2021届高三9月月考数学(文)试题+答案

2021届高三上学期九月月考
文科数学试题
一．选择题（每小题5分，共60分）
1．若集合{|3},{|
2}A x x B x =<=≤，则A B =（ ）
A ．{|3}x x <
B ．{|03}x x ≤<
C ．{|03}x x <<
D ．{}|4x x ≤
2．若复数2
1z i
=
-，则下列结论正确的是（ ） A ．||2z =
B ．z 的虚部为i
C ．1z i =-+
D ．22z i =
3．设,m n R ∈，则“m n >”是112m n
-⎛⎫< ⎪⎝⎭
的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知函数1()3()3
x x
f x =-，则函数()f x （ ）
A ．是奇函数，且在R 上是增函数
B ．是偶函数，且在R 上是增函数
C ．是奇函数，且在R 上是减函数
D ．是偶函数，且在R 上是减函数
5．命题“1
0,1x lnx x
∀>≥-
”的否定是（ ） A ．101x lnx x ∃≤≥-
, B ．101x lnx x ∃≤<-
, C ．101x lnx x
∃>≥-, D ．101x lnx x
∃><-
, 6．已知()()2,3,4,5A B -，则与AB 共线的单位向量是（ ）
A ．31010,e ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
B ．31010,e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭或31010,e ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
C ．(6,2)e =-
D ．()6,2e =-或()6,2e =
7.已知函数()()3log 1,0
1,02019x m x f x x ⎧+-≥⎪
=⎨<⎪⎩
的图象经过点()3,0，则()()2(f f = )
A ．2019
B ．
1
2019
C ．2
D ．1
8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（意思是：某商人善于经营，从第2个月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月份入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人1月份的入贯数为（ ） A ．5
B ．10
C ．12
D ．15
9．如图，已知A 、B 、C 、D 四点在同一条直线上，且面PAD 与地面垂直，在山顶P 点测得点
A 、C 、D 的俯角分别为30︒、60︒、45︒，并测得
200AB m =，100CD m =，现欲沿直线AD 开通穿山
隧道，则隧道BC 的长为（ ） A ．100(31)m +
B ．200(31)m +
C ． 2003m
D ．1003m
10．如图，过点0(1
)M ，的直线与函数()sin π02y x x =≤≤的图象交
于A ，B 两点，则()OM OA OB ⋅+等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
11．已知函数f (x )=2sin(x +π
6) (x ∈R )，将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
12
倍(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动6π
个单位长度，得到()y g x =的图
象，则以下关于函数()y g x =的结论正确的是（ ） A ．若1x ，2x 是()g x 的零点，则12x x -是2π的整数倍
B ．函数()g x 在区间,44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增 C ．点3,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数()g x 图象的对称中心 D ．3
x π
=
是函数()g x 图象的对称轴
12．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知c =
2sin cos sin sin a C B a A b B =-+
sin C ，点O 满足0OA OB OC ++=，3
cos 8
CAO ∠=
，则ABC ∆的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二．填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知平面向量(1,2),(4,)a b m == ，若a b ⊥，则m =______
14．已知定义在R 上的函数()f x 满足f(x +2)=f(x)，当0<x ≤1时，()21x f x =-，则f(5)= ___________
15.若x 0是函数f （x ）＝2x +3x 的零点，且x 0∈（a ，a +1），a ∈Z ，则a ＝_____．
16．己知函数()sin cos f x x x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
有以下结论：
①()f x 的图象关于直线y 轴对称 ②()f x 在区间35,44ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦上单调递减 ③()f x 的一个对称中心是,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
④()f x 的最大值为1
2
则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号） 三．解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分） 17．（共10分）已知函数f (x )=sin (2x −π
6)+1
2. （1）求()y f x =的单调减区间； （2）当[
,]63
x ππ
∈时，求()f x 的最大值和最小值.
18.（共12分）已知数列{}n a 的前n 项和为2
230n S n n =-．
（1）求出它的通项公式； （2）求使得n S 最小时n 的值.
19. （共12分）已知ABC ∆的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =，
(sin ,n B =sin )A ，(2,2)p b a =--.
（1）若//m n ，求证：ABC ∆为等腰三角形；
（2）若m p ⊥，边长2c =，角π
3
C =，求ABC ∆的面积.
20. （共12分）设函数f(x)=x 2+1−lnx （1）求f(x)的单调区间；
（2）求函数g(x)=f(x)−x 在区间[1
2,2]上的最小值．
21．（共12分）已知向量()25
cos ,sin ,(cos ,sin ),
5
a b a b ααββ==-=
.
（1）求cos()αβ-的值；
（2）若0,02
2
π
π
αβ<<
-
<<，且5
sin 13
β=-
，求sin α.
22.（共12分）已知函数()(sin cos )e x f x x x x =+-，()'
f x 为()f x 的导函数．
（1）设()()()g x f x f x '
=-，求()g x 的单调区间；
（2）若0x ≥，证明：()1f x x ≥-．
高三上学期9月月考答案 一．选择题
1.B
2.D
3.C
4.A
5.D
6.B
7.B
8. D
9.C 10.B 11.D 12.A 二．填空题 13.−2 14. 1 15.-1 16.②④ 三．解答题
17.解：（1）函数f (x )=sin (2x −π
6)+1
2.
令
3222,262
k x k k π
ππππ+-+∈Z ≤≤，解得5,36k x k k Z ππ
ππ+≤≤+∈
则()f x 的单调减区间为5[,]36
k k π
π
ππ+
+
，k ∈Z . （2）令26
t x π
=-
，因为[
,]63x ππ
∈，则,62t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，即()1sin ,,262f t t t ππ⎡⎤
=+∈⎢⎥⎣⎦，
由于()sin f t t = 在,62t ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
上单调递增，则当6t π=时，()min 1f t =；
当2
t π
=
时，()max 32
f t =
.即()f x 的最大值为3
2，最小值为1.
18. （1）当1n =时，1128a S ==-；当2n ≥时,1n n n a S S -=-
22
(230)2(1)30(1)n n n n ⎡⎤=-----⎣⎦432n =-1a 也适合此式，432n a n ∴=-.
（2）
2215225
2302()22
n S n n n =-=-
-
又因为n 是正整数，所以当7n =或8时，n S 最小.
19.⑴因为
，所以sin sin a A b B =，即·
·22a b
a b R R
=,其中R 是ABC ∆的外接圆半径， 所以a b =，所以ABC ∆为等腰三角形.
⑵因为m p ⊥，所以()()220a b b a -+-=.
由余弦定理可知，()2
2243a b ab a b ab =+-=+-，即()2
340ab ab --= 解方程得：4ab =（1ab =-舍去）
所以11sin 4sin 223
S ab C π
==⨯⨯=
20.（1）定义域为(0,+∞)，f ＇(x )=2x −1
x ，由f ＇(x )>0得x >√2
2
，
∴f (x )的单调递减区间为(0,√22
)，单调递增区间为(√
22
，+∞)；
（2）g(x)=x 2+1−lnx −x g′(x )=2x −1
x −1=
(2x+1)(x−1)
x
，由g′(x )>0得x >1，
∴g (x )在(1
2 ， 1)上单调递减，在（1，2）上单调递增， ∴g (x )的最小值为g (1)=1. 21.
22.（1）由已知，()(1cos sin )e (sin cos )e (12sin )e x
x
x
f x x x x x x x x '
=++++-=++，
所以()()()(1sin cos )e x g x f x f x x x =-=++'，()(12cos )e x
g x x =+'，
令()0g x '>，得1cos 2x >-
，解得2π2π
2π2π,33k x k k Z -
+<<+∈， 令()0g x '<，得1cos 2x <-
，解得
2π4π
2π2π,33k x k k Z +<<+∈， 故()g x 的单调递增区间是2π2π
(2π2π),33
k k k -
++∈Z ，； 单调递减区间是2π(
2π,3k +4π
2π),3
k k +∈Z . （2）要证()1f x x ≥-，只需证：()10f x x +-≥．
设()()1h x f x x =+-，0x ≥，则()()1(12sin )e 1x
h x f x x x '+'=-=+-．
记()()(12sin )e 1x t x h x x x ==++-'，则()(22sin 2cos )e x
t x x x x =+'++．
当[0,π]x ∈时，sin 0x ≥，又22cos 0x +≥，e 0x >，所以()0t x '； 当(π,)x ∈+∞时，πx >，2sin 2x ≥-，所以2sin π20x x +>->，
又22cos 0x +≥，e 0x >，所以()0t x '． 综上，当0x ≥时，()0t x '恒成立，
所以()t x 在[0,)+∞上单调递增．
所以，()(0)0t x t ≥=，即()0h x '≥，
所以，()h x 在[0,)+∞上递增，则()(0)0h x h ≥=，证毕．。