<. 因此，1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3.
11、设旅游团人数为100x +时，
旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤.
令()0f x '=，即105000x -+=，50x =.
又(0)100000f =，(80)108000f =，(50)112500f =.
所以，50x =是函数()f x 的最大值点.
所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多.
12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大. 因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为
623.7x ，
打印面积623.7()(2 2.54)(
2 3.17)S x x x =-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x =--，5.0898.38x <<. 令()0S x '=，即23168.3966.340x -=，22.36x ≈（负值舍去），
623.727.8922.36
≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.
所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大.
13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元.
则 21()20000100300200002
y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈. 令0y '=，即3000q -+=，300q =.
当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.
300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.
所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.
14、（1）
2； （2）22e -； （3）1；
（4）原式＝
22222000cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x x dx x x dx x x x x π
ππ-=-=+=+⎰⎰；
（5）原式＝22001cos sin 2[]224x x x dx πππ---==⎰. 15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.
16、
2.
17、由F kl =，得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =.
所做的功为 2
0.3
0.30.10.14.9 4.90.1962l W ldl ==⨯|=⎰（J ） 第一章 复习参考题B 组（P66）
1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.
（2）当05t ≤<时，()0b t '>，所以细菌在增加；
当
55t <<+时，()0b t '<，所以细菌在减少.
2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S . 因为21
2S r α=，2l r r α-=，所以2l r
α=-. 222111(2)(2)222
l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.
令0S '=，即40l r -=，4
l r =，此时α为2弧度. 4l r =
是函数()S r 在(0,)2
l 内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.
所以，扇形的半径为4
l 、中心角为2弧度时，扇形的面积最大. 3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222r h R +=.
因此，222231111
()33
33
V r h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.
令22103
V R h ππ'=-=，解得h R =.
容易知道，h =是函数()V h 的极大值点，也是最大值点.。