重庆市2023-2024学年高一下学期5月期中考试 数学含答案

高2026届高一（下）期中考试数学试卷（答案在最后）
注意事项：
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚．
每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．
考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数5i
12i
z =
+，则在复平面内表示复数z 的点位于（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线AC 和直线1BC 所成的角为（）
A ．
π
6
B ．
π4
C ．
π3
D ．
π2
3．已知等腰ABC △中，2
π3
A =，则BC 在BA 上的投影向量为（）
A ．32BA
B ．32
BA -
C ．3BA
D ．3BA
- 4．已知平面向量,a b 满足()()2,,1,1a b k a b +=-= ．若//a b
，则k =（）
A ．－2
B ．12
-
C ．
12
D ．2
5．设α是给定的平面，,A B 是不在α内的任意两点，则（）
A ．在α内存在直线与直线A
B 平行B ．存在过直线AB 的平面与α垂直
C ．在α内不存在直线与直线AB 异面
D ．在α内不存在直线与直线AB 垂直
6．已知非零向量a 和单位向量b 满足a b ⊥ ，且向量a b + 与a 的夹角为30
，则a = （
）
A ．
33
B ．
13
C ．
D ．3
7．已知正四棱台1111ABCD A B C D -，其所有顶点均在同一个表面积为32π的球面上，且该球的球心在底而ABCD 上，则棱台1111ABCD A B C D -的体积为（）
A B ．C ．
D ．8．某地开展植树造林活动，拟测量某座山的高．勘探队员在山脚A 测得山顶B 的仰角为45 ，他沿着坡角为15 的斜坡向上走了100米后到达C ，在C 处测得山顶B 的仰角为60 ．设山高为BD ，若,,,A B C D 在
同一铅垂面，且在该铅锤面上,A C 位于直线BD 的同侧，则BD =（）
A
．米B
．米C
．-米
D
．+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．下列各组向量中，可以用来表示向量()1,2a =-
的是（
）A ．()()121,1,1,2e e ==
B ．()()121,1,2,2e e =-=-
C ．()()
121,2,3,6e e =-=-
D ．()()
121,2,3,4e e ==--
10．已知复数()122,0z z z ≠，下列命题中正确的是（
）
A ．若2
1z ∈R ，则1z ∈R
B ．若1
2
z z ∈R ，则12z z ∈R C ．若1222z z z =，则114
z z =
D ．若2
121z z z =，则12z z =11．满足下列条件的四面体存在的是（）
A ．1
5条棱长均为1B ．1条棱长为1，其余5
C ．2
4条棱长均为1
D ．2条棱长为1，其余4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．一个母线长为2的圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面积为______．
13．在直三棱柱111ABC A B C -中，所有棱长均相等，则二面角1C AB C --的正切值为______．14．在ABC △中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c
，已知1,,sin sin 10
c b c B C =>=
，且sin sin sin a A b B B C -=+，则A =______，ABC △的面积为______．
．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．
（13分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，E 是1DD 的中点．
（1）求证：1//BD 平面AEC ；（2）求证：平面AEC ⊥平面1BDD ．16．（15分）
在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC △的面积为S ，已知2c =，且22434a b S +=+．（1）求C ；
（23b a -的取值范围．17．
（15分）如图，在三棱锥V ABC -中，VAB △和ABC △均是边长为4的等边三角形，5VC =
（1）证明：AB VC ⊥；
（2）已知平面α满足//,//VA AC αα，且平面α 平面VBC l =，求直线l 与平面ABC 所成角的正弦值．18．
（17分）在ABC △中，3, 1.BC AB AC M =-=为边BC 上一点，1,BM D =为边AB 上一点，AM 交CD 于P ．（1）若3,2AC AD ==，求AM CD ⋅
．（2）若35
,22
BD CD ==，（i ）求AC ；
（ii ）求APD △和MPC △的面积之差．19．
（17分）
定义空间中既有大小又有方向的量为空间向量．起点为1A ，终点为2A 的空间向量记作12A A
，其大小称为
12A A 的模，记作1212,A A A A 等于12,A A 两点间的距离．模为零的向量称为零向量，记作0
．空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义与性质和平面向量一致，如：对任意空间向量,,a b c
，均有
3a a a a ++= a b b a +=+ ，00a a a +=+=
，()()
a b c a b c a b c ++=++=++ ；对任意实数λ和空
间向量a
，均有a a λλ= ；对任意三点123,,A A A ，均有122313A A A A A A += 等．
已知体积为()1,2,,24i V i = 的三棱锥()1,2,,24i P ABC i -= 的底面均为ABC △，在ABC △
中，
AB Q =是ABC △内一点，120AQB ∠=
．记24
1
i i V V ==∑．
（1）若(),,30,1,2,,24i AQ CQ AB AC ACQ P i ⊥⊥∠==
到平面ABC 的距离均为1，求V ；
（2）若Q 是ABC △的重心，且对任意1,2,,24i = ，均有i i i AP BP CP i ++=
．
（i ）求V 的最大值；
（ii ）当V 最大时，5个分别由24个实数组成的24元数组()(),1,2,24
,,,1,2,,5j j j a a a j = 满足对任意
1,2,,5,1,2,,24j i ==
，均有,i
j l
a i =，且对任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 均有1224
,,1
0j i j i i a a ==∑求证：12,,j i j l a a =不可能对任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 及1,2,3,4,5i =均成立．
（参考公式：2
24
2
1211111;2,300n
n n i n i i i j i i i i j i x x x x x x x x i ===≤<≤=⎛⎫=+++=+= ⎪⎝⎭
∑∑∑∑∑ ）
2023－2024学年高一下期中考数学参考答案及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分40分．
1．A 2．C 3．A
4．D
5．B
6．C
7．C
8．B
1．()5i
i 12i 2i 12i
z =
=-=++，对应的点在第一象限，故选A ．2．直线AC 和直线1BC 所成的角等于13
D AC π
∠=
，故选C ．3．由图可知，BC 在BA 上的投影向量为32
BA
，故选A ．
4．由//a b
知，()()
//a b a b +- ，则2k =，
（也可求出向量坐标），故选D ．5．当直线AB 与α相交时，在α内不存在直线与直线AB 平行；易知存在过直线AB 的平面与α垂直；在
α内存在直线与直线AB 异面；在α内存在直线与直线AB 垂直；故选B ．
6．由于a b ⊥ ，且向量a b + 与a 的夹角为30
，作图可知，a == ，故选C ．
7．设球心为O ，则球O 的半径R =
，由于O 在底面ABCD 上，底面ABCD 为正方形，易得正方形
ABCD
4=
，面积为16；设底面1111A B C D 的外接圆半径为r ，则r ==
正方形1111A B C D 2=，面积为4；所以正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为
(1286
16433
V =⨯+=
，故选C ．
8．在ABC △中，135,15,100,ACB ABC AC AB ∠=∠=== ，由正弦定理得
sin sin AB AC ACB ABC =∠∠，解得50
50sin15
BD ==+
米，故选B ．二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题6分，满分18分．全部选对的得6分，
部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．ACD
10．BC
11．BCD
9．选项A 和D 中的两个向量不共线，均可构成平面的一组基底，故可以用来表示向量a
，选项C 中的两
个非零向量均与a 共线，所以也可以用来表示向量a ，选项B 中的两个非零向量选项共线，但与a
不共线，不能用来表示向量a
，故选ACD ．
10．取12i,i z z ==-知，选项A 和D 错误，由复数的性质知，选项B 和C 正确，故选BC ．
11．解法一：（1）当有1条边为a ，5条边为1时，不妨设四面体ABCD 满足1AB BC CA BD CD =====，
设BC 中点为E ，则2
AE DE ==
，设AED θ∠=，则2AD a θ==，所以(a ∈；所以当
有1条边为1，5条边为a 时，
a ⎫
∈+∞⎪⎭
，故A 错误，B 正确；（2）当有2条边为a ，4条边为1时，分两种情况：①长为a 的两条棱有一公共顶点，不妨设为BD CD a ==，设AD 与平面ABC 所成的角为,BC θ中点为E ，
则a =
；
②长为a 的两条棱为相对棱，不妨设为BC AD a ==，设BC 中点为E ，则
2sin
22
a AE θθ
==<0a <<，综上可知，(;a ∈所以当有2
条边为1，4条边为a 时，
a ⎛⎫⎪∈+∞⎪⎭
，故C ，D 正确；故选BCD ．解法二：（1）当有1条边为a ，5条边为1时，不妨设四面体ABCD 满足1AB BC CA BD CD =====，
由正弦定理易得，ACD △
1<（极限位置为共面的情形时，点B 在平面ACD 内
的射影为ACD △的外心），所以(a ∈；所以当有1条边为1，5条边为a 时，
a ⎫
∈+∞⎪⎭
，故A 错误，B 正确；
（2）当有2条边为a ，4条边为1时，分两种情况：
①长为a 的两条棱有一公共顶点，不妨设为BD CD a ==，由正弦定理易得，ACD △的外接圆半径为
2
1<则a ∈
；
②长为a 的两条棱为相对棱，不妨设为BC AD a ==，故其可放入一个长方体中，不妨设长方体边长分别为,,x y z ，不妨设22222221,x y z x y z a +=+=+=，则2
222211
10,022
x a y z a =-
>==>，所以
0a <<，综上可知，(;a ∈所以当有2条边为1，4条边为a 时，
a ⎛⎫⎪∈+∞⎪
⎭
，故C ，D 正确；故选BCD ．
三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分15分．
12．2π
13．
3
14．
31
;42
π（仅答对一空给3分）12．设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则2l =，且22rl r ππ=，所以1r =，侧面积为2π．13．不妨设直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，取AB 中点P ，则1C PC ∠为二面角1C AB C --的平面角，1123
tan
3C C C PC CP ∠=
==
，
即二面角1C AB C --的正切值为
3
．14．在ABC △中，由正弦定理得，sin sin sin a b c A B C
==，
又因为sin sin sin sin a A b B B c C -=
+，所以222a b c -=+，
由余弦定理得222cos 22
b c a A bc +-==-
，因为()0,A π∈，
所以34A π=
；因为在ABC △中，由正弦定理，sin sin sin a b c A B C ==1
sin sin b B C
==，所以
2
2sin sin 210
b B C a =
=
=，所以2
a =，
所以22
1a b =+=
，所以2220b -+=，所以b =或2
b =（舍），因为ABC △的面积为11sin 22
S bc A =
=．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．证明：（1）设,AC BD 交于点O ．四边形ABCD 为菱形，所以O 是AC 的中点，因为E 是1DD 的中点，连接OE ，所以1//OE BD ，
因为OE ⊂平面1,AEC BD ⊂/平面AEC ，所以1//BD 平面AEC
（2）因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，因为1DD ⊥底面,ABCD AC ⊂平面ABCD ，所以
1DD AC ⊥，因为1BB ⊂平面1,BDD BD ⊂平面11,BDD BB BD B = ，所以AC ⊥平面1BDD ，
因为AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面1BDD ．
16．解：（1）因为221
sin ,42
S ab C a b =
+=+，所以22sin 4a b C +=+，在ABC △中，由余弦定理，得2222cos a b c ab C +-=，因为2c =，所以2242cos a b ab C +=+，
所以cos C C =，所以tan 3
C =，因为(0,π)C ∈，所以π6C =．
（2）在ABC △中，由正弦定理，得
4sin sin sin a b c
A B C
===4sin a B A -=-5ππ4sin 2sin 4sin
63A A A A A ⎛⎫⎛
⎫=--=+=+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭因为5π0,6A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ7π,336A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin ,132A ⎛
⎫⎛⎤+∈- ⎪ ⎥⎝
⎭⎝⎦，
(]2,4a -∈-a -的取值范围为(]
2,4-．17．解：（1）如图，设AB 的中点为D ，连结,DV DC ，
因为VAB △和ABC △均为等边三角形，所以,VD AB CD AB ⊥⊥，
又因为,VD CD D VD =⊂ 平面,VCD CD ⊂平面VCD ，所以AB ⊥平面VCD ，又因为VC ⊂平面VCD ，所以AB VC ⊥．
（2）因为//,//,VA AC VA AC A αα= ，且,VA AC ⊂平面VAC ，所以//α平面VAC ，又平面α 平面VBC l =，平面VAC 平面VBC VC =，所以//VC l ，所以直线l 与平面ABC 所成角等于直线VC 与平面ABC 所成的角．在平面VCD 内作VO CD ⊥，则由（1）知，AB ⊥平面VCD ，
又VO ⊂平面VCD ，所以VO AB ⊥．又因为,AB CD D AB =⊂ 平面,ABC CD ⊂平面ABC ，所以VO ⊥平面ABC ，所以VCD ∠是直线VC 与平面ABC 所成的角．
因为VAB △和ABC △均是边长为4的等边三角形，所以VD CD ==，
又因为VC =VCD △
中，12cos VC
VCD CD ∠==
，
所以sin 6VCD ∠=
，所以直线l 与平面ABC
所成角的正弦值为6
．18．解：（1）如图，因为1,3AB AC AC -==，所以4AB =，
因为D 为边AB 上一点，2AD =，所以D 为AB 中点，所以12
AD AB =
，
所以12CD AB AC =- ，因为1
13BM BC ==，所以13BM BC = ，
所以2133AM AB AC =+ ，在ABC △中，因为AC BC =，所以2
cos 3AD BAC AC ∠=
=，所以221211115
2333
233AM CD AB AC AB AC AB AB AC AC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
（2）（i ）如图，在BCD △中，由余弦定理得，2225
cos 29
BD BC CD DBC BD BC +-∠==⋅，
所以5
cos 9
ABC ∠=
，设AC x =，则1AB x =+，在ABC △中，由余弦定理得，()22222(1)95
cos 22139
BA BC AC x x ABC BA BC x +-++-∠===⋅+⨯，解得5x =，所以5AC =
．
（ii ）由（i ）知5AC =，所以6AB =，又因为0ABC ∠π<<，
所以sin9
ABC
∠==，所以ABM
△
的面积
1sin
23
ABM
S AB BM ABM
∠
=⋅⋅=
，
BCD
△
的面积
1sin
22
BCD
S BD BC ABM
=⋅⋅∠=
，
所以APD
△和MPC
△的面积之差
14
6 APD MPC APD BDPM BDPM MPC ABM BCD
S S S S S S S S
-=+--=-=
，
即APD
△和MPC
△的面积之差为
14
6．
19．解：（1）如图，在ACQ
△中，1
sin
2
AQ AC ACQ AC
∠
==．
因为,
AC AB AQ CQ
⊥⊥，所以30
QAB ACQ
∠=∠= ，所以，在ABQ
△中，18030
QBA AQB QAB QAB
∠=-∠-∠==∠
，
所以在ABQ
△中，
1
22
cos
AB
AQ BQ
QAB
===
∠
，
所以4
AC=，所以ABC
△
的面积为
1
2
S AB AC
=⋅=
所以
143
33
i
i P ABC
V Sd
→
==
，所以
24
1
i
i
V V
=
==
∑
．
（2）（i）因为Q是ABC
△的重心，所以ABC
△
的面积为34
QAB
S S AQ BQ
==⋅
，在ABQ
△中，由余弦定理得，2222cos
AB AQ BQ AQ BQ AQB
=+-⋅∠，
即2212
AQ BQ AQ BQ
++⋅=，由基本不等式知，
22123
AQ BQ AQ BQ AQ BQ
++⋅=≥⋅，所以4
AQ BQ
⋅≤，
故S ≤，等号当且仅当2AQ BQ ==时成立，又由Q 是ABC △的重心知，0AQ BQ CQ ++=
，所以3i i i i i i AP BP CP AQ QP BQ QP CQ QP QP ++=+++++= ，所以()1,2,,243i i QP i ==
，所以()111,2,,24333
i i P ABC V S d S QP i i →=⋅≤⋅≤= ，
所以24
24
113i i i V V i ===≤=∑∑，等号当且仅当2AQ BQ ==，且i QP ⊥平面ABC 时成立，所以V
的最大值为（ii ）由（i
）知，3
i V i =，所以对任意1,2,,5,1,2,,24j i == ，
均有,1i j i a i =
=，故2,1j i a =，记1,2,5,i i i i S a a a =+++ ，则()2152221,2,5,,,52j i i i i i j i j i S a a a a a ≤<≤=+++=+∑
所以2224242,,11151202i j i j i i i i j S a a ==≤<≤=+∑∑∑，
由于任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 均有
224,,10j i j i i a a ==∑，
所以21224,,1150j i j i i j i a a =≤<≤=∑∑，所以2421
120i i S ==∑．
假设2,,j i j i a a =对任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 及1,2,3,4,5i =均成立．则对于1,2,,5i = ，均有()()2221,2,5,1,525i i i i i S a a a a =+++== ，所以24524522221161125i i i i i i i i S S S
S =====+≥=∑∑∑∑，与24
21120i i S ==∑矛盾，
所以假设不成立，即2,,j i j i a a =不可能对任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 及1,2,3,4,5i =均成立．。