湘教版九年级数学上册选择合适的方法解一元二次方程同步练习题

2.2一元二次方程的解法
2.2.3 因式分解法
第2课时选择适合的方法解一元二次方程直接开平方法
1．如果(x－2)2=9，则x＝．
2．方程(2y－1)2－4=0的根是．
3．方程(x+m)2＝72有解的条件是．
4．方程3(4x－1)2=48的解是．
配方法
5．化下列各式为(x+m)2+n的形式．
(1)x2－2x－3=0 ．
(2)210
x=．
6．下列各式是完全平方式的是( )
A．x2+7n=7
B．n2－4n－4
C．211 216
x x
++
D．y2－2y+2
7．用配方法解方程时，下面配方错误的是( )
A ．x 2+2x －99=0化为(x +1)2
=0 B ．t 2－7t －4=0化为2765()24
t -= C ．x 2+8x +9=0化为(x +4)2=25
D ．3x 2－4x －2=0化为2210()39
x -= 8．配方法解方程．
(1)x 2+4x =－3 (2)2x 2+x=0
因式分解法
9．方程(x +1)2=x +1的正确解法是( )
A ．化为x +1=0
B ．x +1＝1
C ．化为(x +1)(x +l －1)＝0
D ．化为x 2+3x +2＝0
10．方程9(x +1)2－4(x －1)2=0正确解法是( )
A ．直接开方得3(x +1)=2(x －1)
B ．化为一般形式13x 2+5＝0
C ．分解因式得[3(x +1)+2(x －1)][3(x +1)－2(x —1)]=0
D ．直接得x +1＝0或x －l ＝0
11．(1)方程x (x +2)=2(z +2)的根是 ．
(2)方程x 2－2x －3=0的根是 ．
12．如果a 2－5ab －14b 2=0，则
235a b b
+= ． 公式法
13．一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的求根公式是 ，其中b 2—4ac ．
14．方程(2x +1)(x +2)=6化为一般形式是 ，b 2—4ac ，用求根公式求得x 1= ，x 2= ，x 1+x 2= ，12x x = ，
15．用公式法解下列方程．
(1)(x +1)(x +3)＝6x +4．
(2)21)0x x ++=．
(3) x 2－(2m +1)x +m ＝0．
16．已知x 2－7xy +12y 2＝0(y ≠0)求x ：y 的值．
综合题
17．三角形两边的长是3，8，第三边是方程x 2—17x +66＝0的根，求此三角形的周长．
18．关于x 的二次三项式：x 2+2rnx +4－m 2是一个完全平方式，求m 的值．
19．利用配方求2x 2－x +2的最小值．
20．x 2+ax +6分解因式的结果是(x －1)(x +2)，则方程x 2+ax +b ＝0的二根分别是什么?
21．a 是方程x 2
－3x +1=0的根，试求的值．
22．m 是非负整数，方程m 2x 2－(3m 2—8m)x+2m 2－13m+15=0至少有一个整数根，求m
的值．
23．利用配方法证明代数式－10x 2+7x －4的值恒小于0．由上述结论，你能否写出三个二次三项式，其值恒大于0，且二次项系数分别是l 、2、3．
24．解方程
(1)(x 2+x)·(x 2+x －2)=24； (2)260x x --=
25．方程x 2－6x －k ＝1与x 2－kx －7=0有相同的根，求k 值及相同的根．
26．张先生将进价为40元的商品以50元出售时，能卖500个，若每涨价1元，就少卖10个，为了赚8 000元利润，售价应为多少?这时，应进货多少?
27．两个不同的一元二次方程x 2+ax +b =0与x 2+ax +a =0只有一个公共根，则( )
A ．a =b
B ．a －b =l
C ．a +b =－1
D ．非上述答案
28．在一个50米长30米宽的矩形荒地上设计改造为花园，使花园面积恰
为原荒地面积的寺，试给出你的设计．
29．海洲市出租车收费标准如下
(规定：四舍五入，精确到元，N ≤15)N 是走步价，李先生乘坐出租车打出的电子收费单是：里程11公里，应收29．1元，你能依据以上信息，推算出起步价N 的值吗?
30．(2004·浙江)方程(x －1)(x +2)(x －3)＝0的根是 ．
31．(2004·河南)一元二次方程x 2—2x ＝0的解是( )
A ．0
B ．2
C ．0，－2
D ．0，2
32．(2004·南京)方程x 2+kx —6=0的一根是2，试求另一个根及k 的值．
33．(2003·甘肃)方程(2)310m m x mx +++=是一元二次方程，则这方程的根
是什么?
34．(2003·深圳)x 1、x 2是方程2x 2—3x —6=0的二根，求过A(x 1+x 2，0)B(0，
x l ·x 2)两点的直线解析式．
35．a 、b 、c
都是实数，满足2(2)80a c c -++=，ax 2+bx +c ＝0，求代数式x 2+2x +1的值．
36．a 、b 、c
满足方程组求方程2848a b ab c +=⎧⎪⎨=+-⎪⎩的解。

37．三个8相加得24，你能用另外三个相同的数字也得同样结果吗?能用8个相同的数字得到1 000吗?能用3个相同的数字得到30吗?
参考答案：
1．x 1＝5，x 2＝—l
2．1231,22
y y ==- 3．n ≥0 4．1253,44
x x ==- 5．(1)(x —1)2—
4(2)2
122x ⎛++ ⎝⎭ 6．C 7．C
8．(1)方程化为(x +2)2＝l ，∴x 1=—l ，x 2＝—3．
(2)方程化为2102x x +=配方得2
11416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴1210,2x x ==- 9．C 10．C
11．(1)x 1＝2，x 2＝—2．
(2)x 1＝3，x 2＝—1．
12．∵a 2—5ab —14b 2＝0，
∴(a —7b )(a +2b )＝0，
∴ a ＝76或a ＝—26． ∴23172315555
a b a b b b ++==-或
13．0x =≥
14．2x 2+5x —4=0，57，1x =,2x =,1252
x x +=-,x 1x 2=—2．
15．(1)1211x x ==．
(2)1213x x ==-
(3)1212m x +-= ，2212
m x ++= 16．∵x 2—7xy +12y 2＝0，
∴(x —3y )(x —4y )＝0，
∴ x ＝3y 或x ＝4y ，
∴x ：y ＝3或x ：y ＝4．,
17．由x 2—17x+66＝0得x 1＝11，x 2＝6．但x ＝11不合题意，故取x ＝6． ∴三角形周长是17．
18．∵x 2+2mx +4—m 2是完全平方式，∴4m 2—4(4—m 2)＝0．解之，
m m ==
19．2
22111522222248x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2x 2—x +2的最小值是
158。

20．x 1＝l ，x 2＝—2 21．由题意得a 2—3a +l ＝0，
∴a 2—3a ＝—l ，a 2+l ＝30．
∴原式=2222(3)5161(3)311333a a a a a a a a a a a a a
-+-+-+--+===-． 22．原方程可变为[mx —(2m —3)][mx — (m —5)]＝0，
∴12352,1x x m m
=-=-若x 1为整数，则3m 为整数， ∴m ＝l 或m ＝3．若x 2为整数，则
5m 为整数． ∴m ＝l 或m ＝5．因而m 的值是l 或3或5．
23． 2
271111074102040x x x ⎛⎫-+-=--- ⎪⎝
⎭． ∴271110,02040x ⎛⎫--≤-< ⎪⎝
⎭． ∴271111002040x ⎛⎫---< ⎪⎝
⎭ ∴原式＜0．
举例略．
24．(1)(x + x )( x 2+ x —2)＝24，整理得 (x 2+ x )2—2(x 2 + x )—24＝0，
∴(x 2+ x —6)( x 2
+ x +4)．
∴x 2+ x —6＝0．x 2+ x +4＝0由x 2+ x —6＝0得x 1＝—3，x 2＝2．方程x 2+ x +4＝0无解．
∴原方程的根是x ＝—3或x ＝2． (2)260x x --=，即60x x --=，解得x ＝3或x ＝2(舍去)， x 1＝3，x 2＝—3．∴原方程的根是x ＝3或x ＝—3．
25．(1)设方程只有一个根相同，设相同的根是m ．
∴有m —6m —k —1＝0，①
m 2—mk —7＝0，②
①—②得(k —6) m ＝k —6，k ≠6时，∴m ＝1将，m ＝l 代人①得k ＝—6．
(2)设方程有两个相同的根，则有—k ＝—6且—k —l ＝—7．∴k ＝6．
∴k ＝—6时，方程有一个相同的根是x ＝1；k ＝6时，方程有两个相同的根是x 1＝7，x 2＝—1．
26．设涨价x 元，则售价定为(50+x )元．依题意列方程得(500—10x )[(50+x )—40]＝8 000．解之，x 1＝30，x 2＝10．x ＝30时，50+x ＝80，售量为500—300＝200．x ＝10时50+x ＝60，售量为500—100＝400．因而，售价定为80元时，进货200个，售价定为60元时，进货400个．
27．D
28．可给出如图所示的设计，求出x 即可．由题意，可列出方程
5030(503)(302)2x x ⨯--=．化简得3x 2—95x +375＝0，解之x 1＝4.62，x 2＝27.04．经检验x ＝27.04不合题意，舍去，故取x ＝4.62．
28题图
29．由题意，可列出方程2225(63)
(116)29.1N N N +-+-=． 解之，N 2—29.1N+191＝0．
∴N 1＝10，N 2＝19.1(不合题意舍去)
∴起步价是10元． 30．x 1＝l ，x 2＝—2，x 3＝3
31．D
32．k ＝l ，另根—3．
33．先确定m ＝2，∴方程是4x 2+6x +l=0．12353544x x -+--=
= 34．通过解方程可知A(32
，0)，B(0，—3)，∴过AB 的直线是y ＝2x —3． 35．由题意得2—a ＝0，a 2+b +c ＝0，c +8＝0，
∴a ＝2，b ＝4，c ＝—8．
∴x 满足2x 2+4x —8＝0，即x 2+2x —4＝0．
∴x 2
+2x +l ＝4+1＝5．
36．a 、b 是方程＝0的根．
∴222(8)4(48)4(0c c =---+=--≥．∴c = ∴8,16.
a b a b +=⎧⎨=⎩∴a ＝b ＝4．
∴原方程为2440x +-=．方程的根是12,22x x =
=
考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合
◆类型一 一元二次方程与三角形、四边形的综合
1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2
－4x ＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（ ）
A ．5
B ．7
C ．5或7
D ．10
2．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A ．12
B ．9
C ．13
D ．12或9
3．(罗田县期中)菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程x 2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD 的周长为（ ）
A ．16
B ．12
C ．16或12
D ．24
4．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二
次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）
A．9 B．10
C．9或10 D．8或10
5．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．
6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】
7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】
◆类型二一元二次方程与函数的综合
8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）
9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m
＋1)x ＋m －1的图象不经过（ ）
A ．第四象限
B ．第三象限
C ．第二象限
D ．第一象限
10．(葫芦岛中考)已知k 、b 是一元二次方程(2x ＋1)(3x －1)＝0的两个根，且k ＞b ，则函数y ＝kx ＋b 的图象不经过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m 2)x 和关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋mx ＋1＝0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是 ．
12．(甘孜州中考)若函数y ＝－kx ＋2k ＋2与y ＝k x
(k ≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． .
◆类型三 一元二次方程与二次根式的综合
13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ）
A ．m ＞52
B ．m ≤52
且m ≠2 C ．m ≥3 D ．m ≤3且m ≠2
14．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．
考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合
1．B 2.A 3.A 4.B 5.8
6．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.
7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴
Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2
＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的
两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 2
1＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝
25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2
－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.
8．B
9．D 解析：∵一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m ＜0，∴m ＜－1，∴m ＋1＜1－1，即m ＋1＜0，m －1＜－1－1，即m －1＜－2，∴一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第一象限．故选D.
10．B 11.－2 12.k>－12
且k ≠0 13．B 14.k ≥1。