高考数学复习点拨 宜用反证法证明的几类命题

宜用反证法证明的几类命题
反证法是证明数学命题的一种重要方法，当直接证明思路受阻，难以成功时，反证法常使人茅塞顿开，柳暗花明．它通常用来证明下列几类命题．
一、否定性命题
问题的结论是以否定形式出现（例如“没有…”，“不是…”，“不存在…”等）的命题，宜用反证法．
例１ 求证：3lg 2是无理数．
分析：在实数集内，证它是无理数，即证它不是有理数．
证明：假设3lg 2不是无理数，即为有理数，则设3lg 2＝
m n (,m n ∈+N ，n m ,互质） 从而32=m n
得， m n 32=
上式表明：偶数等于奇数，这与偶数不等于奇数矛盾，于是假设不成立． 故3lg 2是无理数．
例２ 证明：一个三角形中不可能有两个直角．
分析：用三角形内角和为0180证一个三角形中不存在两个直角．
证明：假设一个三角形中有两个直角．不妨设∠Ａ＝090，∠Ｂ＝090． ∵∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝090＋090＋∠Ｃ＝0180＋∠Ｃ＞0180
这与三角形内角和定理矛盾． ∴ 假设不成立，即原命题成立．
二、“至少”或“至多”类命题
若一个命题的结论是“至少…”或“至多…”，“不都…”则可考虑用反证法．
例３ 已知1p 、2p 、1q 、2q ∈Ｒ，且1p 2p ＝2（1q ＋2q ）
求证：方程2x ＋1p x ＋1q ＝０和2x ＋2p x ＋2q ＝０中，至少有一个方程有实根．
分析：“至少有一个”是“有一个”、 “有两个”，它的反面是“一个都没有”． 证明：假设这两个一元二次方程都没有实根，那么他们的判别式都小于０，即：
⎪⎩⎪⎨⎧<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-=∆<-=∆2
2212122221211440404q p q p q p q p
A B P ∴)(4212221q q p p +<+ ∵1p 2p ＝２（1q ＋2q ）代入上式得 02212221<-+p p p p ，即.0)(221<-p p ．这与“任何实数的平方为非负数”相矛盾，所以假设不成立．
故这两方程中，至少有一个方程有实根．
三、唯一性命题
若一个命题的结论是“…唯一”的形式出现，则可考虑用反证法．
例４ 求证：在一个平面内，过直线l 外一点P 只能作出一条直线垂直于l ．
证明：假设过点Ｐ可以作两条直线垂直于直线l 如图，那么∠PAB ＝∠PBA ＝090． 于是∠APB ＋∠PAB ＋∠PBA ＞0180．
即∆PAB 的内角和大于0180，
这与定理“三角形内角和等于0180”相矛盾，
故假设不成立．
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