河北省保定市第一中学2015届高三数学上学期模拟演练(七)试卷 理

2015年高三模拟演练（七）
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1
、设{|{|ln(1)}A x y B x y x ====+，则A
B =（ ）
A ．{|1}x x >-
B ．{|1}x x ≤
C ．{|11}x x -<≤
D ．φ 2、函数2sin(2)14
y x π
=-
+的最大值为（ ）
A ．-1
B ．1
C ．2
D ．3 3、已知1
:1,:
1p x q x
><，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也必要条件 4、若正实数,x y 满足2x y +=，则
1
xy
的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
5、已知ABC ∆中，2,3AB AC ==，且ABC ∆的面积为
3
2
，则BAC ∠=( ) A ．150 B ．120 C ．60或
120 D ．30或150 6、已知2sin 3cos 0θθ+=，则tan 2θ=（ ）
A ．
59 B ．125 C ．95 D ．512
7、已知(,)M
x y
为由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪
≤⎨
⎪
≤⎩所确定的平面区域上的动点，若点A ，
则z OM OA =⋅的最大值为（ ）
A ．3
B ．
．4 D ．8、定义在R 上的偶函数()f x 满足：对12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x ≠， 都有1212()[()()]0x x f x f x --<，则（ ）
A ．()()()321f f f <-<
B ．()()()123f f f <-<
C ．()()()213f f f -<<
D ．()()()312f f f <<-
9、在ABC ∆中，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，且2OA OB OC ===，则ABC ∆的周长为（ ）
A ．3
B ．23
C ．33
D ．63
10、若变量,x y 满足1ln 0y
x -=，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）
11、设点P 是函数1)y x x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是（ ） A ．2,3πθπ⎛⎤∈
⎥⎝⎦ B ．3,24ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
C ．2,23ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
D ．,32ππθ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦ 12、已知n S 是等差数列{}n a n N *
∈的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题：
①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中最大项为11S ；⑤67a a >， 其中正确命题的个数（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．1
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

. 13、若(2)(,)a i i b i a b R -=+∈，则
b
a
= 14、在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，若,13
A b π
==，ABC ∆3则a 的值为
15、设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若51020a a +=，则
20
10
S S 的值是
16、函数()1
2sin(),[2,4]1f x x x x
π=-∈--的所有零点之和为
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分10分）
已知公差为2的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()n N *
∈，且3558S S +=。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若{}n b 为等比数列，且11021
2
b b a =，记3132333log log log log n n T b b b b =++++，求10T 的值。

18、（本小题满分12分）
在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且(2)cos cos 0a c B b C --=。

（1）求B ∠；
（2）设函数()2cos(2)f x x B =-+，将()f x 的图象向左平移12
π
后得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的单调递增区间。

19、（本小题满分12分）
设函数2
()(1)x
f x e ax x =++，且0a >，求函数()f x 的单调区间及其极大值。

20、（本小题满分12分）
已知等比数列{}n a 满足13223a a a +=，且32a +是24,a a 的等差中项，n N *∈
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2log ,n n n n b a a S =+为数列{}n b 的前n 项和，求使1
280n n S +--≤成立的n 的取值
集合。

21、（本小题满分12分）
已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，且3
2,cos 4
C A A ==。

（1）求:c a 的值；
（2）求证：,,a b c 成等差数列；
（3）若ABC ∆的周长为30，C ∠的平分线交AB 于D ，求CBD ∆的面积。

22、（本小题满分12分）
定义在D 上的函数()f x ，如果满足：x D ∀∈，∃常0M >，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数的上界。

（1）试判断函数()3
3f x x x
=+
在1
[,3]2上是否有界函数？
（2）若某质点的运动方程为211
()(1)12
S t a t t =+++，要使得[)0,t ∈+∞上的每一时刻的瞬
时速度()S t '是以1M =为上界的有界函数，求实数a 的值。

数学试题（理科、文科）答案
一.选择题：CDAAD BCADB CC
二．填空题：13.2；； 15. 54、（文）16； 16.8、（文）81
[ln 2,]33
-- 三．解答题：
17. 解：（1）设公差为d ，由S 3+S 5=58，得3a 1+3d+5a 1+10d=8a 1+13d =58……2分
∵d=2，∴a 1=4，
∴ a n =2n+2．*∈N n …………………………………………5分 （2）由（1）知a 2=6，所以110b b =3．………………………7分 ∴ T 10= log 3b 1 +log 3b 2+ log 3b 3+…+ log 3b 10
=log 3(b 1·b 10) + log 3(b 2·b 9) +…+ log 3(b 5·b 6)
=5log 3(b 1·b 10)=5log 33=5．………………………………10分 18. 解:（1）由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0A C B B C --=， 即2sin cos sin()0A B B C -+= ………3分
因为A B C π++=，所以sin()sin B C A +=， 因为sin 0A ≠， 所以1cos 2
B = 又B 为三角形的内角，所以3
B π
=
………6分
（2）
,()2cos(2)33
B f x x π
π
=
∴=-+ ()2cos[2()]2cos(2)1232
g x x x πππ
∴=-+
+=-+=2sin 2x ………9分
由*
2-
22()2
2
k x k k N π
π
ππ≤≤+
∈ 得*
-
()4
4
k x k k N π
π
ππ≤≤+
∈
故()f x 的单调增区间为：*[-,] ()44
k k k N
ππ
ππ+∈. ………12分 19. 解：
)2)(1
()12()1()(2++=++++='x a x ae ax e x ax e x f x x x 3分
当21=
a 时，0)2(2
1
)(2≥+='x e x f x ，)(x f 在R 上单增，此时无极大值； 5分 当210<
<a 时，20)(->⇒>'x x f 或a x 1-<， 21
0)(-<<-⇒<'x a
x f )(x f ∴在 ⎝
⎛⎪⎭⎫-∞-a 1,和)(∞+-,2上单调递增，在) ⎝⎛--2,1
a 上单调递减。

………8分 此时极大值为11111
()(1)a a f e e a a a
---=-+= 9分
当21>
a 时，a x x f 10)(->⇒>'或2-<x ， a
x x f 1
20)(-<<-⇒<' )(x f ∴在)(2,-∞-和) ⎝⎛∞+-,1
a 上单调递增，在 ⎝
⎛⎪⎭⎫--a 1,2上单调递减。

………11分 此时极大值为2
2
(2)(421)(41)f e a e a ---=-+=- 12分 20. 解:（1）设等比数列
{}n a 的公比为q ，
依题意，有⎩⎨⎧+=+=+).2(2,
32342231a a a a a a 即21132
11(2)3,()2 4.a q a q a q q a q ⎧+=⎨+=+⎩①②
……………3分
Z Z Z
由①得 0232=+-q q ，解得1=q 或2=q
.
当1=q 时，不合题意舍；
当2=q
时，代入②得21=a ，所以，n n n a 2221=⋅=- ，*∈N n ……….……6分
（2） 22log 2log 22n n n n n n b a a n =+=+=+. ……………….…………7分 所以23212+22+32+n n S n =+++++
2
3
(2222)+(123)n n =+++
++++
+
122(12)(1)11
+22++12222
n n n n n n +-+==-- ……………….………10分
因为1280n n S +--≤，所以
21128022
n n +--≤，即2
200n n +-≤ 解得54n -≤≤，故所求的n 的取值集合为{1,2,3,4}…………….12分 21. 解：（1）∵C=2A,∴sinC=sin2A ………………………2分
∴
23cos 2sin cos sin 2sin sin ===A A A A A C ∴2
3
=a c .…………………4分（文5分） （2）∵8
1
116921cos 22cos cos 2=-⨯=-==A A C
∴8
7
3cos 1sin 2=
-=C C ………………………6分（文8分） ∵cosA=
4
3
,∴47sin =A
,
sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C ∴=+=+=
10分） ∴B C A sin 28
7
5sin sin ==
+ 即c a b +=2，∴a,b,c 成等差数列. …………………8分（文12分）
法二：由2222cos 32
a b c bc A c a ⎧=+-⎪
⎨=⎪⎩ 得224950b ab a -+=
所以5
4
b a =
或b=a ………………………6分（文9分）
当b=a 时，B=A 且C=2A ，A+B+C=A+A+2A=180得A=45与cosA=4
3
矛盾，舍去. 所以54b a =
，此时a +c=a +3
2
a =2
b 所以a,b,
c 成等差数列. …………………8分（文12分）
（3）由（2）及周长为30可知b=10,结合（1）可求得a=8,c=12,过点D 作DE 垂直AC 交AC 于E ，可知AD=CD ，
又C=2A ，且∠C 的平分线交AB 于D ， ∴∠A=∠ACD ,所以AE=5，又∵cosA=
43，AD=320，∴BD=3
16
，……………10分 ∴3
7
201675831621=
⋅⋅⋅=
∆CBD S ………………………12分 此题为梁继宗根据必修5第25页第3题改编. 22. 解：（1）令223
()3f x x x
'=∴－
＝0,x=1， 所以当1[,1)2
x ∈时，()0f x '<；当(1,3]x ∈时，0)(>'x f
∴)(x f 在[
1
2，3]上的最小值为f （1）=4---------------------------------2分 又f （12）=49
8，f （3）=28
∴当1
[,3]2
x ∈时，)1(f ≤)(x f ≤)3(f ，即 4≤)(x f ≤28.
∴存在常数M=28等使得1
[,3]2x ∀∈，都有|()|f x ≤M 成立.
故函数33
()+f x x x
=在[12，3]上是有界函数.---------------------4分
（2）∵2
1()(1)
(1)S t a t t -'=
+++. 由|)(|t S '≤1，得21|(1)|(1)a t t -+++≤1 ∴2
1
1(1)1(1)
a t t --≤
++≤+ 331111
(1)1(1)1
a t t t t ⇒
-≤≤+
++++ -------------7分 ①令3
11
()(1)1
g t t t =
+++，显然)(t g 在),0[+∞上单调递减， 且当t →+∞时，)(t g →0. ∴0a ≤ -------------9分
②令
(
]3210,1,(),()31=01m h m m m h m m m t '=∈=-∴=-=
+由得，
,(),()(0)0
(),()(1)0m h m h m h m h m h m h ⎛∴∈∴<= ⎝∈∴≤=递减递增 则当m=1即0=t 时，max ()(1)0h m h == ， ∴0≥a
综上可得a=0. -------------12分 （文）解：（1）32
23()61,()3363(1)(2),2
f x x x x f x x x x x '=+
-+∴=+-=-+……2分令()0f x '=，122,1x x ∴=-=，
(2)11f f =-=极大值，5
(1)2
f f ==-
极小值………………………5分 （2）2
2
()671(0)g x ax bx ax bx a =+-+=++≠，()2g x ax b '∴=+
因为函数()()7g x f x '=+有唯一零点，所以2
2
404
b b a a ∆=-=⇒=，…………8分
所以2
1
(1)1114111,(0)4b g a b a b g b b b b
++++==+=+=++'令1()14b h b b =++，则
211
(),4h b b
'=
-令()0,h b '=又[1,3],b ∈则2b =， 当(1,2)b ∈时，()0,h b '<当(2,3)b ∈时，()0,h b '>
min 21
()(2)1242h b h ∴==
++=。

min (1)(
)2(0)
g g ∴='………………………11分 又925(1),(3)412
h h =
=
所以
(1)(0)
g g '的取值范围是9
[2,]4………………………12分。