立体几何多选题测试附解析

立体几何多选题测试附解析
一、立体几何多选题
1．（多选题）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是（ ）
A ．113
P AA D V -=
B ．点P 必在线段1B
C 上 C ．1AP BC ⊥
D ．AP ∥平面11AC D
【答案】BD 【分析】 对于A ，111
1111113326
P AA D AA D
V S CD -=
⋅=⨯⨯⨯⨯=， 对于B,C,D ，如图以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用空间向量判即可. 【详解】
对于A ，因为点P 在平面11BCC B ，平面11BCC B ∥平面1AA D ， 所以点P 到平面1AA D 即为C 到平面1AA D 的距离，即为正方体棱长， 所以111
1111113326
P AA D AA D
V S CD -=
⋅=⨯⨯⨯⨯=，A 错误； 对于B ，以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：
则11(1,0,0),(,1,),(1,1,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)A P x z B D B C 所以11(1,1,),(1,1,1),(1,0,1)AP x z BD BC =-=--=--, 因为1AP BD ⊥，
所以1110AP BD x z ⋅=--+=，所以x z =，即(,1,)P x x ， 所以(,0,)CP x x =,
所以1CP xBC =-，即1,,B C P 三点共线， 所以点P 必在线段1B C 上，B 正确；
对于C ，因为1(1,1,),(1,0,1)AP x x BC =-=-， 所以111AP BC x x ⋅=-+=， 所以1AP BC ⊥不成立，C 错误；
对于D ，因为11(1,0,1),(0,1,1),(0,0,0)A C D , 所以11(1,0,1),(0,1,1)DA DC ==, 设平面11AC D 的法向量为(,,)n x y z =，则110
0n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨
⋅=+=⎪⎩
，
令1x =，则1,1z y =-=，所以(1,1,1)n =-， 所以110AP n x x ⋅=-+-=，所以AP n ⊥， 所以AP ∥平面11AC D ，D 正确， 故选：BD 【点睛】
此题考查了空间线线垂直的判定，线面平行的判定，三棱锥的体积，考查空间想象能力，考查计算能力，属于较难题.
2．已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，D 是AC 的中点，O 为1A C 的中点.点P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A ．当点P 运动到1BC 中点时，直线1A P 与平面111A
B
C 5
B ．无论点P 在1B
C 上怎么运动，都有11A P OB ⊥
C ．当点P 运动到1BC 中点时，才有1A P 与1OB 相交于一点，记为Q ，且
11
3
PQ QA =
D ．无论点P 在1BC 上怎么运动，直线1A P 与AB 所成角都不可能是30° 【答案】ABD 【分析】
构造线面角1PA E ∠，由已知线段的等量关系求1tan
EP
PA E AE
∠
=的值即可判断A
的正误；利用线面垂直的性质，可证明11A P OB ⊥即可知B 的正误；由中位线的性质有11
2PQ QA =可知C 的正误；由直线的平行关系构造线线角为11B A P ∠，结合动点P 分析角度范围即可知D 的正误 【详解】
直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==
选项A 中，当点P 运动到1BC 中点时，有E 为11B C 的中点，连接1A E 、EP ，如下图示
即有EP ⊥面111A B C
∴直线1A P 与平面111A B C 所成的角的正切值：1tan EP
PA E AE
∠
= ∵112EP BB =
，2211115AE A B B E BB =+= ∴15
tan 5
PA E ∠=
，故A 正确
选项B 中，连接1B C ，与1BC 交于E ，并连接1A B ，如下图示
由题意知，11B BCC 为正方形，即有11B C BC ⊥
而AB BC ⊥且111ABC A B C -为直三棱柱，有11A B ⊥面11B BCC ，1BC ⊂面11B BCC ∴111A B BC ⊥，又11
11A B B C B =
∴1BC ⊥面11A B C ，1OB ⊂面11A B C ，故11BC OB ⊥ 同理可证：11A B OB ⊥，又11A B BC B ⋂=
∴1OB ⊥面11A BC ，又1A P ⊂面11A BC ，即有11A P OB ⊥，故B 正确
选项C 中，点P 运动到1BC 中点时，即在△11A B C 中1A P 、1OB 均为中位线
∴Q 为中位线的交点 ∴根据中位线的性质有：
11
2
PQ QA =，故C 错误
选项D 中，由于11//A B AB ，直线1A P 与AB 所成角即为11A B 与1A P 所成角：11B A P ∠ 结合下图分析知：点P 在1BC 上运动时
当P 在B 或1C 上时，11B A P ∠最大为45° 当P 在1BC 中点上时，11B A P ∠最小为23arctan arctan 3023
>=︒ ∴11B A P ∠不可能是30°，故D 正确 故选：ABD 【点睛】
本题考查了利用射影定理构造线面角，并计算其正弦值；利用线面垂直证明线线垂直；中位线的性质：中位线交点分中位线为1：2的数量关系；由动点分析线线角的大小
3．如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为26的正三角形，底面ABCD 为矩形，23CD =，点Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A ．CQ ⊥平面PAD
B ．P
C 与平面AQC 22
C ．三棱锥B ACQ -的体积为62
D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为3【答案】BD 【分析】
取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，则由已知可得OP ⊥平面 ABCD ，而底面ABCD 为矩形，所以以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可. 【详解】
解：取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ， 因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥, 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ， 因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，
所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴， 建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(6,0,0),(6,0,0)O D A ，
(0,0,32),6,23,0),(6,23,0)P C B ，
因为点Q 是PD 的中点，所以632,0,)22
Q ， 平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，
632
(
23,2
QC =-，显然 m 与QC 不共线，
所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；
3632
(6,23,32),(
,0,),(26,2
PC AQ AC =-=
=， 设平面AQC 的法向量为(,,
)n x y z =，则
3602260n AQ x z
n AC
⎧⋅=
+=⎪⎨
⎪⋅=+=⎩
，
令=1x ，则y z ==， 所以(1,2,n =-， 设PC 与平面AQC 所成角为θ，
则21
sin 3
6n PC n PC
θ⋅=
=
=， 所以cos θ=
，所以B 正确；
三棱锥B ACQ -的体积为
1
1
32
B ACQ Q AB
C ABC
V V S
OP --==⋅
111
6322=⨯⨯
⨯=，
所以C 不正确；
设四棱锥Q ABCD -
外接球的球心为)M a ，则
MQ MD =，
所以2
2
2
2
2
2
a a ⎛+
+-=++ ⎝⎭
⎝
⎭，
解得0a =
，即M 为矩形ABCD
对角线的交点， 所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，
设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ， 将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，
故正方体的棱长为2x
，所以2
2
362x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，得224x =， 所以正四面体的表面积为2
4x =，所以D 正确. 故选：BD
【点睛】
此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.
4．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，如图，M 为1CC 上的动点，AM ⊥平面α.下面说法正确的是（）
A ．直线A
B 与平面α所成角的正弦值范围为32⎣⎦
B ．点M 与点1
C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C ．点M 为1CC 的中点时，若平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形
D ．已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的中点 【答案】AC 【分析】
以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系
D xyz -，利用空间向量法可判断A 选项的正误；证明出1AC ⊥平面1A BD ，分别取棱
11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点E 、F 、Q 、N 、G 、H ，比较1A BD 和六边形EFQNGH 的周长和面积的大小，可判断B 选项的正误；利用空间向量
法找出平面α与棱11A D 、11A B 的交点E 、F ，判断四边形BDEF 的形状可判断C 选项的正误；将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，利用A 、M 、N 三点共线得知AM MN +最短，利用平行线分线段成比例定理求得MC ，可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()2,0,0A 、()2,2,0B 、设点()()0,2,02M a a ≤≤，
AM ⊥平面α，则AM 为平面α的一个法向量，且()2,2,AM a =-，()0,2,0AB =，
2232cos ,,32288AB AM
AB AM AB AM a a ⋅<>===⎢⋅⨯++⎣⎦
， 所以，直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为322⎣⎦
，A 选项正确；
对于B 选项，当M 与1CC 重合时，连接1A D 、BD 、1A B 、AC ， 在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面ABCD ，
BD ⊂平面ABCD ，
1BD CC ∴⊥，
四边形ABCD 是正方形，则BD AC ⊥，
1CC AC C =，BD ∴⊥平面1ACC ，
1AC ⊂平面1ACC ，1AC BD ∴⊥，同理可证11AC A D ⊥， 1A D BD D ⋂=，1AC ∴⊥平面1A BD ，
易知1A BD 是边长为22的等边三角形，其面积为()
12
3
22234
A BD S =⨯=△，周长
为22362⨯=.
设E 、F 、Q 、N 、G 、H 分别为棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点，
易知六边形EFQNGH 是边长为2的正六边形，且平面//EFQNGH 平面1A BD ， 正六边形EFQNGH 的周长为62，面积为()
2
362334
⨯
⨯=，
则1A BD 的面积小于正六边形EFQNGH 的面积，它们的周长相等，B 选项错误； 对于C 选项，设平面α交棱11A D 于点(),0,2E b ，点()0,2,1M ，()2,2,1AM =-，
AM ⊥平面α，DE ⊂平面α，AM DE ∴⊥，即220AM DE b ⋅=-+=，得
1b =，()1,0,2E ∴，
所以，点E 为棱11A D 的中点，同理可知，点F 为棱11A B 的中点，则()2,1,2F ，
()1,1,0EF =，
而()2,2,0DB =，1
2
EF DB ∴=
，//EF DB ∴且EF DB ≠， 由空间中两点间的距离公式可得2222015DE =++=，
()()()
222
2212205BF =
-+-+-=，DE BF ∴=，
所以，四边形BDEF 为等腰梯形，C 选项正确；
对于D 选项，将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，如下图所示：
若AM MN +最短，则A 、M 、N 三点共线，
11//CC DD ，22
22222
MC AC DN AD ∴
===-+， 11
222
MC CC =-≠，所以，点M 不是棱1CC 的中点，D 选项错误.
故选：AC. 【点睛】
本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题.
5．如图，点O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过点O 的直线交AC ，BC 于点
M ，N ，S 是棱PC 上的点，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ，则（ ）
A ．若//MN 平面PA
B ，则//AB RQ B ．存在点S 与直线MN ，使P
C ⊥平面SRQ
C ．存在点S 与直线MN ，使()
0PS PQ PR ⋅+= D ．
1
11PQ
PR
PS
+
+
是常数
【答案】ABD 【分析】
对于选项A ，根据线面平行的性质定理，进行推理判断即可；
对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ， 1
3
SC PC =
时，通过线面垂直的判定定理，证明此时PC ⊥平面SRQ ，即可证明，存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ；
对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()
0PS PQ PR ⋅+=，利用线面垂直的判定定理可证得PC ⊥平面PAB ，此时通过反证法说明矛盾性，即可判断； 对于选项D ，利用S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V ----=++，即可求得111PQ
PR
PS
+
+
是常数.
【详解】 对于选项A ， 若//MN 平面PAB ，
平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ,
∴平面SMN 平面PAB =RQ ，
又MN ⊂平面SMN ，//MN 平面PAB ，
∴//MN RQ ，
点O 在面ABC 上，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，
∴MN ⊂平面ABC ，
又//MN 平面PAB ，平面ABC
平面PAB AB =，
∴//MN AB ， ∴//AB RQ ，
故A 正确； 对于选项B ，
当直线MN 平行于直线AB ，S 为线段PC 上靠近C 的三等分点，即1
3
SC PC =， 此时PC ⊥平面SRQ ，以下给出证明： 在正四面体P ABC -中，设各棱长为a ，
∴ABC ，PBC ，PAC △，PAB △均为正三角形，
点O 为ABC 的中心，//MN AB ，
∴由正三角形中的性质，易得23
CN CM a ==
， 在CNS 中，
2
3CN a =，13SC a =，3
SCN π∠=，
∴由余弦定理得，SN a ==， ∴222
249
SC SN a CN +=
=，则SN PC ⊥， 同理，SM PC ⊥，
又SM SN S =，SM ⊂平面SRQ ，SN ⊂平面SRQ ，
∴PC ⊥平面SRQ ，
∴存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ，
故B 正确； 对于选项C ，
假设存在点S 与直线MN ，使()
0PS PQ PR ⋅+=， 设QR 中点为K ，则2PQ PR PK +=，
∴PS PK ⊥，即PC PK ⊥，
()
cos cos 0PC AB PC PB PA PC PB CPB PC PA CPA ⋅=⋅-=⋅∠-⋅∠=，
∴PC AB ⊥，
又易知AB 与PK 为相交直线，AB 与PK 均在平面PQR 上，
∴PC ⊥平面PQR ，即PC ⊥平面PAB ，
与正四面体P ABC -相矛盾，所以假设不成立， 故C 错误； 对于选项D ，
易知点O 到面PBC ，面PAC ，面PAB 的距离相等，记为d ， 记PC 与平面PAB 所处角的平面角为α，α为常数，则sin α也为常数， 则点S 到PQR 的距离为sin PS α， 又13sin 234
PQR
S
PQ PR PQ PR π=
⋅=⋅ ∴
()
()
1
133sin sin sin 3
3412
S PQR PQR
V PS S PS PQ PR PQ PR PS ααα-=
⋅=
⋅⋅=⋅⋅， 又13
sin
23PSR
S
PS PR PS PR π=
⋅=⋅， 13sin 234
PSQ
S
PS PQ PS PQ π=
⋅=⋅，
13sin 234
PQR
S
PQ PR PQ PR π=
⋅=⋅， ()
3
S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V d PS PR PS PQ PQ PR ----=++=
⋅+⋅+⋅， ∴
()
33sin 1212
PQ PR PS d PS PR PS PQ PQ PR α⋅⋅=⋅+⋅+⋅， ∴
111sin d PQ
PR
PS
α
+
+
=
为常数，
故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了三棱锥体积的计算，考查了向量的运算，考查了转化能力与探究能力，属于较难题.
6．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）
A ．存在某个位置，使得CN A
B ⊥ B ．翻折过程中，CN 的长是定值
C ．若AB BM =，则1AM B
D ⊥
D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π 【答案】BD 【分析】
对于选项A ，取AD 中点E ，取1AB 中点K ，连结KN ，BK ，通过假设CN AB ⊥，推出
AB ⊥平面BCNK ，得到AB BK ⊥，则22AK AB BK AB =+>，即可判断；
对于选项B ，在判断A 的图基础上，连结EC 交MD 于点F ，连结NF ，易得
1NEC MAB ∠=∠，由余弦定理，求得CN 为定值即可；
对于选项C ，取AM 中点O ，1B O ，DO ，由线面平行的性质定理导出矛盾，即可判断； 对于选项D ，易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大，说明此时AD 中点E 为外接球球心即可. 【详解】
如图1，取AD 中点E ，取1AB 中点K ，连结EC 交MD 于点F ，连结NF ，KN ，BK ,
则易知1//NE AB ，1//NF B M ，//EF AM ，//KN AD ，11
2
NE AB =，EC AM = 由翻折可知，1MAB MAB ∠=∠，1AB AB =，
对于选项A ，易得//KN BC ，则K 、N 、C 、B 四点共面，由题可知AB BC ⊥，若
CN AB ⊥，可得AB ⊥平面BCNK ，故AB BK ⊥，则22AK AB BK AB =+>，不
可能，故A 错误；
对于选项B ，易得1NEC MAB ∠=∠，
在NEC 中，由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠，
整理得2
2
2212422
AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+， 故CN 为定值，故B 正确；
如图2，取AD 中点E ，取AM 中点O ，连结1B E ，OE ，1B O ，DO ，，
对于选项C ，由AB BM =得1B O AM ⊥，若1AM B D ⊥，易得AM ⊥平面1B OD ，故
有AM OD ⊥，从而AD MD =，显然不可能，故C 错误；
对于选项D ，由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，
此时1B O ⊥平面AMD ，则1B O OE ⊥，由1AB BM ==，易求得12
BO =
，
DM =11
B E ===，因此1EB EA ED EM ===，E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心，此外接球半径为1，表面
积为4π，故D 正确. 故选：BD. 【点睛】
本题主要考查了立体几何中的翻折问题以及空间图形的位置关系，考查了空间想象能力，属于较难题.
7．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱11AA =，P 为上底面
1111D C B A 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）
A ．若3PD =，则满足条件的P 点有且只有一个
B ．若PD =，则点P 的轨迹是一段圆弧
C ．若P
D ∥平面1ACB ，则DP 长的最小值为2
D ．若PD ∥平面1ACB ，且PD =，则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形的面积为94
π
【答案】ABD 【分析】
若3PD =，由于P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一；()13PD =，，则
1PD =P 的轨迹是一段圆弧；当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为=断C ；平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为3
2
=，可得D . 【详解】 如图：
∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2， ∴1122B D =，又侧棱11AA =， ∴()
2
212213DB =
+=，则P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一，故A 正确；
∵()313PD =∈，，11DD =，则12PD =，即点P 的轨迹是一段圆弧，故B 正确； 连接1DA ，1DC ，可得平面11//A DC 平面1ACB ，则当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为
()
2
2213+=，故C 错误；
由C 知，平面BDP 即为平面11BDD B ，平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为22213
22122++=，面积为94
π，故D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】
本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
8．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交棱
1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，得四边形1BFD E ，在以下结论中，正确的是（ ）
A ．四边形1BFD E 有可能是梯形
B ．四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形
C ．四边形1BF
D
E 有可能垂直于平面11BB D D D ．四边形1BFD E 面积的最小值为62
【答案】BCD 【分析】
四边形1BFD E 有两组对边分别平行知是一个平行四边形四边形；1BFD E 在底面ABCD 内的投影是四边形ABCD ；当与两条棱上的交点是中点时，四边形1BFD E 垂直于面
11BB D D ；当E ，F 分别是两条棱的中点时，四边形1BFD E 的面积最小为62
.
【详解】
过1BD 作平面与正方体1111ABCD A B C D -的截面为四边形1BFD E ， 如图所示，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，且平面1BFD E 平面11ABB A BE =.
平面1BFD E
平面1111,//DCC D D F BE D F =，因此，同理1//D E BF ，
故四边形1BFD E 为平行四边形，因此A 错误；
对于选项B ，四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，因此B 正确； 对于选项C ，当点E F 、分别为11,AA CC 的中点时，EF ⊥平面11BB D D ，又EF ⊂平面
1BFD E ，则平面1BFD E ⊥平面11BB D D ，因此C 正确；
对于选项D ，当F 点到线段1BD 的距离最小时，此时平行四边形1BFD E 的面积最小，此时点E F 、分别为11,AA CC 的中点，此时最小值为16
232⨯⨯=
，因此D 正确. 故选：BCD
【点睛】关键点睛：解题的关键是理解想象出要画的平面是怎么样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面即可正确解题.。