原创高三导数压轴题题型归纳

导数压
轴
题
题
型
归
纳
1. 高考命题回顾
例1已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）
(1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性；
(2)当m≤2时，证明f(x)>0. 例2已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b ，g(x)
＝e x (cx ＋d)，若曲线y ＝f(x)和曲线y ＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x+2（2013全国新课标Ⅰ卷） （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值 （Ⅱ）若
x ≥－2
时,
()()f x kg x ≤，求k 的取值范围。

例3已知函数)(x f 满足
2
12
1)0()1(')(x x f e f x f x +
-=-（2012全国新课标）
(1)求)(x f 的解析式及单调区间；
(2)若b ax x x f ++≥22
1)(，求
b a )1(+的最大值。

例4已知函数
ln ()1a x b
f x x x
=
++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。

（2011全国新课标）
（Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，
ln ()1x k
f x x x
>
+-，求k 的取值范围。

例5设函数2()1x f x e x ax =---（2010全国新课标）
(1)若0a =，求()f x 的单调区间； (2)若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围
例6已知函数f(x)＝(x 3
+3x 2
+ax+b)e －x
. （2009宁夏、海南）
(1)若a ＝b ＝－3,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β－α＞6.
2. 在解题中常用的有关结论※
(1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，且切线方程为
000()()()y f x x x f x '=-+。

(2)若可导函数()y f x =在 0x x =
处取
3. 题型归纳 ①
例7（构造函数，最值定位）设函数
()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ).
(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
时,求函数
()f x 在[]0,k 上的最大值M .
例8（分类讨论，区间划分）已知函
数
3211
()(0)32f x x ax x b a =+++≥,
'()f x 为函数()f x 的导函数.
(1)设函数f(x)的图象与x 轴交点为A,曲线y=f(x)在A 点处的切线方程是33y x =-,求,a b 的值;
(2)若函数()'()ax
g x e f x -=⋅,求函
数()g x 的单调区间.
例9（切线）设函数a x x f -=2
)(.
（1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值；
（2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点
)
))((,(111a x x f x P >处的切线
为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21.
例10（极值比较）已知函数
22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中
a ∈R
⑴当0a =时，求曲线
()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率；
⑵当
2
3a ≠
时，求函数()f x 的单调
区间与极值.
例11（零点存在性定理应用）已知函数()ln ,().x f x x g x e ==
⑴若函数φ (x ) = f (x )－1
1
x x +-，求函数φ (x )的单调区间；
⑵设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线
y =g (x )相切．
例12（最值问题，两边分求）已知函数
1()ln 1a
f x x ax x
-=-+
-()a ∈R . ⑴当1
2
a ≤
时，讨论()f x 的单调性； ⑵设2()2 4.g x x bx =-+当1
4
a =时，
若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.
例13（二阶导转换）已知函数x x f ln )(=
⑴若
)()()(R a x a
x f x F ∈+=
，求
)(x F 的极大值；
⑵若
kx x f x G -=2
)]([)(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数
k 的取值范围.
例14（综合技巧）设函数
1
()ln ().
f x x a x a R x =--∈
⑴讨论函数()f x 的单调性； ⑵若()f x 有两个极值点12,x x ，记过点11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k ,问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.
②
例15（切线交点）已知函数
()()
323,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()1,1f 处的切线方程为
20y +=．
⑴求函数()f x 的解析式； ⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，求实数c 的最小值；
⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．
例16（根的个数）已知函数x x f =)(，函数x x f x g sin )()(+=λ是区间[-1，1]上的减函数.
（I ）求λ的最大值； （
II
）
若
]1,1[1)(2-∈++<x t t x g 在λ上恒成立，
求t 的取值范围；
（Ⅲ）讨论关于x 的方程
m ex x x f x
+-=2)(ln 2的根的个数．
例17（综合应用）已知函数
.23)32ln()(2
x x x f -
+=
⑴求f (x )在[0,1]上的极值； ⑵
若
对
任
意
]3)(ln[|ln |],3
1
,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取值范围；
⑶若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围.
③
例18(变形构造法)已知函数
1)(+=
x a
x ϕ，a 为正常数．
⑴若)(ln )(x x x f ϕ+=，且a 29=，
求函数)(x f 的单调增区间；
⑵在⑴中当0=a 时，函数)(x f y =的图象上任意不同的两点
()11,y x A ，()22,y x B ，线段AB 的
中点为),(00y x C ，记直线AB 的斜率为k ，试证明：)(0x f k '>． ⑶若)(ln )(x x x g ϕ+=，且对任意的
(]2,0,21∈x x ，21x x ≠，都有
1
)
()(1
212-<--x x x g x g ，求a 的取值范
围．
例19(高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数)0)(ln()(2
>=a ax x x f .
（1）若2
)('x x f ≤对任意的0>x 恒
成立，求实数a 的取值范围；
（2）当1=a 时，设函数
x x f x g )()(=
，若1
),1,1
(,2121<+∈x x e x x ，
求证4
2121)(x x x x +<
例20（绝对值处理）已知函数
c bx ax x x f +++=23)(的图象经过
坐标原点，且在1=x 处取得极大
值．
（I ）求实数a 的取值范围；
（II ）若方程9
)32()(2+-=a x f 恰
好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；
（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：
81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．
例21（等价变形）已知函数
x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．
（Ⅰ）讨论函数)(x f 在定义域内
的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，
求实数b 的取值范围；
（Ⅲ）当20e y x <<<且e x ≠时，
试比较x
y
x y
ln 1ln 1--与
的大小． 例22（前后问联系法证明不等式）已知
217
()ln ,()(0)22
f x x
g x x mx m ==
++<，直线l 与函数
(),()f x g x 的图像都相
切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1。

（I ）求直线l 的方程及m 的值； （
II
）
若
()(1)'()()
h x f x g x =+-其中g'(x)是g(x)的导函数，求函数()h x 的最大值。

（III ）当0b a <<时，求证：
()(2).2b a
f a b f a a -+-<
例23(整体把握，贯穿全题)已知函数
ln ()1x
f x x
=
-． （1）试判断函数()f x 的单调性；
（2）设0m >，求()f x 在[,2]m m 上
的最大值；
（3）试证明：对任意*n ∈N ，不等式11ln()e n n n
n
++<都成立（其中e 是自
然对数的底数）．
例24(化简为繁，统一变量)设a R ∈,函数()ln f x x ax =-.
（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在
()
1,2P -处的切线方程；
（Ⅱ）若()f x 无零点,求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）若()f x 有两个相异零点
12
,x x ,求证:
2
12x x e ⋅>.
例25（导数与常见不等式综合）已知函数
2
11()()1(1)t f x t x x x =
--++，其中为正常数．
（Ⅰ）求函数()t f x 在(0,)+∞上的最大值；
（Ⅱ）设数列{}n a 满足：15
3
a =，
132n n a a +=+，
（1）求数列{}n a 的通项公
式n a ； （2）证明：对任意的0x >，
231
()(*)n
n
f x n N a ≥∈； （Ⅲ）证明：
2
121111
n n a a a n ++⋅⋅⋅+>
+． 例26（利用前几问结论证明立体不等式）已知函数
f(x)=e x
-ax(e 为自然对数
的底数).
(I )求函数f(x)的单调区间； (II)如果对任意],2[+∞∈x ，都有不等式
f(x)> x + x 2成立，求实数a 的取值范围；
(III)设
*N n ∈,证明：
n n )1(+n n )2(+n n )3(+…+n
n n )(<1-e e
例27已知函数
()21
(0)2
f x ax x c a =++≠.若函数()
f x 满足下列条件:
①()10f -=;②对一切实数x ,不等式()21122
f x x ≤+恒成立.
(Ⅰ)求函数()f x 的表达式;
(Ⅱ)若21f t at ≤-+2（
x ）对[]1,1x ∀∈-,[]1,1a ∀∈-恒成立,求实数t 的取值范围;
(Ⅲ)求证
:
()()()*1112()122
n n N f f f n n ++⋅⋅⋅+>∈+.
例28（数学归纳法）已知函数
()ln(1)f x x mx =++，当0x =时，函数()f x 取得极大值.
（１）求实数m 的值； （２）已知结论：若函数
()ln(1)f x x mx =++在区间(,)a b 内导数都存在，且
1a >-，则存在0(,)x a b ∈，
使得0()()
()f b f a f x b a
-'=-.
试用这个结论证明：若
12
1x x -<<，函数
121112
()()
()()()
f x f x
g x x x f x x x -=
-+-，则对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >；
（３）已知正数12,,,n λλλL ，满足
121n λλλ+++=L ，求证：
当2n ≥，n N ∈时，对任意大于1-，且互不相等的实
数12,,,n x x x L ，都有
1122()n n f x x x λλλ+++>
L 1122()()()
n n f x f x f x λλλ+++L .
④
例29（传统讨论参数取值范围）已知函数
()(2)(1)2ln f x a x x =---，
1()x g x xe -=(,a R e ∈为自然对数的底
数)
（1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）对任意的1
(0,),()02
x f x ∈>恒成立，求a 的最小值； （3）若对任意给定的
(](]00,,0,(1,2)
i x e e x i ∈=在上总存在两个不同的，
使得0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围。

例30已知函数.|
|1)(x a x f -
= （1）求证：函数),0()(+∞=在x f y 上是增
函数.
（2）若),1(2)(+∞<在x x f 上恒成立，求实数a 的取值范围.
（3）若函数],[)(n m x f y 在=上的值域是
)](,[n m n m ≠，求实数a 的取值范围.
例31已知函数
3
2()ln(21)2()3
x f x ax x ax a R =++--∈.
(1)若2x =为()f x 的极值点,求实数a 的值;
(2)若()y f x =在[)3,+∞上为增函数,求实数a 的取值范围;
(3)当
1
2
a =-
时,方程
()3
1(1)3
x b f x x
--=
+有实根,求实数b 的
最大值.
例32（分离变量）已知函数
x a x x f ln )(2+=(a 为实常数).
(1)若2-=a ，求证：函数)(x f 在(1,+∞)上是增函数；
(2)求函数)(x f 在[1,e ]上的最小值及相应的x 值；
(3)若存在],1[e x ∈，使得
x a x f )2()(+≤成立，求实数a 的取值
范围.
例33（多变量问题，分离变量）已知
函数32()(63)x
f x x x x t e =-++，t R ∈.
（１）若函数()y f x =依次在
,,()x a x b x c a b c ===<<处取到极值．
①求t 的取值范围；②若
22a c b +=，求t 的值．
（２）若存在实数
[]
0,2t ∈，使对
任意的
[]
1,x m ∈，不等式
()f x x ≤恒成立．求正整数m
的最大值．
例34（分离变量综合应用）设函数
2()ln f x a x bx =-.
⑴若函数()f x 在1x =处与直线1
2
y =-
相切：
①求实数,a b 的值；②求函数()f x 在
1
[,]e e
上的最大值； ⑵当0b =时，若不等式()f x ≥m x +对所有的23
[0,
],[1,]2
a x e ∈∈都成立，求实数m 的取值范围. 例35（先猜后证技巧）已知函数
x
x n x f )
1(11)(++=
（Ⅰ）求函数f (x )的定义域
（Ⅱ）确定函数f (x )在定义域上的单调
性，并证明你的结论.
（Ⅲ）若x >0时1
)(+>
x k
x f 恒成立，求正整数k 的最大值.
例36（创新题型）设函数f(x)=e x
+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x).
(Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点,求a 的值；
(Ⅱ)当 a=1时,设P(x 1,f(x 1)), Q(x 2,
g(x
2
))(x 1>0,x 2>0), 且
PQ )(x f )(1ln R a x ax ∈+-x xe x g -=1)((Ⅰ)求函数)(x g 在区间],0(e 上的值域；
（Ⅱ）是否存在实数a ，对任意给
定的],0(0e x ∈，在区间
],1[e 上都存在两个不同的 )
2,1(=i x i ，使得
)()(0x g x f i =成立.若存
在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）给出如下定义：对于函数
)(F x y =图象上任意不同
的两点),(),,(2211y x B y x A ，如果对于函数)(F x y =图
象上的点),(00y x M （其中
)2
2
10x x x +=
总能使得)
)((F )(F )(F 21021x x x x x -'=-成立，则称函数具备性质“L ”，试判断函数)(x f 是不是具备性质“L ”，并说明理由.
例38(图像分析，综合应用) 已知函
数
)
1,0(12)(2<≠++-=b a b ax ax x g ，在区间[]3,2上有最大值4，最
小值1，设
()
()g x f x x =
．
（Ⅰ）求b a ,的值；
（Ⅱ）不等式
02)2(≥⋅-x x k f 在]1,1[-∈x 上恒成立，求实数k 的范围；
（
Ⅲ
）
方
程
0)3|12|2
(
|)12(|=--+-x
x k f 有三个
不同的实数解，求实数k 的范围．
⑤导数与数列
例39（创新型问题）设函数
2()()()x f x x a x b e =-+，a b R ∈、，
x a =是()f x 的一个极大值点．
⑴若0a =，求b 的取值范围；
⑵当a 是给定的实常数，设123x x x ，，是
()f x 的3个极值点，问是否存在实数b ，
可找到4x R ∈，使得1234x x x x ，，，的某种排列1234,,,i i i i x x x x （其中
{}1234i i i i ，，，={}1234，
，，）依次成等差数列?若存在，求所有的b 及相应的4x ；若不存在，说明理由．
例40（数列求和，导数结合）给定函数2
()2(1)
x
f x x =
- (1)试求函数()f x 的单调减区间;
(2)已知各项均为负的数列{}n a 满
足
,
1
4(
)1n n
S f a ⋅=求
证:1111ln n n
n a n a ++-
<<-; (3)设1
n n
b a =-,n T 为数列{}n b 的前
n
项和,求
证:201220111ln 2012T T -<<.
⑥导数与曲线新题型
例41（形数转换）已知函数()ln f x x =,
21
()2
g x ax bx =+(0)a ≠.
(1)若2a =-, 函数
()()()h x f x g x =- 在其定义域是增函
数,求b 的取值范围;
(2)在(1)的结论下,设函数
ϕϕ2x x (x)=e +be ,x ∈[0,ln2],求函数(x)
的最小值;
(3)设函数)(x f 的图象C 1与函数)(x g 的图象C 2交于点P 、Q,过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分
别交C 1、C 2于点M 、N ,问是否存在点R,使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行?若存在,求出R 的横坐标;若不存在,请说明理由.
例42（全综合应用）已知函数
()1ln
(02)2x
f x x x
=+<<-. (1)是否存在点(,)M a b ,使得函数
()y f x =的图像上任意一点P
关于点M 对称的点Q 也在函数
()y f x =的图像上?若存在,求
出点M 的坐标;若不存在,请说明理由;
(2)
定义
21
1
1221
()()()()
n n i i n S f f f f n n n n -=-==++⋅⋅⋅+∑,其中*n ∈N ,求2013S ;
(3)在(2)的条件下,令12n n S a +=,若不等式2()1n
a m n a ⋅>对*
n ∀∈N 且2n ≥恒成立,求实数m 的取值范围.
⑦导数与三角函数综合
例43（换元替代，消除三角）设函数
2
()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R ．
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程；
（Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值；
（Ⅲ）当3a >，
[]
10k ∈-，时，若
不
等
式
22(cos )(cos )
f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立,求k
的值。

例44（新题型，第7次晚课练习）设
函数()cos ,[0,]f x ax x x π=+∈.
(1)讨论()f x 的单调性
(2)设()1sin f x x ≤+,求a 的取值
范围.
⑧创新问题积累
例45已知函数2()ln
44
x x
f x x -=+-. I 、求()f x 的极值. II 、求证()f x 的图象是中心对称图形.
III 、设()f x 的定义域为D ,是否
存在[],a b D ⊆.当[],x a b ∈时，()f x 的取值范围是
,44a b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
?若存在,求实数a 、b 的值；若不存在，说明理由
例46已知函数14)(234-+-=ax x x x f 在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减．
（1）求a 的值；
（2）设1)(2-=bx x g ，若方程
)()(x g x f =的解集恰好有3个元素，
求b 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存
在实数对),(n m ，使
)()(n x g m x f -+-为偶函
数？如存在，求出n m ,如不
存在，说明理由．
导数压轴题题型归纳 参考答案
例1 (1)解 f (x )＝e x
－ln(x ＋
m )?f ′(x )＝e x －
1x ＋m
?f ′(0)＝e 0
－1
0＋m
＝0?m ＝1， 定义域为{x |x >－1}，
f ′(x )
＝e
x
－
1
x ＋m
＝
e x
?x ＋1?－1
x ＋1
，
显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．
(2)证明 g (x )＝e x －ln(x ＋2)，
则g ′(x )＝e x －
1
x ＋2
(x >－2)． h (x )＝g ′(x )＝e x
－1
x ＋2(x >－
2)?h ′(x )＝e x ＋
1
?x ＋2?2
>0，
所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根，
又g ′(－12)＝1e －1
3
2<0，g ′(0)
＝1－1
2
>0，
所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实
根在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，0内，
设g ′(x )＝0的根为t ，则有
g ′(t )＝e t －
1
t ＋2＝0⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12<t <0，所以，e t
＝1t ＋2
?t ＋2＝e －t
，
当x ∈(－2，t )时，g ′(x )<g ′(t )
＝0，g (x )单调递减；
当
x ∈(t ，＋∞)时，
g ′(x )>g ′(t )＝0，g (x )单调递增；
所以g (x )min ＝g (t )＝e t －ln(t ＋2)＝1t ＋2＋t ＝?1＋t ?2
t ＋2
>0，
当m ≤2时，有ln(x ＋m )≤ln(x
＋2)，
所以f (x )＝e x －ln(x ＋m )≥e x －ln(x ＋2)＝g (x )≥g (x )min >0.
例2（Ⅰ）由已知得
(0)2,(0)2,(0)4,(0)4f g f g ''====，
而()f x '=2x b +，
()g x '=()x e cx d c ++，∴a =4，b =2，c =2，d =2；……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
2()42f x x x =++，()2(1)x g x e x =+，
设
函
数()
F x =
()()
kg x f x -=
22(1)42x ke x x x +---（2x ≥-），
()
F x '=2(2)24x ke x x +--=
2(2)(1)x x ke +-， 有题设可得(0)F ≥0，即1k ≥， 令()F x '=0得，1x =ln k -，2x =－2， （1）若21k e ≤<，则－2＜1x ≤0，∴当1(2,)x x ∈-时，()F x ＜0，当
1(,)x x ∈+∞时，()F x ＞0，即()F x 在1(2,)x -单调递减，在1(,)x +∞单调递
增，故()F x 在x =1x 取最小值1()F x ， 而
1()F x =21112242x x x +---=11(2)
x x -+≥0，
∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即
()f x ≤()kg x 恒成立，
(2)若2k e =，则
()F x '=222(2)()x e x e e +-，
∴当x ≥－2时，()F x '≥0，∴
()F x 在(－2,+∞)单调递增，而
(2)F -=0， ∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即
()f x ≤()kg x 恒成立，
(3)
若2k e >，则
(2)F -=222ke --+=222()e k e ---＜0，
∴当x ≥－2时，()f x ≤()kg x 不可能恒成立，
综上所述，k 的取值范围为[1,2e ]. 例
3
（
1
）
1211
()(1)(0)()(1)(0)2
x x f x f e f x x f x f e f --'''=-+⇒=-+
令1x =得：(0)1f = 得
：
21
()()()12
x x f x e x x g x f x e x
'=-+⇒==-+
()10()x g x e y g x '=+>⇒=在
x R ∈上单调递增
得：()f x 的解析式为
21
()2
x f x e x x =-+
且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞
（
2）
2
1()()(1)02
x f x x ax b h x e a x b ≥
++⇔=-+-≥
得()(1)x h x e a '=-+
①当10a +≤时，
()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递
增
x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾
②当10a +>时，
()0ln(1),()0ln(1)
h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+
得：当ln(1)x a =+时，
min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥
令
22()ln (0)
F x x x x x =->；则
()(12ln )F x x x '=-
当
x =时，
max ()2
e F x =
当1,a b ==(1)a b +的最大值为
2
e 例4解（Ⅰ）22
1
(
ln )
'()(1)x x b x f x x x α+-=
-
+
由于直线230x y +-=的斜率为
12-，且过点(1,1)，故(1)1,
1'(1),2
f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即
1,1,22
b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩
解得1a =，1b =。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1
f ()1x x x x
=
++，所以
22ln 1(1)(1)
()()(2ln )
11x k k x f x x x x x x
---+=+--。

考虑函数
()2ln h x x =+2(1)(1)
k x x --(0)x >，则
22
(1)(1)2'()k x x
h x x -++=。

(i)
设
k ≤，由
22
2
(1)(1)'()k x x h x x
+--=知，当1x ≠时，'()0h x <，h(x)递减。

而
(1)0h = 故当(0,1)x ∈时()0h x >，可得
2
1
()01h x x >-； 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得
2
11
x
- h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（
1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x
k
.
（ii ）设
0<k<1.由于
2(1)(1)2k x x
-++=
2(1)21k x x k -++-的图像开口向
下，且244(1)0k ∆=-->，对称轴x=
1
11k >-.
当x ∈（1，k -11）时，（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故'
h (x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，
k -11）时，h （x ）>0，可得2
11
x -h （x ）<0,与题设矛盾。

（iii ）设k ≥1.此时2
12x x +≥，
2(1)(1)20k x x -++>⇒'
h （x ）>0,
而h （1）=0，故当x ∈ （1，+∞）时，h （x ）>0，可得
2
11
x
- h （x ）<0,与题设矛盾。

综合得，k 的取值范围为（-∞，0]
例5（1）0a =时，()1x f x e x =--，
'()1x f x e =-.
当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当
(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少，在(0,)+∞单调增加
（II ）'()12x
f x e ax =--
由（I ）知1x
e x ≥+，当且仅当0
x =时等号成立.故
'()2(12)f x x ax a x ≥-=-，
从而当120a -≥，即1
2
a ≤
时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =，
于是当0x ≥时，()0f x ≥.
由1(0)x
e x x >+≠可得
1(0)x e x x ->-≠.从而当1
2
a >
时，
'()12(1)(1)(2)
x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--，
故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而
(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <.
综合得a 的取值范围为1(,
]2
-∞. 例6解: (1)当a ＝b ＝－3时,f(x)＝
(x 3+3x 2－3x －3)e －x ,故
f′(x)＝－(x 3+3x 2－3x －3)e －x +(3x 2+6x －3)e －x
＝－e －x (x 3－9x) ＝－x(x －3)(x+3)e －x .
当x ＜－3或0＜x ＜3时,f′(x)＞
0;
当－3＜x ＜0或x ＞3时,f′(x)＜0.
从而f(x)在(－∞,－3),(0,3)单调增加,在(－3,0),(3,+∞)单调减少.
(2)f′(x)＝－(x 3+3x 2+ax+b)e
－x
+(3x 2
+6x+a)e －x
＝－e －x
［x 3
+(a －6)x+b －a ］.
由条件得f′(2)＝0,即23+2(a －6)+b －a ＝0,故b ＝4－a.
从而f′(x)＝－e －x
［x 3
+(a －6)x+4－2a ］.
因为f′(α)＝f′(β)＝0, 所以x 3+(a －6)x+4－2a ＝(x －2)(x －α)(x－β)
＝(x －2)［x 2－(α+β)x+αβ］. 将右边展开,与左边比较系数,得α+β＝－2,αβ＝a －2.
故
a 4124)(2-=-+=-αβαβαβ.
又(β－2)(α－2)＜0，即αβ－2(α+β)+4＜0.由此可得a ＜－6.
于是β－α＞6.
例7 (Ⅰ) 当1k
=时,
()()21x f x x e x =--,
()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=- 令
()0f x '=,得10x =,2ln 2x =
当x 变化时,
()(),f x f x '的变化如下表:
极大值
极小值
右表可知,函数
()f x 的递减区间为
()0,ln 2,递增区间为(),0-∞,()ln 2,+∞.
(Ⅱ)
()()()
1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-, 令
()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =,
令()()ln 2g
k k k =-,则
()1110k g k k k
-'=
-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从
而()ln
2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈
所以当()()0,ln 2x k ∈
时,()0f x '<;当
()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>;
所以
()(){}(){}
3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令()()311k h
k k e k =--+,则
()()3k h k k e k '=-,
令()3k k e k ϕ=-,则
()330k k e e ϕ'=-<-<
所以()k ϕ
在1,12⎛⎤
⎥⎝⎦上递减,而()()1313022
e e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=--< ⎪⎪⎝⎭
⎭
所以存在01,12x ⎛⎤
∈
⎥⎝⎦
使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时,()0k ϕ>, 当()0,1k x ∈
时,()0k ϕ<,
所以()k ϕ
在01,2x ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增,在()0,1x 上单调递减.
因为17028h ⎛⎫=>
⎪⎝⎭
,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
上恒成立,当且仅当1k
=时取得“=”.
综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值
()3
1k
M k e k =--.
例8解:(Ⅰ)∵3211
()(0)
32
f x x ax x b a =+++≥,
∴2
'()1f x x ax =++ ∵()f x 在(1,0)处切线方程为
33y x =-,
∴'(1)3(1)0
f f =⎧⎨=⎩, ∴1=a ,6
11
-=b . (各1分)
(Ⅱ)'()()ax
f x
g x e
=21
ax x ax e ++=()x R ∈.
①当0a =时,'()2g x x =,
g 减区间为(,0)-∞
②当0a >时,令'()0g x =,得0x =或
2
x a a =-
(ⅰ)当2
0a
->,即0a <<时,
()g x 的单调递增区间为2
2(0,)a a -,单调递减区间为(,0)-∞,2
2(,)a a
-+∞; (ⅱ)当2
0a a
-=,
即a =时,'()g x =2220x
x e -=-≤, 故()g x 在(,)-∞+∞单调递减;
(ⅲ)当2
0a -<,即a >,
()g x 在2
2(,0)a a -上单调递增,在(0,)+∞,2
2(,)a a
--∞上单调递减 综上所述,当0a =时,()g x 的单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞; 当0a <<
时,()g x 的单调递增区间为
2
2(0,)a a
-,单调递减区间为(,0)-∞
当a =()g x 的单调递减区间为(,)-∞+∞
当a >
,()g x 的单调递增区间为
2
(,0)a a
-,单调递减区间为(0,)+∞、2
(,)a a
-∞-
例9
解：(1)1=a 时，
x x x g -=3
)(，由013)(2
=-='x x g ，解得
3
3
±
=x .
所以当
3
3
=
x 时，)(x g
9
3
2)33(
-=g .
(2)证明：曲线
(x f y =)
2,(2
11a x x P -处的切线112)(x x f k ='=
曲线)(x f y =在点P 处
的切线方程为)(2)2(112
1x x x a x y -=--.
令0=y ，得1
2
1
22x a
x x +=，
∴
1
2
1112
11222x x a x x a x x x -=
-+=- ∵
a
x >1，
∴
021
2
1
<-x x a ，即12x x <.
又∵1
122x a x ≠，∴
a
x a x x a x x a x x =⋅>+=+=11111212222222 所以a x x >>21. 例10⑴
.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当 ⑵
[]
.42)2()('22x e a a x a x x f +-++=
以下分两种情况讨论：
2-a .当x 变化时，
②a 若＜
3
，则a 2-＞2-a ，当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表：
()1
()1x x f x x ϕ+=-
-1
1ln -+-
=x x x ，()()()
2
2211
121-⋅+=-+='x x x x x x ϕ． ∵0x >且1x ≠，∴()0x ϕ'>∴函数
()x ϕ的单调递增区间为()()∞+，和11,0． （Ⅱ）∵1
()f x x
'= ，∴001()f x x '=，
∴ 切线l 的方程为
000
1
ln ()y x x x x -=
-, 即00
1
ln 1y x x x =
+-, ① 设直线l 与曲线()y g x =相切于点
11(,)x x e ，
∵()x g x e '=，∴1
01
x e
x =
，∴10ln x x =-,∴0
ln 1
1()x g x e x -==. ∴直线l 也为()000
11ln y x x x x -
=+， 即0000ln 1
1x y x x x x =++， ② 由①②得 0000
ln 1
ln 1x x x x -=+，∴001
ln 1
x x x +=
-．
由（Ⅰ）可知，()x ϕ1
1
ln -+-
=x x x 在区间1,+∞（）
上递增． 又12
()ln 011e e e e e ϕ+-=-=<--，
2222
2213()ln 011
e e e e e e ϕ+-=-=>--，
结合零点存在性定理，说明方程()0
x ϕ=
，
故结论成立．
例12⑴1()ln 1(0)a
f x x ax x x
-=-+->，2
22
l 11()(0)a ax x a f x a x x x x
--++-'=-+=> 令2
()1(0)h x ax
x a x =-+->
①当0a =时，()1(0)h x x x =-+>，当
(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调
递减；当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增.
②当0a ≠时，由()0f x '=，即
210ax x a -+-=，解得121
1,1x x a
==
-. 当1
2
a
=
时12x x =，()0h x ≥恒成立，此时()0f x '≤，函数()f x 单调递减；
当102a <<
时，1
110a
->>,(0,1)x ∈时()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减；
1
(1,1)x a ∈-时，()0,()0h x f x '<>，函数
()f x 单调递增；
1
(1,)x a
∈-+∞时，()0,()0h x f x '><，函
数()f x 单调递减.
当0a <时
1
10a
-<，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调
递减；
当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数
()f x 单调递增.
综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增； 当1
2
a
=
时12x x =,()0h x ≥恒成立,此时()0f x '≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；
当1
02a <<
时,函数()f x 在(0,1)递减,1(1,1)a -递增,1
(1,)a -+∞递减.
⑵当1
4
a =时，()f x 在(0,1)上是减函数，在
(1,2)上是增函数，所以对任意1(0,2)x ∈， 有
11
()(1)2
f x f =-≥，
又已知存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，所
以21
()2
g x -
≥，[]21,2x ∈，（※） 又22()()4,[1,2]g x x b b x =-+-∈ 当1b <时，min ()(1)520g x g b ==->与
（※）矛盾； 当[]1,2b ∈
时，2min ()(1)40
g x g b ==-≥也与（※）矛盾； 当2b >时，
min 117
()(2)84,28g x g b b ==-≤-≥.
综上，实数b 的取值范围是17
[,)8
+∞.
例13解：⑴x
a
x x a x f x F +=+=
ln )()(Θ定义域为),0(+∞∈x
令a e x x F -=='10)
(得 由
a e x x F -<<>'100)(得
由a e x x F -><'10
)(得
即),0()(1a e x F -在上单调递增，在),(1+∞-a e 上单调递减
a e x -=∴1时，F (x )取得极大值
1
1)1(---=+-=
a a
a e e
a a e F ⑵kx x x G -=2)(ln )(Θ的定义域为(0，
+∞)，k x
x
x G -=
'∴ln 2)
( 由G (x )在定义域内单调递减知：
0ln 2)(<-=
'k x
x
x G 在(0，+∞)内恒成立 令k x x x H -=ln 2
)(，则
2
)
ln 1(2)(x x x H -=' 由e x x H =='得0)(
∵当),0(e x ∈时)(,0)(x H x H >'为增函
数
当),(+∞∈e x 时0)(<'x H ，)(x H 为减函数
∴当x = e 时，H (x )取最大值k e
e H -=
2
)( 故只需
02<-k e 恒成立，e k 2>∴ 又当e k 2
=时，只有一点x = e 使得
0)()(=='x H x G 不影响其单调性.2
e
k ≥∴
例14解：⑴()f x 的定义域为
(0,).+∞222
11
'()1a x ax f x x x x
-+=+-=
令
2()1,g x x ax =-+其判别式2 4.a =-V
①当||2,0,
'()0,a f x ≤≤≥V 时故
()(0,)f x +∞在上单调递增．
②当2a <-V 时,>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,)+∞上，'()0f x >，故
()(0,)f x +∞在上单调递增．
③当2a >V 时,>0,g(x)=0
的两根为
12x x ==
， 当10x x <
<时， '()0f x >；当
12x x x <<时，'()0f x <；当2
x x >时，'()0f x >，故()f x 分别在
12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)
x x 上单调递减．
⑵由⑴知，若()f x 有两个极值点12,x x ，则只能是情况③，故2a >．
因为
12
12121212
()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+
--，
所以
1212121212
()()ln ln 1
1f x f x x x k a x x x x x x --=
=+---g
12
12
ln ln 2x x k a x x -=--g
若存在a ，使得2.k a =-则
12
12
ln ln 1x x x x -=-．即1212ln ln x x x x -=-．
再由⑴知，函数1
()2ln h t t t t =--在
(0,)+∞上单调递增，而21x >，所以
22211
2ln 12ln10.1
x x x -
->--=这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得2.k a =-
例15解：⑴
()2323f x ax bx '=+-．
根据题意，得()()12,
10,
f f =-⎧⎪⎨'=⎪⎩即
32,3230,a b a b +-=-⎧⎨
+-=⎩解得1
0a b =⎧⎨=⎩
所以()33f x x x =-．
⑵令()0f x '=，即2330x -=．得1x =±．
因为
()12f -=，()12f =-，
所以当[]2,2x ∈
-时，()max 2f x =，
()min 2f x =-．
则对于区间
[]2,2-上任意两个自变量的值
12,x x ，都有
()()()()12max min 4
f x f x f x f x -≤-=，所以4c ≥． 所以c 的最小值为4． ⑶因为点()()2,2M
m m ≠不在曲线
()y f x =上，所以可设切点为()00,x y ．
则3
0003y x x =-． 因为
()2
0033f x x '=-，所以切线的斜率为
2
033x -．
则20
33x -=3
00032
x x m
x ---，
即32
002660x x m -++=． 因为过点()()2,2M
m m ≠可作曲线
()y f x =的三条切线，
所以方程3
2
002660x x m
-++=有三个不同的实数解．
所以函数32
则
()()0022
g g >⎧⎪⎨<⎪⎩ ，即
60
20
m m +>⎧⎨
-+<⎩，解得62m -<<．
例16解：（I ）x x x g x x f sin )(,)(+=∴=λ，
]1,1[)(-在x g Θ上单调递减，
0cos )('≤+=∴x x g λ x cos -≤∴λ在[-1，1]上恒成立，
1-≤∴λ，故λ的最大值为.1-
（II ）由题意
,1sin )1()]([max --=-=λg x g ,11sin 2++<--∴t t λλ只需
01sin )1(2>++++∴t t λ（其中1-≤λ），
恒成立，令
)1(011sin )1()(2-≤>++++=λλλt t h ，
则2
10
1sin110
t t t +<⎧⎨--+++>⎩，01sin ,0
1sin 122>+-⎩⎨⎧>+--<∴t t t t t 而恒成立，1-<∴t
（Ⅲ）由
.2ln )(ln 2m ex x x
x
x f x +-== 令
,2)(,ln )(221m ex x x f x
x
x f +-==
,ln 1)(2
'1x x
x f -=Θ 当,0)(,),0('1≥∈x f e x 时(]e x f ,0)(1在∴上
为增函数； 当[)+∞∈
,e x 时，
,0)('1≤x f [)+∞∴,)(1e x f 在为减函数；
当,1
)()]([,1max 1e
e f x f e x
===时
而
,
)()(222e m e x x f -+-=,1
,122时即当e
e m e e m +>>-∴方程无
解； 当e e m e e
m 1
,122
+==-即时，方程有一个根； 当e
e m e e m 1
,122
+<<-时时，方程有两个根. 例17解：⑴
2
3)13)(1(33323)(+-+-=-+=
'x x x x x x f ，
令131
0)(-==='x x x f 或得（舍去）
)(,0)(,31
0x f x f x >'<≤∴时当单调
递增；当)(,0)(,131
x f x f x <'≤<时递减.
]1,0[)(61
3ln )31(在为函数x f f -=∴上
的极大值.
⑵由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得 设
332ln
323ln ln )(2
x x x x x h +=+-=，x
x
x x x g 323ln 323ln
ln )(+=++=，
依题意知
]3
1
,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立，
0)32(2
)
32(33)32(3332)(2
>+=+⋅-+⋅+=
'x x x x x x x x g Θ，
03262)62(31323)(2
2>++=+⋅+=
'x
x x
x x x x h ，
]3
1
,61[)()(都在与x h x g ∴上单增，要使
不等式①成立，
当且仅当
.5
1
ln 31ln ),61()31(<><>a a g a h a 或即或
⑶由
.022
3)32ln(2)(2
=-+-+⇒+-=b x x x b x x f
令
x
x
x x x b x x x x 329723323)(,223
)32ln()(2
2+-=+-+=
'-+-+=ϕϕ则，
当
]3
7,0[)(,0)(,]37,
0[在于是时x x x ϕϕ>'∈上递增；
]
1,3
7
[)(,0)(,]1,37[在于是时x x x ϕϕ<'∈上递减，
而)1()3
7
(),0()37(
ϕϕϕϕ>>， ]1,0[0)(2)(在即=+-=∴x b x x f ϕ恰
有两个不同实根等价于 例18解：⑴
2
22)1(1
)2()1(1)(++-+=+-='x x x a x x a x x f
∵a 2
9=，令0)(>'x f 得2>x 或210<<x ,∴
函数)(x f 的单调增区间为),2(),2
1
,0(+∞.
⑵证明：当0=a 时x x f ln )(=
∴x
x f 1)(=
', ∴210021)(x x x x f +==',又1
212
12121212ln
ln ln )()(x x x x x x x x x x x f x f k -=
--=--= 不妨设12x x > ， 要比较k 与)(0x f '的大小，
即比较1212
ln
x x x x -与212x x +的大小，
又∵12x x >，∴ 即比较1
2
ln x x 与1)1(
2)
(21
2
1
2
2
112+-=
+-x x x x x x x x 的大小．
令)1(1
)
1(2ln )(≥+--
=x x x x x h ,则
0)
1()1()1(41)(2
2
2≥+-=+-='x x x x x x h , ∴)(x h 在[)+∞,1上位增函数．
又
112>x x ，∴0)1()(1
2=>h x x
h ， ∴1)1(
2ln
1
2
1
2
1
2
+->x x x x x x ，即)(0x f k '>
⑶∵
1)
()(1212-<--x x x g x g ，∴ []0)()(1
21122<-+-+x x x x g x x g
由题意得x x g x F +=)()(在区间(]2,0上是减函数．
︒1 当x x a
x x F x +++=≤≤1
ln )(,21， ∴ 1)1(1)(2
++-=
'x a x x F 由
3
1
3)1()1(0)(222+++=+++≥⇒≤'x
x x x x x a x F 在[]2,1∈x 恒成立．
设=)(x m 3132+++x
x x ，[]2,1∈x ，则
031
2)(2>+-='x
x x m
∴)(x m 在[]2,1上为增函数，∴
2
27)2(=
≥m a . ︒2 当x x a
x x F x +++-=<<1
ln )(,10，∴ 1)1(1)(2
++--
='x a x x F 由
11
)1()1(0)(222--+=+++-≥⇒≤'x
x x x x x a x F 在)1,0(∈x 恒成立 设=)(x t 112--+x
x x ，)1,0(∈x 为增函数,∴0)1(=≥t a
综上：a 的取值范围为2
27
≥a .
例19解：（1）
x ax x x f +=)ln(2)(',
2)ln(2)('x x ax x x f ≤+=，即x
ax ≤+1ln 2在0>x 上恒成立 设
x ax x u -+=1ln 2)(,
2,012
)('==-=
x x
x u ，2>x 时，单调减，2<x 单调增，
所以2=x 时，)(x u 有最大
值.212ln 2,0)2(≤+≤a u ，所以2
0e
a ≤<. （2）当1=a 时，x x x x f x g ln )
()(==, e x x x g 1,0ln 1)(==+=,所以在),1
(+∞e 上
)(x g 是增函数，)1
,0(e
上是减函数.
因为11
211<+<<x x x e
，所以
111212121ln )()ln()()(x x x g x x x x x x g =>++=+
即)ln(ln 211
2
11x x x x x x ++<
,
同理)ln(ln 212
2
12x x x x x x ++<
. 所以
ln()2()ln()(
ln ln 1
2212112122121x x x
x x x x x x x x x x x x ++=++++<+又因为,421
221≥++
x x x x 当且仅当“21x x =”时，取等号.
又1),1,1(,2121<+∈x x e x x ，0)ln(21<+x x ,
所以)ln(4)ln()2(212112
21x x x x x x x x +≤+++,所以)ln(4ln ln 2121x x x x +<+，
所以：42121)(x x x x +<.
例20（I ）
,23)(,00)0(2b ax x x f c f ++='=⇒=320)1(--=⇒='a b f
由3
3
210)(+-==⇒='a x x x f 或，因为当1=x 时取得极大值，
所以313
3
2-<⇒>+-
a a ，所以)3,(:--∞的取值范围是a ；
（II ）由下表：
依题意得：
9
)32()32(27622
+-
=++a a a ，解得：9-=a
所以函数)(x f 的解析式是：
x x x x f 159)(23+-=
（III ）对任意的实数βα,都有
,2sin 22,2sin 22≤≤-≤≤-βα
在区间[-2，2]有：
230368)2(,7)1(,7430368)2(=+-==-=---=-f f f
函数]2,2[)(-在区间x f 上的最大值与最小值的差等于81，
所以81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 例21解：（Ⅰ）x
ax x
a x f 11)(-=-='，
当0≤a 时，()0f x '<在),0(+∞上恒成立，函数)(x f 在),0(+∞ 单调递减，∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点；
当0>a 时，()0f x '<得10x a
<
<
，()0f x '>得1x a >
， ∴)(x f 在(10,)a 上递减，在(1
),a
+∞上递
增，即)(x f 在a
x 1
=处有极小值．
∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点， 当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点．
（Ⅱ）∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴1=a ，
∴b x
x x bx x f ≥-+⇔-≥ln 112)(， 令x
x
x x g ln 11)(-
+
=，可得)(x g 在(]
2,0e 上递减，在[)
+∞,2e 上递增，
∴2
2min 11)()(e e g x g -
==，即
2
11b e ≤-
． （Ⅲ）证明：
)
1ln()1ln()1ln()
1ln(+>+⇔++>-y e x e y x e
y
x y x ， 令)
1ln()(+=x e x g x ，则只要证明)(x g 在
),1(+∞-e 上单调递增，
又∵)
1(ln 11)1ln()(2
+⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+-
+='x x x e x g x ，
显然函数1
1
)1ln()
(+-
+=x x x h 在),1(+∞-e 上单调递增．
∴01
1)
(>-
>e
x h ，即0)(>'x g ， ∴)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增，即
)
1ln()1ln(+>+y e x e y
x ，
∴当1->>e y x 时，有
)
1ln()
1ln(++>
-y x e y x ．
例22解：（I ）
1
'(),'(1)1;Qf x f x
=∴=l ∴直线的斜率为
1，
且与函数()f x 的图像的切点坐标为（1，0），l ∴直线的方程为 1.y x =-。